高等幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用

吳華玥

高等幾何作為高師院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程，其對初等幾何的理解和教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用.［1-3］通過對高等幾何的學(xué)習(xí)使我們找到高等幾何與初等幾何的聯(lián)系，并能領(lǐng)悟到高等幾何在初等幾何中的應(yīng)用，從而更加深入地了解高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，可以從另一高度來看待初等幾何的內(nèi)容，使我們對初等幾何中一些定理的生成有了新的理解，有利于更好地教學(xué).由于高等幾何包含射影幾何、仿射幾何與歐式幾何，而歐式幾何是射影幾何與仿射幾何的特例，因此本文將從射影幾何和仿射幾何兩部分來探討高等幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用.

1 仿射幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用

仿射幾何作為高等幾何的重要組成部分，是研究高等幾何在初等幾何中應(yīng)用的橋梁，一些初等幾何問題常常需要通過仿射幾何的性質(zhì)來研究.通過對仿射幾何的研究，本文將總結(jié)一些仿射幾何在初等幾何中的應(yīng)用，下面將從仿射變換和仿射坐標(biāo)系兩方面來討論仿射幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用.

1.1 仿射變換的應(yīng)用

變換的思想是一類很重要的數(shù)學(xué)思想，而仿射幾何所研究的幾何恰恰是通過仿射變換的不變性質(zhì)和仿射不變的量以及圖形經(jīng)過變換后的形狀和位置之間的關(guān)系來實現(xiàn)的.仿射變換具有同素性、結(jié)合性，且仿射變換保持共線三點的簡比不變.利用仿射變換的性質(zhì)，可以將一般圖形經(jīng)過某種特殊的仿射變換變換成特殊圖形，如：將任意三角形變換成正三角形，將任意四邊形變換成正方形或長方形，將任意橢圓變換成圓等，根據(jù)具體的仿射不變性或仿射不變量來解題，從而將一個復(fù)雜的初等幾何問題簡單化.

例1 ΔABC，點D為BC邊上的中點，連結(jié)AD，在AD上任取一點P，連結(jié)BP，CP，延長BP，CP分別交AC，AB于E，F(xiàn)，求證EF//BC.

圖1 三角形變換成正三角形

證明 如圖1所示，將ΔABC經(jīng)一仿射變換T后對應(yīng)正 ΔA′B′C′，由仿射性質(zhì)知，點D對應(yīng)D′，點P對應(yīng)P′，點E對應(yīng)E′，點F對應(yīng)F′，且A′D′為正 ΔA′B′C′的中線.因為 ΔA′B′C′是正三角形，所以A′D′還是B′C′邊上的高，又B′，P′，E′與C′，P′，F(xiàn)′關(guān)于A′D′對稱，且E′，F(xiàn)′到B′C′的距離相等，于是E′F′//B′C′，因為平行性為仿射不變性，故在ΔABC中EF//BC.

上面通過仿射變換將任意一個三角形變成正三角形，通過運用高等幾何的方法來解決初等幾何問題，能讓我們從另一角度解決初等幾何問題，從而使解題思路更加清晰，解題步驟更加簡便，可見高等幾何的思想方法對初等幾何的指導(dǎo)性作用.

仿射變換不僅對簡單的三角形適用，對橢圓等復(fù)雜圖形仍然適用.

例2 現(xiàn)有一橢圓的外切三角形為ΔA′B′C′，三個切點A′1,B′1,C′1分別與對應(yīng)頂點A′,B′,C′連線，求證：三線交于一點.

圖2 三角形的內(nèi)切橢圓變換成內(nèi)切圓

證明 如圖2所示，將ΔA′B′C′經(jīng)一仿射變換ψ后變?yōu)檎?ΔABC，于是 ΔA′B′C′的內(nèi)切橢圓經(jīng)仿射變換ψ后變?yōu)棣BC的內(nèi)切圓，則有A對應(yīng)A′，B對應(yīng)B′，C對應(yīng)C′，因為ΔABC與ΔA′B′C′存在唯一一個仿射變換ψ，且仿射變換保持結(jié)合性，ΔABC的內(nèi)切圓各切點為A1,B1,C1，所以有A1對應(yīng)A′1，B1對應(yīng)B′1，C1對應(yīng)C′1，又因為A1A，B1B，C1C交點為K，故A′1A′，B′1B′，C′1C′交點為K′.

例3 平行四邊形ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，有EF//AC.求證：SΔAED=SΔCDF.

圖3 平行四邊形變換成正方形

證明 平行四邊形ABCD經(jīng)仿射變換后，變成正方形A′B′CD，則有E對應(yīng)E′，F(xiàn)對應(yīng)F′，如圖3所示.

在正方形A′B′CD中，由E′F′//A′C，則因為A′B′=B′C，所以B′E′=B′F′，于是有A′E′=CF′，因為，所以ΔA′E′D? ΔCDF′，又因為兩個多邊形面積之比是仿射不變量，所以，故SΔAED=SΔCDF.

1.2 仿射坐標(biāo)系的應(yīng)用

與笛卡爾坐標(biāo)系相比，仿射坐標(biāo)系的建立具有任意性，可以根據(jù)具體的情況建立適當(dāng)?shù)姆律渥鴺?biāo)系.因此對于一些初等幾何問題可以利用建立仿射坐標(biāo)系的方法，將幾何問題用代數(shù)方法進(jìn)行解決，使解題思路更加簡潔，計算過程更加方便.

例4 在ΔABC的BC邊上取D,E兩點，將BC三等分，連結(jié)AD,AE，取AC中點F，連結(jié)BF，求BG:GH:HF.

