幾何直觀下的距離問(wèn)題

耿京波　吳　勇

(北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)　100032)

距離問(wèn)題，特別是在平面直角坐標(biāo)系下的距離問(wèn)題研究一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解和解決距離問(wèn)題也是難點(diǎn).究其原因主要有兩點(diǎn)：

(1)多數(shù)初中生對(duì)于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想還體會(huì)不足，距離概念由形引入，但在平面直角坐標(biāo)系應(yīng)用距離問(wèn)題往往容易將數(shù)與形剝離開(kāi)；

(2)學(xué)生較難在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中抽象出距離的直觀表示，由于距離的代數(shù)計(jì)算方法較為復(fù)雜，因此學(xué)生很難一味地使用代數(shù)的方法進(jìn)行解決.

為了能夠讓學(xué)生更加直觀地理解距離問(wèn)題，我們類比“等高線”的概念，借助“等距線”來(lái)將距離問(wèn)題直觀化、普適化.

1　等距線

“等高線”是指地形圖上高程相等的相鄰各點(diǎn)所連成的閉合曲線.同樣地，我們可以類比在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出到定點(diǎn)(為了簡(jiǎn)化表示，我們不妨以原點(diǎn)為定點(diǎn))距離等于單位長(zhǎng)度的所有點(diǎn)的集合，不妨稱作單位等距線.

例如，在歐氏距離的定義下，到定點(diǎn)距離等于單位長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡為以定點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.而距離越大，圓的半徑也就越大.為了直觀地想象到定點(diǎn)的距離不斷變化的情況，我們可以想象平靜水面上一滴水濺起的漣漪即為一組同心圓，而隨著這組同心圓半徑的增加，到水滴墜入點(diǎn)的距離也就逐漸增大.如果我們求到定點(diǎn)的歐氏距離最小的點(diǎn)時(shí)，只需要考慮將該定點(diǎn)落入平面水面中，濺起的漣漪最先觸碰到的點(diǎn)就是到該定點(diǎn)的歐氏距離最小的點(diǎn).再如我們置身于平靜湖中的船上，如何找到河岸上距離船的最近的位置，在理想的情況下，可以豎直向湖中投入一塊石子，只需要找到漣漪最先接觸到曲折河岸的位置即為距離船最近的位置.

我們可以重新審視在歐氏距離下的“垂線段最短”這一定理，我們可以想象將直線外一點(diǎn)滴入“平靜水面”，這樣就可以產(chǎn)生一系列同心圓形狀的“漣漪”，當(dāng)這組同心圓最先與直線有交點(diǎn)即圓與線段相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到圓外該點(diǎn)的距離最小，而此時(shí)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于直線，即通過(guò)直觀的方法來(lái)解釋了“垂線段最短”這一定理.

從“等距線”的角度來(lái)重新看距離問(wèn)題對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)能夠很好地解決學(xué)生面對(duì)平面直角坐標(biāo)系下的距離問(wèn)題的困難：

(1)這種解釋方法將距離直觀化、形象化，把距離這個(gè)抽象的概念用具體存在的圖形表示出來(lái)，往往把復(fù)雜的距離問(wèn)題變得簡(jiǎn)明，形象，一目了然，有助于探索問(wèn)題解決的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果；

(2)這種解釋方法具有運(yùn)動(dòng)變化的特性，可以直觀地解決處理有關(guān)距離的最值問(wèn)題和臨界位置問(wèn)題；

(3)最重要的是，這種解釋方法可以與學(xué)生的實(shí)際生活與感受相貼合，學(xué)生易于接受，能夠幫助學(xué)生直觀地理解距離問(wèn)題.

2　等距線的直接應(yīng)用

下面我們將通過(guò)兩道例題來(lái)體現(xiàn)“等距線”在處理距離問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性.

題目1：(2012年北京市中考第25題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)的“非常距離”，給出如下定義：

若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|；

若|x1-x2|<|y1-y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1-y2|.

例如：點(diǎn)P1(1,2)，點(diǎn)P2(3,5)，因?yàn)閨1-3|<|2-5|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q交點(diǎn)).

圖1

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；

①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1)，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖2

圖3

常規(guī)解法：通過(guò)定義的描述，歸納出兩點(diǎn)的“非常距離”為橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值和縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值中的最大值.

然而在教學(xué)中我們很遺憾地發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生很難從本題(1)提供的特殊情況歸納推理出一般情況的特點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值相等，或者連點(diǎn)連線的斜率為1或-1)，即使找到上述特點(diǎn)，在當(dāng)要解決兩動(dòng)點(diǎn)的情況時(shí)也束手無(wú)策，上述情況的出現(xiàn)主要有以下幾個(gè)原因：1.(1)中的一般情況提供的特點(diǎn)并沒(méi)有那么明顯；2.很多學(xué)生及時(shí)猜想到了上述特點(diǎn)，但因無(wú)法解釋，在(2)中仍不敢使用；3.對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)在處理(2)②時(shí)很難從“非常距離”最小的情況得到直線與圓相切的情況.

對(duì)比常規(guī)思路，我們從“等距線”的角度來(lái)重新解決上述問(wèn)題的第(2)小問(wèn).

題目2：(2017年北京中考第29題)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱點(diǎn)P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，

②點(diǎn)P在直線y=-x上，若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

我們?nèi)匀豢梢詮摹暗染嗑€”的角度考慮題目2.

(2)只需要將(1)中的圓從固定的變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)的，而關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在的區(qū)域與(1)相同，只是圓心隨著動(dòng)圓圓心而變化，解答略.

3　等距線的類比應(yīng)用

實(shí)際上，借助等距線的概念不僅能直觀地理解距離問(wèn)題，也能直觀地將一些看似非傳統(tǒng)意義上的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，從而促進(jìn)問(wèn)題的解決.

題目3：(2017年西城初三期末第29題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：

對(duì)于⊙C及⊙C外一點(diǎn)P，M，N是⊙C上任意兩點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大，稱這個(gè)角為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”． 直線l與⊙C相離，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于⊙C的“視角”最大時(shí)，稱這個(gè)最大的“視角”為直線l關(guān)于⊙C的“視角”.

(1)如圖，⊙O的半徑為1，

①已知點(diǎn)A(1,1)，直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”；

已知直線y=2，直接寫(xiě)出直線y=2關(guān)于⊙O的“視角”；

②若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)⊙C的半徑為1，

利用該結(jié)論，我們就能直觀地看出直線關(guān)于單位圓的“視角”，即只要逐漸增加圓的半徑，但圓與直線相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓所對(duì)應(yīng)的“視角”就是該直線關(guān)于單位圓的視角.這樣本題就可以通過(guò)以上的分析來(lái)解決.

4　總結(jié)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用.”借助“等距線”來(lái)解釋、理解距離問(wèn)題只是幾何直觀的一個(gè)具體體現(xiàn).因此，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要善于借助一些生活中的現(xiàn)象，借助一些直觀的圖形變化來(lái)解釋抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有著更加深刻、直觀的理解.