由光線照球的投影談解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措

張勁松

(人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室　100081)

解析幾何既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容，歷來(lái)占有重要地位.從數(shù)學(xué)分支上來(lái)說(shuō)，解析幾何屬于幾何學(xué).幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支科學(xué)，研究方法是通過(guò)建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式)，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算，由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).

解析幾何分為平面解析幾何和空間解析幾何.平面解析幾何主要研究直線、二次曲線以及三次以上的高次曲線，目前高中數(shù)學(xué)課程主要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線).空間解析幾何以空間向量及其運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)為工具，研究平面、直線、曲線、曲面(主要是二次曲面)，建立它們的方程，用方程研究它們的性質(zhì).目前高中數(shù)學(xué)課程中不研究空間解析幾何的內(nèi)容.

與函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支相比，解析幾何沒(méi)有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對(duì)它來(lái)說(shuō)，決定性的因素不是研究對(duì)象，而是方法.解析幾何的產(chǎn)生是科學(xué)的需要，更是方法的興趣.開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道運(yùn)行，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線等等，這是科學(xué)的需要.坐標(biāo)系的引入，使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)代，而變量進(jìn)入數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志.由于變量進(jìn)入了數(shù)學(xué)，我們可以研究運(yùn)動(dòng)與變化，研究物體運(yùn)動(dòng)的軌跡.

對(duì)數(shù)的引入、解析幾何的發(fā)明、微積分的創(chuàng)立被譽(yù)為17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)現(xiàn).解析幾何最重要的是作為工具出現(xiàn)研究微積分，把圖形(曲線、曲面)量化，運(yùn)用微分、積分工具去研究函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)楹瘮?shù)用解析式(曲線)表示.作為微積分的基礎(chǔ)，先建立函數(shù)的解析式(代數(shù)表達(dá)).運(yùn)動(dòng)物體的路徑都是曲線，而物體本身則是由曲面界住的三維體，我們需要運(yùn)用代數(shù)工具描述曲線、曲面以及三維物體.在18世紀(jì)廣泛探討二維解析幾何，以及二次曲面：球面、柱面、拋物面、雙葉雙曲面和橢球面等.

本文首先以傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式為引子，通過(guò)光線照球的投影這個(gè)具體實(shí)例，闡釋解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措，強(qiáng)調(diào)解析幾何回歸“幾何性”的重要性，以及解析幾何“解析性”與“幾何性”并重的教育價(jià)值，最后對(duì)于解析幾何在當(dāng)前課改中面臨的“最少”與“最多”的關(guān)系闡述了自己的觀點(diǎn).

1　傳統(tǒng)解析幾何中橢圓的呈現(xiàn)方式

我們以橢圓為例，看一下傳統(tǒng)解析幾何如何呈現(xiàn)這部分內(nèi)容：

平面截圓錐，當(dāng)平面與圓錐母線的角度不同時(shí)，我們可以得到橢圓、雙曲線、拋物線等不同的曲線，這些曲線我們統(tǒng)稱為圓錐曲線.

橢圓在生活中隨處可見(jiàn)，如汽車(chē)油灌橫截面的輪廓，圓柱形水杯傾斜時(shí)水面的形狀，一些天體和衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，都給我們以橢圓的形象.那么，橢圓具有什么幾何特征呢？

如圖1，取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn)) 畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，筆尖滿足的幾何條件是什么？畫(huà)出曲線的形狀是什么？不斷地改變兩定點(diǎn)間的距離，感受畫(huà)出的曲線的形狀.

圖1

通過(guò)上面具體畫(huà)圖的過(guò)程，我們得到，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

這是我們非常經(jīng)典的呈現(xiàn)方式.先從平面截圓錐說(shuō)起，列舉生活中有大量橢圓形的物體及軌跡實(shí)例，通過(guò)橢圓畫(huà)板畫(huà)出橢圓，給出橢圓的定義；然后根據(jù)其對(duì)稱性，建立坐標(biāo)系，獲得關(guān)于橢圓幾何特征的代數(shù)表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，最后用其標(biāo)準(zhǔn)方程研究其范圍、對(duì)稱性、離心率等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).總之，橢圓這部分結(jié)構(gòu)體系完備、內(nèi)容經(jīng)典條理.但是仔細(xì)閱讀，我們也不難發(fā)現(xiàn)存在一些問(wèn)題：比較集中的是幾何味道明顯不足，而解析味道極其濃烈，這種狀況在教學(xué)中尤甚.我們需要通過(guò)呈現(xiàn)方式的變化做些改進(jìn).為什么這么講，這涉及解析幾何在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的教育價(jià)值，簡(jiǎn)言之，即解析幾何的“幾何性”與“解析性”應(yīng)并重.只有這樣，解析幾何的教育價(jià)值才能完全彰顯.

