函數(shù)與方程思想的重要性

符鷹

高斯曾經(jīng)說過這樣一句話——世界上萬事萬物都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題又一定能轉(zhuǎn)化為方程問題，函數(shù)也是含未知量的等式，只不過不是一元，是二元，可以說所有函數(shù)也都是方程。函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中六大思想中最為重要的思想之一。函數(shù)與方程緊密結(jié)合，而又密不可分，兩者可以互相轉(zhuǎn)換。運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法可以將一些抽象復(fù)雜的問題簡單化，巧妙地轉(zhuǎn)換數(shù)量之間的關(guān)系，用函數(shù)圖象代替抽象的數(shù)量關(guān)系，從而搭建解決抽象問題的橋梁。同時(shí)，函數(shù)與方程的思想也與數(shù)形結(jié)合等思想緊密聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)系統(tǒng)性思想的提升。通過蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1第3.4.1的第三課時(shí)“函數(shù)與方程3”的教學(xué)設(shè)計(jì)來闡述函數(shù)與方程思想的重要性。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)一元二次方程根的分布問題。

（2）體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究一元二次方程根的分布。

難點(diǎn)：函數(shù)和方程思想的相互轉(zhuǎn)化。

3.教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課是函數(shù)與方程的第三課時(shí)，第一節(jié)講解了函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)，第二節(jié)內(nèi)容講解了二分法求解函數(shù)零點(diǎn)問題，學(xué)生已經(jīng)對(duì)數(shù)形結(jié)合和函數(shù)方程思想有了初步認(rèn)識(shí)，第三課時(shí)主要是利用二次函數(shù)圖象研究一元二次方程根的分布問題。首先通過證明一個(gè)簡單二次函數(shù)根的分布問題，對(duì)初中求根方法以及高中所學(xué)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行復(fù)習(xí)；接下來讓學(xué)生根據(jù)根的分布情況求解一個(gè)含參一元二次方程的參數(shù)取值范圍，并設(shè)置多個(gè)變式，解釋各種可能性，從而得到一般情況。最終將一元二次方程根的分布問題進(jìn)行拓展。整個(gè)教學(xué)過程，在基礎(chǔ)題目模型的基礎(chǔ)上，通過改編，層層深入，給學(xué)生滲透函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化思想，讓兩者有機(jī)

結(jié)合。

4.課堂設(shè)計(jì)

（1）課題引入。

引入：證明函數(shù)f（x）=x2-4x+2有一個(gè)零點(diǎn)在（0，1），另一個(gè)零點(diǎn)在（3，4）上。

設(shè)計(jì)意圖：引入簡單的二次函數(shù)根的分布問題，學(xué)生提出可以通過將此函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元二次方程，利用求根公式法來解決問題，從而提出了二次函數(shù)問題向一元二次方程問題的轉(zhuǎn)化思想。此題還可以通過零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決，提出“函數(shù)從上至下，又從下至上穿過x軸就代表函數(shù)與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)”，幫助學(xué)生更好地理解應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理。

（2）通過例題和變式闡述一元二次方程向二次函數(shù)的轉(zhuǎn)化。

例1.已知關(guān)于x的方程x2+ax+2=0滿足一個(gè)根小于1，一個(gè)根大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變式1：兩根都大于1；

變式2：兩根都小于1；

變式3：兩根都在（0，3）中；

變式4：一根在（0，1）中，一根在（2，3）中。

設(shè)計(jì)意圖：①引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題進(jìn)行求解。要實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)換，例1則是引導(dǎo)學(xué)生將一元二次方程根的分布問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題。例1的方程和引入只相差了一個(gè)參數(shù)，讓學(xué)生有一種“熟悉感”。

②例1和4個(gè)變式的設(shè)置是層層推進(jìn)，由簡到繁，基本闡述了可能出現(xiàn)的根的分布問題。例題以及變式的展示都在幾何畫板里進(jìn)行，通過幾何畫板函數(shù)圖象的變化，讓學(xué)生觀察圖象并寫出滿足根的分布的等價(jià)條件。例題中提出“判別式Δ>0”可以不用寫出來，因?yàn)楹瘮?shù)穿過軸就代表Δ>0一定成立。同樣，在變式4中也不需要添加這一條件，但變式1、2、3中需要。

③通過引入和變式總結(jié)出一元二次方程根的分布問題的解題步驟，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，從函數(shù)圖象判別式、開口、對(duì)稱軸、端點(diǎn)值進(jìn)行思考，寫出相應(yīng)條件。通過這些問題在黑板上進(jìn)行一般性問題的等價(jià)條件的板書。

例2.若關(guān)于x的方程4x+a·2x+a+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。

變式1：若關(guān)于x的方程4x+a·2x+2=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：例2只需令t=2x，t>0，方程就化解為t2+at+a+1=0，此題化為t2+at+a+1=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根。就將例1中變式1的“大于1”變成了“大于0”。而變式1要求更高，此題化為t2+at+a+1=0有正實(shí)數(shù)根，可分為只有一個(gè)正根、兩個(gè)正根來進(jìn)行分段討論。此題如此設(shè)計(jì)，主要是希望學(xué)生能夠揭開表面看本質(zhì)，由于t=2x，x∈R是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的單調(diào)函數(shù)，所以例2仍舊是一個(gè)一元二次方程在某特殊值右側(cè)有兩根問題，從而促進(jìn)了學(xué)生舉一反三的能力，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的理解，更突出了本節(jié)課的主旨。變1的設(shè)計(jì)則更提高了學(xué)生的思維能力，特別激發(fā)了中上等學(xué)生學(xué)習(xí)本章節(jié)的興趣。

二、教學(xué)反思

本節(jié)課主旨為“函數(shù)與方程思想的重要性”，圍繞這個(gè)主題，整節(jié)課設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，邏輯性強(qiáng)，由最開始引入二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題，再到例1、例2一元二次方程根的分布問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題，重點(diǎn)在后者。方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，實(shí)際上就是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，例1的四個(gè)變式由簡入難，是本節(jié)課的亮點(diǎn)，將可能的根的分布問題講透，讓學(xué)生在遇到類似問題時(shí)都能舉一反三，不再犯簡單錯(cuò)誤。

本節(jié)課是一節(jié)對(duì)外公開課，整個(gè)教學(xué)過程采用黑板與PPT以及幾何畫板的多種教學(xué)手段相結(jié)合的形式，例1在幾何畫板中展示圖象，并且移動(dòng)圖形，能更直觀地讓學(xué)生看出滿足根的分布情況的等價(jià)條件。多媒體的運(yùn)用也增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

函數(shù)與方程看似不同的兩個(gè)概念之間實(shí)際上是辯證統(tǒng)一的，兩者可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合在一起。在平時(shí)的教學(xué)以及習(xí)題講解中，如果教師能夠適時(shí)地滲透給學(xué)生這一思想，那學(xué)生在解題中也會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

？誗編輯 溫雪蓮