親身體驗(yàn)有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化

徐樂樂

隨著深圳市龍華區(qū)數(shù)學(xué)研修活動的深入開展，磨課已成為我們最常用、最喜歡的教研方式。同學(xué)科的老師聚在一起，針對具體課例，在反復(fù)研討、上課中踐行新理念，探尋新方法，獲得新成長。上次，我們教研組打磨的課例是“平面直角坐標(biāo)系”，這是北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第三章“位置與坐標(biāo)”中第二節(jié)第一課時，研討的主題是教學(xué)流程的有效性與教學(xué)難點(diǎn)的突破，由我執(zhí)教，得到與會者的一致肯定?，F(xiàn)將本課磨課過程整理成文，與大家探討。

一、第一次教學(xué)簡錄

環(huán)節(jié)一：情景創(chuàng)設(shè)

1.回顧舊知

問題1.在現(xiàn)實(shí)生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2.在直線上確定一個點(diǎn)的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？在平面內(nèi)確定一個點(diǎn)的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？

2.故事引入

播放數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明平面直角坐標(biāo)系的故事視頻。

（設(shè)計意圖：通過引人入勝的數(shù)學(xué)家的故事，滲透數(shù)學(xué)史教育，吸引學(xué)生學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的注意力，進(jìn)而引入新課，揭示課題。）

環(huán)節(jié)二：自學(xué)交流

組織學(xué)生閱讀自學(xué)課本的內(nèi)容，并分小組討論解決下列問題。

問題1：平面直角坐標(biāo)系是如何構(gòu)成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標(biāo)系的象限？

問題3：怎樣確定點(diǎn)的坐標(biāo)？怎樣寫出點(diǎn)的坐標(biāo)？

之后，由學(xué)生代表畫一個平面直角坐標(biāo)系，并解釋畫法。

（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的能力，組織學(xué)生互幫互助，這樣既節(jié)省課堂學(xué)習(xí)時間，又能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。）

環(huán)節(jié)三：交流探究

問題1：如何確定圖1中點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)。

（設(shè)計意圖：由學(xué)生講解由點(diǎn)來確定坐標(biāo)的方法，鞏固自學(xué)的成果，并引出下面的問題。）

問題2：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)Q（4，3）與點(diǎn)P（3，4）表示的是同一個點(diǎn)嗎？為什么？

問題3：分別寫出圖2中多邊形ABCDEF各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

問題4：你們寫出的點(diǎn)A的坐標(biāo)相同嗎？點(diǎn)B的呢？由此你得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：在學(xué)生獨(dú)立思考、交流想法的基礎(chǔ)上，教師適時給予點(diǎn)撥，進(jìn)而歸納得出：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)只對應(yīng)一個坐標(biāo)，為突破本課教學(xué)難點(diǎn)做準(zhǔn)備。）

問題5：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)：

A（-5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，-3），F(xiàn)（1，-4）.

（2）依次連接ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)你在直角坐標(biāo)系中描出了幾個A點(diǎn)？B點(diǎn)呢？由此你能得出什么結(jié)論？

問題6：通過上面的活動，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與實(shí)數(shù)對（坐標(biāo)）之間有何關(guān)系？

（設(shè)計意圖：分別讓學(xué)生“根據(jù)點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)”及“根據(jù)坐標(biāo)描出相應(yīng)的點(diǎn)”，從而使學(xué)生更好地理解平面直角坐標(biāo)系的思想，感受坐標(biāo)與點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系。）

教學(xué)感悟：本課教學(xué)既有學(xué)生合作學(xué)習(xí)，又有老師的引導(dǎo)，還有學(xué)生的自學(xué)，課堂上教師給予學(xué)生充分的學(xué)習(xí)自主?？梢哉f，本課教學(xué)能體現(xiàn)教師的指導(dǎo)作用、學(xué)生的主體作用。但本課概念多，內(nèi)容也多，學(xué)生自學(xué)費(fèi)時較多。與此同時，雖然課堂上觀看了故事視頻，但從課堂觀察來看，這并沒有真正調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。為什么要學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生課后仍存在的疑問。特別是，由于欠缺學(xué)生的體驗(yàn)性理解，本課教學(xué)難點(diǎn)（平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)）并沒得到有效突破。

二、改進(jìn)及第二次教學(xué)簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

（1）找座位

師：今天我們在一個新教室上課，座位擺放和原來教室不一樣，每人手上有一張紙條，紙條上有一個數(shù)對，第一個數(shù)字代表排數(shù)，第二個數(shù)字代表列數(shù)，大家能否根據(jù)自己手中的紙條找到自己的位置呢？

