Dandelin雙球之問*

昌　明

(揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院　225007 )

蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》2.1節(jié)“圓錐曲線”中首先提出問題：用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？進(jìn)而展開了對圓錐曲線概念的研究，并用Dandelin雙球證明了橢圓情形．本節(jié)教學(xué)內(nèi)容中，在圓錐面和截面之間嵌入雙球是證明定理的關(guān)鍵，也是師生感到困惑的教學(xué)難點(diǎn)．教師對這一節(jié)的處理由于對教材研究不透只能照本宣科，學(xué)生對突然嵌入的雙球也感到迷茫，從而大大降低了本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值．

當(dāng)然，我們并不能確切地知道Dandelin是如何想到嵌入雙球的，不過，我們可以作一些合情的猜想，探索嵌入雙球的合理性，這對于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、質(zhì)疑精神，充分彰顯本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值具有積極意義．

1　對圓錐曲線認(rèn)識(shí)的發(fā)展

圓錐曲線早在古希臘時(shí)代就已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)和研究．柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯(Menaechmus，約公元前360)為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線．[1]后來，阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga，約公元前262～約公元前190)在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了完美的圓錐曲線理論．[2]《圓錐曲線論》用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，對現(xiàn)今雙曲線、橢圓的軌跡定義也作了研究，不過，只是作為“雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)性質(zhì)”，且用多個(gè)命題進(jìn)行了證明．在16世紀(jì)之前人們只是出于對純數(shù)學(xué)的興趣來研究圓錐曲線，而且是用靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究圖形的性質(zhì)的，即把它們看做是用平面從不同角度截割錐體所得到的曲線，[3]從而得到了圓錐曲線的截線定義．《圓錐曲線論》所取得的成就令人驚嘆，但是，這種單一的純幾何形式也使其后大約兩千年間的幾何學(xué)裹足不前．文藝復(fù)興以來資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對科學(xué)技術(shù)提出了全新的要求：機(jī)械的普遍使用引起了對機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達(dá)，而測定船舶位置問題要求準(zhǔn)確地研究天體運(yùn)行的規(guī)律……總之，到了16世紀(jì)，對運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題．[1]行星繞日運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)要求人們用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)研究圓錐曲線，人們不再將圓錐曲線看成是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式，將圓錐曲線看成是滿足某種條件的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡更能描述自然界的變化規(guī)律．

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒《方法論》的問世標(biāo)志著解析幾何的產(chǎn)生，笛卡兒批判地繼承前人的成就，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中對立著的兩個(gè)研究對象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，并在數(shù)學(xué)中引入了變量的思想，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)劃時(shí)代的變革．解析幾何的誕生洞開了人們的思維，為研究圓錐曲線開辟了一條嶄新道路．

在歷史的長河中，人們對圓錐曲線認(rèn)識(shí)發(fā)展：從截線定義到軌跡定義，從靜態(tài)觀點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，從純幾何方式到數(shù)形結(jié)合的思想，反映了社會(huì)的發(fā)展，人類對自然界認(rèn)識(shí)的進(jìn)步．正如笛卡兒的一句名言“我思故我在”所表達(dá)的，無論是“日心說”觀念的確立，還是《方法論》的問世，都是懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新精神的結(jié)晶．

2　Dandelin雙球之猜想

2.1　Dandelin雙球之猜想

1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(Germinal Pierre Dandelin，1794—1847)在一篇論文中利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，直接在圓錐曲線上導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性，兩個(gè)內(nèi)切球稱為Dandelin雙球．Dandelin雙球是如何產(chǎn)生的？對這一問題的猜想離不開歷史背景、旦德林工作經(jīng)歷和數(shù)學(xué)思維規(guī)律．