下面，我們以光線照球的投影為例，說(shuō)明解析幾何回歸“幾何性”的重要性，以及解析幾何“幾何性”與“解析性”并重的教育價(jià)值.

2　光線照球的投影的本質(zhì)：圓的斜投影是橢圓

光線照球的投影與旦德林雙球模型是歐氏幾何中非常經(jīng)典的具體實(shí)例和數(shù)學(xué)模型.光線照球的投影既是探究、發(fā)現(xiàn)橢圓幾何特征的具體實(shí)例；又是驗(yàn)證、加深橢圓幾何特征的重要素材.橢圓是圓錐曲線的一種，而圓錐曲線是與圓錐有緊密聯(lián)系的一類曲線.光線照球的投影可以看作旦德林雙球模型的原型，旦德林雙球模型是光線照球投影的數(shù)學(xué)模型，是對(duì)光線照球投影的數(shù)學(xué)抽象.

投影分為平行投影和中心投影，太陽(yáng)光線可以看作平行投影，點(diǎn)光源發(fā)出的光線可以看作中心投影.如圖2 是平行投影，圖3是中心投影.當(dāng)光線垂直于投影面照射球時(shí)，無(wú)論是平行投影還是中心投影，其投影都是圓(平行投影時(shí)投影圓的半徑與球的半徑相等，中心投影時(shí)投影圓的半徑大于球的半徑)，而且球與投影圓的切點(diǎn)是圓的圓心.當(dāng)光線不垂直于投影面照射球時(shí)，無(wú)論是平行投影還是中心投影，此時(shí)在投影面上的投影不是圓，但是與圓有天然的、緊密的聯(lián)系，此時(shí)的投影是橢圓.把光線抽象為圓柱(圓錐)的母線，我們可以得到圓柱(圓錐)及其與圓柱(圓錐)側(cè)面和投影面分別相切的球，這就是對(duì)光線照球的投影的數(shù)學(xué)抽象，即數(shù)學(xué)模型.這個(gè)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)是：垂直于圓柱(圓錐)對(duì)稱軸的截面的斜投影是橢圓.簡(jiǎn)言之，圓的斜投影是橢圓.

圖2

圖3

圖4

現(xiàn)實(shí)生活中這樣的具體實(shí)例或原型還有很多，如一個(gè)圓柱形水杯里的水，傾斜水杯時(shí)，原來(lái)水平的圓面變?yōu)樗降臋E圓(圖4).這些實(shí)例本質(zhì)上是一致的，即圓的斜投影是橢圓.之所以沒(méi)有直接提出“圓的斜投影是橢圓”這個(gè)命題，是因?yàn)橹苯幼C明這個(gè)命題比較困難.有了球后，不僅容易得到橢圓的焦點(diǎn)，而且為證明投影面是橢圓提供了證明思路.這個(gè)球在證明中起了“腳手架”的作用(后面我們會(huì)給出詳細(xì)證明).

從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)用一個(gè)平面按上圖所示的方式截圓柱(圓錐)時(shí)，所得的截面與圓柱(圓錐)側(cè)面的交線是橢圓.這也是橢圓是圓錐曲線的由來(lái).

圓的正投影是圓很容易證明.圓的斜投影為什么是橢圓？這是一個(gè)既現(xiàn)實(shí)又非常有趣的問(wèn)題，會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究欲望，對(duì)于探究、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證橢圓的幾何特征具有積極的意義.

3　解析幾何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的舉措：以橢圓幾何特征的探究及驗(yàn)證為例

橢圓，顧名思義，是扁平的圓.這是形象、直觀、定性地描述橢圓與圓的關(guān)系，但不是數(shù)學(xué)意義上的橢圓.