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己找座位，體會確定位置的方法，幫助學(xué)生從自身的生活實(shí)際和經(jīng)驗(yàn)中“感知”數(shù)對與位置的對應(yīng)關(guān)系。）

（2）回顧舊知

問題1：在現(xiàn)實(shí)生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2：在直線上確定一個點(diǎn)的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？

在平面內(nèi)確定一個點(diǎn)的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？

2.實(shí)踐探究、交流新知

合作交流：小組討論預(yù)習(xí)的學(xué)案，每一位同學(xué)要清楚下列幾個問題：（A、A+層學(xué)生要指導(dǎo)B、C層學(xué)生）

問題1：平面直角坐標(biāo)系是如何構(gòu)成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標(biāo)系的象限？

問題3：怎樣確定點(diǎn)的坐標(biāo)？怎樣寫出點(diǎn)的坐標(biāo)？

（設(shè)計意圖：本課是一節(jié)基本概念課，概念多，但較為直觀，學(xué)生閱讀理解并不太難。設(shè)計預(yù)習(xí)學(xué)案讓學(xué)生課前預(yù)習(xí)，課堂上再組織小組內(nèi)部互幫互助，明確合作的任務(wù)，可節(jié)約課堂時間，以更好地突破本課的教學(xué)難點(diǎn)。）

3.互動游戲，難點(diǎn)初探

教師先以教室的座位為背景建立平面直角坐標(biāo)系，同學(xué)確認(rèn)好自己座位對應(yīng)的坐標(biāo)后，開展如下游戲：

游戲一：你的朋友是誰？

規(guī)則：老師叫出一位同學(xué)的名字時，該同學(xué)要快速說出自己的坐標(biāo)，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標(biāo)，再說出一位朋友……其他同學(xué)判斷他們所說的坐標(biāo)是否正確。

游戲二：坐標(biāo)接龍

老師說出第一個坐標(biāo)，處于該位置的同學(xué)站起來，由他說出第二個坐標(biāo)，符合這個坐標(biāo)的同學(xué)站起來，并說出第三個坐標(biāo)……不間斷地接下去，其他同學(xué)判斷是否正確。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生在游戲中體會點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。同時，通過游戲活動，可以激發(fā)學(xué)生主動參與課堂學(xué)習(xí)活動的興趣。）

4.練習(xí)提升，難點(diǎn)突破

例1.寫出圖中多邊形ABCDEF各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

■

思考：你和你的同伴所寫出的點(diǎn)A的坐標(biāo)相同嗎？有幾個？點(diǎn)B的呢？由此你能得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：由點(diǎn)來確定坐標(biāo)，感悟一個點(diǎn)對應(yīng)唯一一對有序?qū)崝?shù)對。）

例2：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，描出下列各點(diǎn)：

A（-5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，-3），F(xiàn)（1，-4）.

（2）依次連接ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)你在直角坐標(biāo)系中描出的點(diǎn)A的位置與你的同伴相同嗎？點(diǎn)B呢？由此你能得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：由坐標(biāo)來確定點(diǎn)，感悟由一對有序?qū)崝?shù)對只能找到唯一的點(diǎn)。）

教學(xué)感悟：本次教學(xué)，加入讓學(xué)生自己找座位的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生初步感受有序?qū)崝?shù)對與點(diǎn)的位置之間的對應(yīng)關(guān)系。在突破“點(diǎn)與坐標(biāo)一一對應(yīng)”這個難點(diǎn)時，由于加入游戲環(huán)節(jié)，學(xué)生課堂參與的積極性變高了，他們在游戲中體會了一位同學(xué)只能對應(yīng)一個坐標(biāo)，以及一個坐標(biāo)只能對應(yīng)一位同學(xué)，從而使教學(xué)難點(diǎn)得到更有效的突破。但是，為什么要建立平面直角坐標(biāo)系呢？他們沒能感受到引入平面直角坐標(biāo)系的必要性。而且，從游戲過渡到例題的學(xué)習(xí)時，由于游戲與例題教學(xué)銜接不自然，導(dǎo)致獲得“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系”這一結(jié)論，仍不是學(xué)生在潛意識中自然“迸發(fā)”出來的。于是，如何讓學(xué)生努力投入對建立平面直角坐標(biāo)系的必要性思考中，讓他們在參與活動的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，在突破難點(diǎn)的過程中感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，我對本課做了進(jìn)一步改進(jìn)。