圖4 三角形建立仿射坐標(biāo)系

解 如圖4，以B點為原點建立仿射坐標(biāo)系，取B(0,0)，A(0,1)，D(1,0)，E(2,0)，C(3,0)，因為F為AC中點，則.從而得到直線BF方程為，直線AD方程為y=-x+1，直線AE方程為，從而知BF與AD交點，BF與AE交點，由定比分點公式有，從而，即.同理可得，故BG:GH:HF=5:3:2.

2 射影幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用

射影幾何是高等幾何中非常重要的一部分，仿射幾何事實上屬于射影幾何的一個特例，所以射影幾何的思想方法在初等幾何的應(yīng)用相比仿射幾何的思想方法在初等幾何中的應(yīng)用更加廣泛些.在射影幾何中有許多定理與方法在初等幾何中都有相應(yīng)的應(yīng)用，比如：Desargues定理、交比和調(diào)和比、配極原則、對偶原理等，本文將從Desargues定理以及交比和調(diào)和比這兩個基本理論入手，結(jié)合具體的初等幾何問題，討論射影幾何思想方法在初等幾何中的應(yīng)用.

2.1 Desargues定理的應(yīng)用

Desargues定理是射影幾何中的一個基礎(chǔ)定理，在射影幾何中許多定理以它為根據(jù).利用De?sargues定理及其逆定理，可以證明初等幾何中關(guān)于點線結(jié)合的命題如：三點共線問題，并使證明過程更加簡便.

定理1 如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)邊的交點在一條直線上.

例5 三邊形的垂心，重心，外心三點共線.

已知三邊形的垂心，重心，外心分別為H，I，K，且BC,AC的中點分別為P，Q，求證：點H，I，K三點共線.

圖5 三點形

證明 如圖5所示，考慮三點形ABH與KPQ，由中位線性質(zhì)，其所對應(yīng)的AB與PQ，AH與KP，BH與KQ平行，則AB與PQ，AH與KP，BH與KQ分別交于D∞、E∞、F∞.由于D∞、E∞、F∞三點共線，所以由Des?argues逆定理知AP,BQ,HK交于一點，又AP,BQ交于一點I，故H，I，K三點共線.

2.2 交比和調(diào)和比的應(yīng)用

與仿射幾何相同的是射影幾何也存在射影不變性質(zhì)和射影不變量，而交比則是最基本的射影不變量，調(diào)和比則是交比的一種特殊情形，即在共線四點的交比中當(dāng)交比值為-1時，則該交比值-1叫作調(diào)和比.運用交比和調(diào)和比的一些定理可以使初等幾何中一些復(fù)雜的證明題變得簡單化.［4］

定理2 一線段的中點就該線段兩端所定的第四調(diào)和點為無窮遠(yuǎn)點；反過來，成調(diào)和共軛的四點中，如果有一點為無窮遠(yuǎn)點，則與其配偶的那一點必為以另一點偶為端點的線段的中點.

在初等幾何中證明兩條線段相等或者證明兩個角度相等都是比較常見的初等幾何證明問題，而采用有關(guān)交比和調(diào)和比的一些定理能直接解決一些復(fù)雜的平分線段或者平分角度的問題.

例6 已知四邊形ABCD，AD與CB交于M，AB與CD交于N，AC與MN交于P，BD//MN，求證：MP=PN.

證明 由于在射影幾何中平行則相交于無窮遠(yuǎn)點，如圖6所示.設(shè)BD?MN=H∞，在完全四點形ABCD中，由定理3可知(MN， )PH∞=-1，故P為MN的中點，即MP=PN.

圖6 變換前后的四邊形

2.3 射影幾何的有關(guān)定理在初等幾何作圖中的應(yīng)用

在射影幾何中，二次曲線的極與極線是其重要內(nèi)容之一，有關(guān)于圓的切線在初等幾何作圖中也是必不可缺的.［5-7］本文將利用在射影平面中非常重要的極與極線的相關(guān)理論來解決初等幾何中有關(guān)圓的切線作圖問題，例如利用二次曲線的極與極線快速且準(zhǔn)確地畫出圓的切線.

例7 過圓外一點P作其切線.

圖7 二次曲線

解 在射影平面上要想作其切線，首先畫出已知二次曲線Γ外一點P的極線L，如圖7所示.

具體作圖步驟如下：①過點P任意作兩條直線，分別與二次曲線Γ交于點A,B,C,D；②AC與BD交于E，AD與BC交于F；③連結(jié)EF則為所求極線L.

證明EF與AB交點為M，EF與CD交點為N，對于完全四點形ABCD，通過每一對角點有一組調(diào)和線束，考慮調(diào)和線束E(CDPF)，用AB去截得 (CD,PM)=-1，用CD去截得(CD,PN)=-1.因為PM與二次曲線Γ交于A,B兩點，所以M為P的共軛點，同理N為P的共軛點，從而MN為P的極線，即EF為P的極線.

因為P在二次曲線Γ外，極線L與二次曲線Γ交于G,H，而點G,H在極線L上，所以與點P共軛，由配極原則P一定在G的極線上，但G在二次曲線Γ上，所以它的極線就是二次曲線Γ在點G處的切線，即點P在二次曲線Γ過G點的切線上，則PG是圓的切線.同理可得PH也是切線.

3 結(jié)論

對初等幾何而言，高等幾何具有鮮明的指導(dǎo)性和應(yīng)用性特征，將高等幾何的原理以及方法與初等幾何方法結(jié)合起來使用，值得我們進(jìn)一步研究.對于將來要成為教師的我們而言，不僅僅要會用初等幾何的知識解決初等幾何問題，更加需要結(jié)合高等幾何內(nèi)容對初等幾何知識有更深入的了解，不僅知其然，還要知其所以然，從更高的角度去理解和把握初等幾何的實質(zhì)，為初等幾何的教學(xué)工作打下堅實的基礎(chǔ).