人類認(rèn)識(shí)橢圓的歷史非常悠久.古希臘人先是從圓柱或圓錐的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓，但對(duì)橢圓幾何特征的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程.公元3世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線》中采用了截線的定義，并在多達(dá)七個(gè)命題的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了橢圓的焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì).17世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(F. van Schooten，1615～1660)給出了橢圓的三種作圖工具，其中一種利用了焦半徑之和為常數(shù)的性質(zhì).法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(M. de L’Hospital，1661～1704)在《圓錐曲線分析》中沒(méi)有采用阿波羅尼斯的截線定義，他將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡.直到1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(G. P. Dandelin，1794～1847)在一篇論文中才利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，直接在圓錐上導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截面定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.

歷史的材料無(wú)疑是豐富的，但是追尋歷史的足跡，通過(guò)展示橢圓的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，得到目前橢圓的定義對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)教材處理來(lái)說(shuō)，有很大的難度，而且對(duì)于很多教師來(lái)說(shuō)，可能無(wú)法駕馭.我們想有沒(méi)有一種自然的、易于接受的方式，通過(guò)探究、發(fā)現(xiàn)的方式認(rèn)識(shí)它.不妨我們看下面的處理方式.

由于橢圓和圓分別是圓斜投影和正投影時(shí)得到的圖形，我們猜想橢圓與圓肯定有天然的、緊密的聯(lián)系.這個(gè)聯(lián)系到底是什么？我們從圓的幾何特征出發(fā)進(jìn)行探究.圓的幾何特征是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，圓心和半徑是確定圓的幾何要素，圓心(定點(diǎn))確定位置，半徑(定長(zhǎng))決定大小.由于正投影時(shí)，切點(diǎn)是球的投影——圓的圓心.當(dāng)斜投影時(shí)球體與投影面的切點(diǎn)肯定也是投影圖形(橢圓)的一個(gè)非常重要的點(diǎn)，我們猜想，這個(gè)點(diǎn)的地位類似圓的圓心.又由于直觀發(fā)現(xiàn)投影圖形(橢圓)的軸對(duì)稱性(圖5)，我們猜想還有一個(gè)與其對(duì)稱的點(diǎn).我們?cè)O(shè)想把圓柱的側(cè)面延長(zhǎng)，在投影面的下方還有一個(gè)球，這個(gè)球與圓柱的側(cè)面以及投影面都相切，顯然存在另一個(gè)切點(diǎn).這兩個(gè)切點(diǎn)是非常特殊的點(diǎn)，投影圖形與圓柱側(cè)面的交線(橢圓)上的點(diǎn)與這兩個(gè)切點(diǎn)有什么關(guān)系呢？由于圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，我們猜想交線上的點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng).這個(gè)猜想是否正確呢？通過(guò)截面以及圓的切線的性質(zhì)可以證明.如圖6，由圓的切線的性質(zhì)知，PE=PR，PF=PQ，有PE+PF=PR+PQ=RQ，由此找到橢圓的“定長(zhǎng)”.(圓錐情況的探索、發(fā)現(xiàn)及證明的思路和過(guò)程與圓柱的情況完全一致，如圖7).這個(gè)交線上的點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離和等于定值，而這恰恰是橢圓的軌跡定義，因此這個(gè)投影是橢圓.

圖5

圖6

圖7

這樣的具體實(shí)例無(wú)疑思維容量大，探索價(jià)值強(qiáng).對(duì)于當(dāng)前倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極的意義.我個(gè)人認(rèn)為，在當(dāng)前解析幾何教材編寫(xiě)中，這樣有價(jià)值的具體實(shí)例并不多.雖然有難度，教學(xué)時(shí)間會(huì)拉長(zhǎng)，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)角度講，對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)值得一試.