三、改進(jìn)及第三次教學(xué)簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

（1）找座位

與第二次上課的環(huán)節(jié)一致。

（2）創(chuàng)設(shè)情景

師：我們學(xué)過數(shù)軸，知道在數(shù)軸上確定點(diǎn)的位置只需要一個數(shù)字就夠了?，F(xiàn)以第三排的同學(xué)所在的直線建立一條數(shù)軸，張紅同學(xué)為原點(diǎn)，向右為正方向，那這一排同學(xué)所對應(yīng)的數(shù)分別就是1，2，3，4，-1，-2，-3，-4，這樣，這一排同學(xué)的位置就確定了。請問：李×同學(xué)所對應(yīng)的數(shù)是多少？

生：-2.

師：3這個數(shù)字對應(yīng)的是那位同學(xué)？

生：江××。

師：李××呢？他對應(yīng)的數(shù)是多少？

生：沒有，他并不在數(shù)軸上。

師：那要用數(shù)字來表示他的位置，該怎么辦？

生：再建立一條數(shù)軸。

師：那該如何建立另一條數(shù)軸呢？

生：以張×為原點(diǎn)，以她正前方為正方向，她正后方為負(fù)方向，就可以建立另一條數(shù)軸了。

師：你們的意思是說，第二條數(shù)軸應(yīng)與第一條數(shù)軸的原點(diǎn)相同，而且要互相垂直，對嗎？

生：是的。

師：那現(xiàn)在能找到李××同學(xué)所對應(yīng)的數(shù)了嗎？

生1：應(yīng)用一對數(shù)來表示，是（3，2）。

生2：不對，應(yīng)是（2，3）。

師：究竟應(yīng)是（3，2）還是（2，3）呢？學(xué)習(xí)了今天的內(nèi)容后我們便有正確答案了。

（設(shè)計意圖：抽象的形式化概念被自然地鑲嵌于一種概念與經(jīng)驗(yàn)相連的情境之中。要讓學(xué)生產(chǎn)生持續(xù)的興趣，就必須讓知識內(nèi)容不斷切入更深的層次，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度，激發(fā)其探究的渴望。本課從已有的知識〈數(shù)軸〉引入新課，從學(xué)生原有的知識及生活體驗(yàn)出發(fā)，在探究運(yùn)用數(shù)對來表示同學(xué)的位置的過程中，體會建立平面直角坐標(biāo)系的必要性及建立的方法。）

2.實(shí)踐探究，交流新知

探究1：（與第二次課“環(huán)節(jié)2”類似）

探究2：

任務(wù)一：建立一個平面直角坐標(biāo)系，并在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)。

A（3，1）、B（-2，2）、C（-1，-2）、D（3，-1）、E（5，2）、F（4，-3）、G（-3，4）、H（3，-3）、

任務(wù)二：小組內(nèi)部相互檢查上述坐標(biāo)是否正確，并討論上題中所描出的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的正負(fù)與該點(diǎn)所在的象限的關(guān)系。

第一象限：（ 、 ），第二象限：（ 、 ）

第三象限：（ 、 ），第四象限：（ 、 ）

（設(shè)計意圖：有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一。讓學(xué)生自主建立平面直角坐標(biāo)系，描出相應(yīng)的點(diǎn)，然后同伴互幫互助，教師有針對性地選擇學(xué)生代表展示，并給予具體的積極性的評價，一方面可以促進(jìn)學(xué)生在解決問題的過程中鞏固本課基礎(chǔ)知識，初步感受點(diǎn)與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，另一方面可以促進(jìn)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，同時，點(diǎn)M的設(shè)計，可以促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展。）

3.互動游戲，突破難點(diǎn)

游戲一：你在哪里？

規(guī)則：老師說出某一象限或者x軸、y軸，處于相應(yīng)位置的同學(xué)們請站起來。

（設(shè)計意圖：通過游戲的方式，讓學(xué)生體會坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限，以及每一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)等性質(zhì)，提升學(xué)生課堂參與的積極性，感受對應(yīng)的內(nèi)涵，促進(jìn)知識的內(nèi)化。）

游戲二：你的同伴在哪里？

規(guī)則：老師指定一位同學(xué)，那么在坐標(biāo)軸上與這位同學(xué)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）相同的同學(xué)站起來。

