淺談運(yùn)用均值不等式求最值的若干策略

摘要：在平時(shí)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)用均值不等式求最值碰到困難，有些無法下手，本文羅列出幾種常見題型的變形方法與技巧，來說明如何靈活運(yùn)用均值不等式，借此以激發(fā)學(xué)生思維，開闊學(xué)生解題視野，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

關(guān)鍵詞：均值不等式;最值;策略

均值不等式，也叫基本不等式，它的內(nèi)容在人教版高中數(shù)學(xué)教材必修5第三章《不等式》3.4節(jié)中出現(xiàn)，它是證明不等式及各類最值重要的方法和依據(jù)，應(yīng)用廣泛，相關(guān)題型經(jīng)常出現(xiàn)各類模擬試題及高考當(dāng)中，具有變通靈活性和條件約束性的特點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)重要的一個(gè)知識(shí)考點(diǎn)。

具體內(nèi)容描述如下：①若非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，則a+b2≥ab;②若非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c，則a+b+c3≥3abc，那么，在運(yùn)用它們求最值時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”這三個(gè)基本條件，但在具體的問題中，這些條件往往不全滿足，這時(shí)，就必須對(duì)式子作一定的恒等變形和配湊技巧，使它同時(shí)滿足這三個(gè)條件，現(xiàn)將恒等變形的常見方法與技巧歸納如下，以期能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)和幫助。

一、 拆項(xiàng)法

【例1】若x>0，求函數(shù)y=x2+2x+14x的最小值。

解：∵x>0且x2+2x+14x=x2+16x=x2+8x+8x

∴y=x2+8x+8x≥33x2·8x·8x=12

故當(dāng)且僅當(dāng)x2=8x，即x=2時(shí)，ymin=12。

二、 添項(xiàng)減項(xiàng)法

【例2】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵a≥b>b2>0，∴a-b2>0，b2>0

∴y=a+4（2a-b）b=a-b2+b2+1a-b2·b2

≥33a-b2·b2·1a-b2b2=3

∴當(dāng)且僅當(dāng)a-b2=b2，b2=1a-b2·b2，即a=b=2時(shí)，ymin=3。

三、 變換系數(shù)法

【例3】若a∈R+，且2a2+b2=2，求y=a·1+b2的最大值。

解：∵y=a1+b2=12·2a2·（1+b2）≤122a2+b2+12=324（當(dāng)且僅當(dāng)2a2+b2=2，2a2=1+b2，即a=32，b=±22時(shí)，取“=”）

∴y=a·1+b2的最大值為324。

四、 平方法

【例4】已知0<θ<π，求y=sinθcos2θ的最大值。

解：∵y2=sin2θcos4θ=12（2sin2θ·cos2θcos2θ）≤122sin2θ+cos2θ+cos2θ33=427（當(dāng)且僅當(dāng)2sin2θ=cos2θ，即θ=arctan22或θ=π-arctan22時(shí)，取“=”）

∴0

五、 取絕對(duì)值法

【例5】已知x∈R，求y=2xx2+1的最值。

解：∵|y|=2xx2+1=2|x|x2+1=2|x|+1x≤22|x|·1x=1（當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1x，即x=±1時(shí)，取“=”），

∴-1≤y≤1。

∴函數(shù)y=2xx2+1的最小值和最大值分別為-1和1。

六、 常值代換法

【例6】已知a、b>0，且2a+b=1，求函數(shù)y=1a+1b的最小值。

解：∵2a+b=1

∴y=1a+1b=（2a+b）1a+1b=3+ba+2ab≥3+22（當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab，2a+b=1，即a=2-22，b=2-1時(shí)，取“=”）

∴函數(shù)y=1a+1b的最小值為3+22。

七、 三角換元法

【例7】已知，a、b∈R，且2a+b=4，求1a+1b的最小值。

解：由2a+b=4，可設(shè)2a=4sin2θ，b=4cos2θ，則有

1a+1b=12sin2θ+14cos2θ=12（1+cot2θ）+14（1+tan2θ）≥34+214tan2θ·12cot2θ=34+22（當(dāng)且僅當(dāng)tan2θ=2cot2θ，即tan2θ=2，b=42-4時(shí)，取“=”）

∴1a+1b的最小值為34+22。

八、 同步放縮法

【例8】已知a≥b>0，求y=a+4（2a-b）b的最小值。

解：∵y=a+4（2a-b）b≥a+42a-b+b22=a+4a2=a2+a2+4a2≥33a2·a2·4a2=3（當(dāng)且僅當(dāng)a2=4a2，2a-b=b，即a=b=2時(shí)，取“=”）

∴y=a+4（2a-b）b的最小值為3。

九、 待定系數(shù)法

【例9】已知x>0，求y=x（2x+1）（8-5x）的最大值。

解：若x≥85，則y≤0;若0<x<85，

設(shè)y=1mn[mx（2x+1）（8n-5nx）]（其中m、n為待定系數(shù)），要使mx+2x+1+8n-5nx為常數(shù)，即（m+2-5n）x+8n+1為定值（即與x無關(guān)）。

必須有m+2-5n=0①

由mx=2x+1=8n-5nx，得m=2x+1x，n=2x+18-5x，將其代入①中化簡(jiǎn)整理，得15x2-11x-4=0

解得x=-4150，85，x=1∈0，85，

當(dāng)x=1時(shí)，m=3，n=1，于是

y=13[3x（2x+1）（8-5x）]≤133x+（2x+1）+（8-5x）33=9

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymax=9

當(dāng)然，在課堂教學(xué)中，對(duì)于每一道題，教師都要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地觀察所求式子的特點(diǎn)，然后結(jié)合條件選擇適當(dāng)?shù)淖冃畏椒?，并且要注意必須滿足“一正、二定、三相等”這三個(gè)基本條件，一題多法，多法合用。這樣，才能達(dá)到熟練掌握變形方法的目的，才能激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃軍華.運(yùn)用基本不等式解題常見問題探討.2012

[2]宋仁高.運(yùn)用基本不等式解題常見錯(cuò)誤分析[J].理科考試研究-數(shù)學(xué)版，2011.

作者簡(jiǎn)介：

楊慶元，浙江省金華市，浙江金華孝順中學(xué)。