4　解析幾何的教育價(jià)值：“幾何性”與“解析性”并重

上述光線照球的投影的具體實(shí)例是加強(qiáng)橢圓內(nèi)容“幾何性”的一個(gè)舉措，希望能在教學(xué)中進(jìn)行嘗試.“幾何性”是指圖形及圖形間的關(guān)系，把握?qǐng)D形的形狀、大小和位置關(guān)系.強(qiáng)調(diào)“幾何性”并不排斥“解析性”，“解析性”是指建立圖形的代數(shù)表達(dá)式，通過(guò)代數(shù)表達(dá)式，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.解析有其自身的優(yōu)勢(shì)，比如，要說(shuō)明橢圓是扁平的圓，如何“壓扁”的，解析法比綜合法有優(yōu)勢(shì).為此，我們完整地展現(xiàn)這個(gè)過(guò)程，這樣對(duì)解析幾何“解析性”的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻.

圖8

問(wèn)題如圖8，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

證明點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0).由于M是線段PD的中點(diǎn)，所以

因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以

x2+4y2=4，

即

這給出如何“壓扁”圓的定量描述，即把圓上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半，這時(shí)得到的圖形是橢圓(實(shí)際上，壓縮為任意比值得到的圖形都是橢圓).而這用綜合法證明是有難度的.

為了加強(qiáng)解析幾何的“幾何性”，除了引入圓錐曲線時(shí)，對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線的具體實(shí)例進(jìn)行抽象概括外，還需挖掘一些素材，如上面提到的“光線照球的投影”；再有就是對(duì)現(xiàn)有的內(nèi)容，如“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”在教學(xué)中給予足夠的重視，對(duì)性質(zhì)用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行說(shuō)明或證明；以后有了導(dǎo)數(shù)的工具后，在“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的內(nèi)容中，我們?cè)倮们芯€給出嚴(yán)格的證明.把“解析性”運(yùn)算的威力與“幾何性”圖形的魅力有機(jī)地結(jié)合起來(lái).

總之，如果把解析幾何看作一枚硬幣，那么“幾何性”與“解析性”的關(guān)系就是這枚硬幣的兩面，是一個(gè)整體，兩者都不能偏頗.

5　如何看待“最少”與“最多”的關(guān)系

當(dāng)前，我們面臨的一個(gè)事實(shí)是：縱向與歷史其他時(shí)期對(duì)比，當(dāng)前解析幾何的內(nèi)容是最少的；橫向與其他國(guó)家對(duì)比，我國(guó)解析幾何的內(nèi)容又是最多的.這個(gè)“最少”與“最多”的關(guān)系，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，有點(diǎn)尷尬.但這個(gè)客觀事實(shí)，需要我們重新審視解析幾何的地位、作用及內(nèi)容.

從平面解析幾何的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展來(lái)看，解析幾何的歷史無(wú)疑是輝煌的，但是現(xiàn)在已經(jīng)“沒(méi)落”了，其內(nèi)容已經(jīng)進(jìn)入函數(shù)、微積分、代數(shù)幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中.

平面解析幾何是從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁.它是用代數(shù)方法研究空間形式.它和代數(shù)中的函數(shù)知識(shí)有密切的聯(lián)系，但是研究的對(duì)象不同.它所研究的對(duì)象和平面幾何相同，但是研究的方法不同.從數(shù)學(xué)發(fā)展史看，過(guò)去算術(shù)是算術(shù)，代數(shù)是代數(shù)，幾何是幾何，數(shù)和形的研究是分開(kāi)發(fā)展的.出現(xiàn)解析幾何以后，數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來(lái)，數(shù)學(xué)各分支才在更高的觀點(diǎn)下統(tǒng)一起來(lái).這樣既有利于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，又有利于系統(tǒng)掌握平面解析幾何的基本知識(shí)和基本技能，為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

從平面解析幾何清末初定學(xué)制時(shí)期進(jìn)入課堂的變遷和發(fā)展看，解析幾何的內(nèi)容變化很大、但是結(jié)構(gòu)體系變化不大.從總體上看，內(nèi)容逐漸減少；從結(jié)構(gòu)體系上看，變化極其有限，主要是解析幾何的體系結(jié)構(gòu)非常成熟和完整.