（設(shè)計意圖：在游戲中讓學(xué)生體會確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，并讓學(xué)生體會，處在坐標(biāo)軸上的同學(xué)的朋友只有原點(diǎn)位置的同學(xué)和自己本身，自然得到，x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0。與此同時，通過游戲活動，讓抽象的知識直觀化、具體化，加深了學(xué)生對知識的理解，促進(jìn)學(xué)生的課堂參與。）

游戲三：你的朋友是誰？

規(guī)則：當(dāng)老師點(diǎn)名某位同學(xué)時，該同學(xué)要快速說出自己的坐標(biāo)，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標(biāo)，再說出自己的一位朋友……其他同學(xué)判斷他們所說的坐標(biāo)是否正確。

游戲四：坐標(biāo)接龍

老師說出第一個坐標(biāo)，處于該位置的同學(xué)站起來，并說出第二個坐標(biāo)，符合第二個坐標(biāo)的同學(xué)站起來，并說出第三個坐標(biāo)……不間斷地接下去，其他同學(xué)判斷是否正確。

想一想：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一個點(diǎn)可以對應(yīng)幾對有序?qū)崝?shù)對？一對有序?qū)崝?shù)對可以對應(yīng)幾個點(diǎn)？為什么？

生：因?yàn)樵谟螒蛑幸晃煌瑢W(xué)只對應(yīng)一個坐標(biāo)，而給出一個坐標(biāo)時只能找到一位同學(xué)，因此，一個點(diǎn)只能對應(yīng)一對有序?qū)崝?shù)對，而一對有序?qū)崝?shù)對也只能對應(yīng)一個點(diǎn)。

師：這也就是說，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系。

（設(shè)計意圖：借用課起始時建立的平面直角坐標(biāo)系，將學(xué)生看作坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，讓他們在游戲的過程中反復(fù)體驗(yàn)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想方法。）

（4）介紹歷史，激發(fā)興趣

播放平面直角坐標(biāo)系產(chǎn)生歷史的視頻。

四、教學(xué)感悟

將抽象知識直觀化、具體化，有利于促進(jìn)學(xué)生對知識的理解。本課在引入環(huán)節(jié)里，通過學(xué)生“找座位”“確定同學(xué)位置”等活動，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會建立平面直角坐標(biāo)系的必要性。把抽象的平面直角坐標(biāo)系“搬到”學(xué)生所處的教室里，促進(jìn)抽象知識的直觀化，提高學(xué)生參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的好奇心。在難點(diǎn)突破環(huán)節(jié)，大膽整合教材，再次利用教室里的“形”，將平面直角坐標(biāo)系中的“點(diǎn)”直觀化為班級的每一位同學(xué)，讓他們在游戲中學(xué)會由點(diǎn)確定坐標(biāo)及由坐標(biāo)確定點(diǎn)，在游戲中感悟點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，既有效突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，又可讓學(xué)生在游戲中體會數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，促進(jìn)學(xué)生參與，提升課堂教學(xué)效果。

在概念課教學(xué)中，教師要揭示概念產(chǎn)生的背景，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)概念，以幫助學(xué)生之后對數(shù)學(xué)概念的外延進(jìn)行學(xué)習(xí)。在揭示概念產(chǎn)生的背景的學(xué)習(xí)過程中，教師創(chuàng)設(shè)的情景要盡可能讓數(shù)學(xué)概念貼近其產(chǎn)生的歷史進(jìn)程，即從知識產(chǎn)生的需要出發(fā)，讓學(xué)生大膽地猜想，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是自然的、合理的，而不是人為強(qiáng)加的、憑空掉下來的。這樣，有利于幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本經(jīng)驗(yàn)。在幫助學(xué)生將概念內(nèi)化的學(xué)習(xí)過程中，在教學(xué)上不僅要組織學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，更需要組織學(xué)生思維上的積極參與。本課教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生及時對各個游戲中的共同屬性進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與概括，這樣有利于學(xué)生更加準(zhǔn)確、迅速地掌握概念，也使學(xué)生的歸納能力和邏輯思維能力得到了有效的培養(yǎng)。在整節(jié)課中，筆者通過組織學(xué)生小組討論、合作探究，為學(xué)生相互學(xué)習(xí)和啟發(fā)、相互取長補(bǔ)短提供時間和空間，促進(jìn)學(xué)生的共同進(jìn)步、共同提高，讓學(xué)生在互幫互學(xué)的過程中提升對概念的理解。這樣，學(xué)生既掌握了知識與技能，也感悟了解決問題的基本策略，同時體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

？誗編輯 李博寧