《簡單的線性規(guī)劃問題》的教學(xué)設(shè)想

梁建鶯

摘 要：就線性規(guī)劃這一節(jié)的教學(xué)提出看法，該內(nèi)容在新課程中安排在二元一次不等式之后，在學(xué)生還未學(xué)習(xí)直線的基礎(chǔ)上來教學(xué)，理解如何用圖象來確定最優(yōu)解和求目標(biāo)函數(shù)的最值.

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；目標(biāo)函數(shù)；最優(yōu)解；可行域；斜率；截距

一、提出問題

某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？

二、分析問題

問題一：該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，從而得到二元一次不等式組x+2y≤84x≤164y≤12x≥0y≥0，并且畫出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖1），平面區(qū)域內(nèi)的所有整數(shù)點(diǎn)就代表所有可能的日生產(chǎn)安排.這一問題學(xué)生均能理解，找整數(shù)點(diǎn)的問題在上一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中便可找到.

問題二：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？由上題分析，學(xué)生會(huì)很快列出利潤的表達(dá)式，設(shè)利潤為z萬元，z=2x+3y，學(xué)生可能會(huì)將上題的答案逐個(gè)代入，求得最大利潤.這其實(shí)也是一種方法，將所有的可行解代入求得最優(yōu)解，但如果可行解有無數(shù)個(gè)，那么問題又該如何解決.

三、解決問題

z=2x+3y這一目標(biāo)函數(shù)的值隨著x，y在可行域內(nèi)的值不同而改變，如何確定最優(yōu)解筆者認(rèn)為最關(guān)鍵的是以下兩點(diǎn)：一是讓學(xué)生明白目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的方程反應(yīng)在坐標(biāo)系中是一族平行直線.在可行域內(nèi)任意取一整數(shù)點(diǎn)，即x，y的值，z的值也確定了.不妨先任意地取幾個(gè)z的值，如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14，上述幾個(gè)二元一次方程，學(xué)生往往需要通過變形才知道方程所表示的曲線為直線，而且作圖后發(fā)現(xiàn)相互平行.這時(shí)提示學(xué)生將目標(biāo)函數(shù)也變形，在學(xué)生初中學(xué)習(xí)中一次函數(shù)y=kx+b表示的圖象是直線，所以會(huì)將目標(biāo)函數(shù)變形為y=kx+b，即y=-，這樣z值不同，所表示的直線也不同，但直線是相互平行的，而的確定，需要在可行域內(nèi)任意找一個(gè)整點(diǎn)坐標(biāo)代入便得.二是在目標(biāo)函數(shù)的變式y(tǒng)=-為直線在y軸上的截距，那么求目標(biāo)函數(shù)的最值就是求直線y=-在y軸上截距的最大值.在沒有進(jìn)行生產(chǎn)的情況下，z的初始值為0，此時(shí)2x+3y=0，即y=-x直線進(jìn)過原點(diǎn)，當(dāng)x，y的值取可行域的值時(shí)，即將直線y=-x往可行域平行，直線在y軸上的截距也隨之增大，當(dāng)直線與可行域有公共點(diǎn)（4，2），且在y軸上的截距最大時(shí)，即生產(chǎn)甲4件，生產(chǎn)乙2件利潤為最大z=2·4+3·2=14萬元，（如圖2）.這樣線性規(guī)劃問題就得以解決.

四、問題的歸納總結(jié)

在上述問題的處理過程中，通過實(shí)際舉例畫圖來體會(huì)如2x+3y=0，2x+3y=10，2x+3y=14等直線的平行，從而有了平移直線的過程使得目標(biāo)函數(shù)z的變化來求得最值.因此，圖解法求線性規(guī)劃問題的大致步驟：

（1）列出線性約束條件的不等式組；

（2）畫出不等式組所表式的可行域；

（3）平移目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）（z=0），找出與可行域有公共點(diǎn)且在y軸上的截距最大的直線；

（4）求出此公共點(diǎn)的坐標(biāo)，即最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)求得最值.

五、存在的問題

目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的情況在上述例題中的最優(yōu)解求解過程學(xué)生已經(jīng)掌握，若x，y的系數(shù)a，b的符號并非全為正數(shù)，又該如何求解最優(yōu)解，這些內(nèi)容還需課時(shí)補(bǔ)充.如設(shè)z=2x-y，使x，y滿足下列條件y≤xx+y≤1y≥-1，求z=2x-y的最大值.非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

若知道直線的斜率，由于目標(biāo)函數(shù)所在直線的斜率與線性約束條件中其中一條邊界所在的直線斜率相等，所以在平移目標(biāo)函數(shù)過程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，所有可行域中這條直線上的點(diǎn)均為最優(yōu)解，答案馬上可得.

在教學(xué)實(shí)踐過程中幫助學(xué)生更好地理解圖解法求線性規(guī)劃問題的方法，由于教科書內(nèi)容順序的安排，在理解書本上的解題過程中，出現(xiàn)未知知識(shí)，需講解到位，掌握圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟.

？誗編輯 溫雪蓮