解析幾何內(nèi)容的逐漸減少源自對(duì)解析幾何的教育價(jià)值、地位和作用的認(rèn)識(shí).一種觀點(diǎn)認(rèn)為，在中學(xué)學(xué)習(xí)解析幾何主要是為大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是微積分打基礎(chǔ).另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，解析幾何的綜合性強(qiáng)，它綜合了代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)內(nèi)容，加強(qiáng)了代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的聯(lián)系，解析幾何的代數(shù)對(duì)象是方程，對(duì)方程進(jìn)行代數(shù)變形，涉及數(shù)、式、方程求解等基本代數(shù)運(yùn)算；幾何對(duì)象包括各種直線型圖形、圓、橢圓、雙曲線和拋物線等.研究方法是代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，包括必要的圖形證明.在上述兩種觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，解析幾何的內(nèi)容非常豐富和綜合.再一種觀點(diǎn)是，解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，學(xué)會(huì)解析幾何的研究方法遠(yuǎn)比解析幾何內(nèi)容本身更重要.另外從橫向角度看，其他內(nèi)容如函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等的增加，解析幾何內(nèi)容需要“瘦身”“削枝強(qiáng)干”“騰地方“，只保留主干內(nèi)容和基本的研究方法，只研究具體的曲線，不研究一般曲線及其方程；不在圖形證明的難度和代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜度上下功夫.

毋庸諱言，現(xiàn)在數(shù)學(xué)分支越來(lái)越多，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容、內(nèi)涵不斷擴(kuò)大，學(xué)生需要學(xué)習(xí)具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)越來(lái)越廣，刪減解析幾何的內(nèi)容，降低要求是大勢(shì)所趨，如兩條直線所成的角，直線的法線式方程，圓錐曲線的切線和法線，圓錐曲線的統(tǒng)一定義，坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)，一般二元二次方程與曲線類型的討論等.現(xiàn)在解析幾何更加強(qiáng)調(diào)基本內(nèi)容，更加突出研究方法，不在內(nèi)容的深廣度上做更多的拓展.

從解析幾何結(jié)構(gòu)體系上來(lái)說(shuō)，遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象，從特殊到一般的研究過(guò)程和方法.具體從幾何研究對(duì)象來(lái)說(shuō)，就是按照直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的順序，由它們的幾何特征，建立它們的方程；從方程類型上來(lái)說(shuō)，先講一般方程，后講參數(shù)方程；從坐標(biāo)系上來(lái)說(shuō)，先講直角坐標(biāo)系，再講其他坐標(biāo)系，如極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等等.

作為傳統(tǒng)或經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容，從內(nèi)容上看，解析幾何始終在減少，但核心內(nèi)容未動(dòng)；從結(jié)構(gòu)上看，沒(méi)有大的變化，只是有些細(xì)微的調(diào)整；從呈現(xiàn)形式看，注意數(shù)學(xué)內(nèi)容的教材表達(dá)，以問(wèn)題引導(dǎo)內(nèi)容的展開(kāi)，突出解析幾何的思想和主要研究方法：如何刻畫(huà)幾何圖形，確定圖形的幾何要素是什么，這些幾何要素的代數(shù)表達(dá)是什么.從歷史上看，方程的內(nèi)容先于函數(shù)，后來(lái)函數(shù)的內(nèi)容由方程內(nèi)容分離出來(lái)，逐漸發(fā)展成為一個(gè)體系.與方程相比，函數(shù)有其特殊性，以函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支科學(xué)的發(fā)展是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重大成就，特別是微積分，解析幾何為函數(shù)內(nèi)容的產(chǎn)生和發(fā)展提供了重要的支撐.從數(shù)學(xué)各分支之間的關(guān)系看，解析幾何更多的是一種工具，為微積分等學(xué)科服務(wù)，因?yàn)樗⒘饲€與方程之間的關(guān)系，可以用代數(shù)方法精確地描述幾何對(duì)象，對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行“運(yùn)算”，而數(shù)形結(jié)合為數(shù)學(xué)的研究提供了工具和活力.數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，“直觀”與“入微”的有機(jī)結(jié)合，相得益彰，極大豐富了數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容.

“最少”與“最多”的關(guān)系恰恰說(shuō)明了解析幾何地位、價(jià)值不斷變化的過(guò)程.解析幾何內(nèi)容減少是大勢(shì)所趨，而我國(guó)之所以“最多”的原因是多方面的，如對(duì)基礎(chǔ)的不同理解、課程結(jié)構(gòu)中重必修輕選修等等.