圖1

18世紀(jì)末與19世紀(jì)初，蒙日的《畫法幾何學(xué)》以及蒙日學(xué)生卡諾等人的工作，重新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣．[1]由于射影幾何與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究．旦德林正是那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他從事于立體投影，代數(shù)及概率研究，一個(gè)可能觸發(fā)旦德林靈感的是對球的投影研究．如圖1，觀察一個(gè)球在點(diǎn)光源S的照射下的投影，當(dāng)點(diǎn)光源S的位置變化時(shí)，投影是一些連續(xù)變化的圓錐曲線．這一自然現(xiàn)象也暗合了古希臘人關(guān)于圓錐曲線的研究，把與球相切的光線看成圓錐面，投影看成截面，這就形成了截面截圓錐產(chǎn)生圓錐曲線的情形．現(xiàn)在要做的工作是能用圓錐曲線的軌跡定義來證明截線是圓錐曲線，下面以橢圓為例進(jìn)行研究．證明的關(guān)鍵是要找到焦點(diǎn)，從以上的分析中可以看到球?qū)A錐曲線所產(chǎn)生的影響，點(diǎn)S光源的位置變化也可以看成是球的位置的變化．德國天文學(xué)家開普勒研究天體運(yùn)行軌道時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動(dòng)方式．從這一角度思考，球應(yīng)與圓錐曲線的焦點(diǎn)有關(guān)．而球在投影面上只有一個(gè)點(diǎn)，即切點(diǎn)，因而，猜測切點(diǎn)是焦點(diǎn)是合理的猜想．現(xiàn)在，我們將圓錐放置成正圓錐形狀，如圖2．事實(shí)上，那個(gè)時(shí)代的人已經(jīng)知道，線段AB是橢圓的長軸，其中點(diǎn)是橢圓中心，兩個(gè)焦點(diǎn)在長軸上并關(guān)于橢圓中心對稱．根據(jù)對稱性思想，猜想另一個(gè)焦點(diǎn)很可能也是一個(gè)球與錐面、截面都相切且在截面上的切點(diǎn)，從而，依據(jù)數(shù)學(xué)的思維規(guī)律猜想出另一個(gè)內(nèi)切球和焦點(diǎn)，如圖3．對證明的探索將在教學(xué)設(shè)計(jì)中研究．

圖2

圖3

旦德林用在圓錐面和截面之間嵌入雙球證明圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的等價(jià)性定理也稱為冰淇林定理，定理的表述中將圓錐比作蛋筒，截面比作餅干．或許，旦德林在緊張的工作之余品嘗冰淇林時(shí)獲得了嵌入雙球的靈感，這也是一種雙球產(chǎn)生的可能．

Dandelin雙球的產(chǎn)生還有一種可能是來自于對平面幾何的研究．圖3的軸截面是三角形SAB和其內(nèi)切圓和一個(gè)旁切圓，反過來，將這一平面圖形立體化即是圖3．因而，猜測旦德林在研究平面圖形中獲取了雙球靈感也是一種合理的猜想．

當(dāng)然，以上的三種猜測僅僅是一種合情猜想，探究雙球的產(chǎn)生是為了更好地學(xué)習(xí)圓錐曲線．

圖4

2.2　Dandelin雙球的再思考

筆者在研究Dandelin雙球產(chǎn)生的過程中，一直在思考一個(gè)問題：Dandelin雙球與圓錐曲線的焦點(diǎn)有關(guān)，還與圓錐曲線中哪些量有關(guān)呢？

如圖4，這是圖3的軸截面，O1、O2分別是兩個(gè)內(nèi)切球的球心，F(xiàn)1、F2分別是兩個(gè)內(nèi)切球與截面的切點(diǎn)，也是截得的橢圓曲線焦點(diǎn)．由Rt△AF1O1∽R(shí)t△O2F2A得AF1·AF2=O1F1·O2F2，設(shè)橢圓長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則AF1=a-c，AF2=a+c，從而有O1F1·O2F2=(a-c)·(a-c)=b2，也就是說，橢圓的短半軸長是兩個(gè)內(nèi)切球半徑的等比中項(xiàng)．

同理，對于雙曲線，雙曲線的虛半軸長是兩個(gè)內(nèi)切球半徑的等比中項(xiàng)，證明略．

3　基于猜想的教學(xué)設(shè)計(jì)

蘇教版在“圓錐曲線與方程”的處理上采用了先合后分的方法，即先總體介紹圓錐曲線的概念，再分別用解析法研究橢圓、雙曲線、拋物線．在開始的2.1節(jié)“圓錐曲線”中由一個(gè)平面截圓錐面引出三條曲線：橢圓、雙曲線、拋物線，并用Dandelin雙球證明了橢圓情形，從而得出圓錐曲線的軌跡定義．由此，我們不難看出，Dandelin雙球是聯(lián)系截線定義與軌跡定義的紐帶．因而，本節(jié)課的設(shè)計(jì)應(yīng)把重點(diǎn)放在Dandelin雙球的發(fā)現(xiàn)上，并觸及人們對圓錐曲線認(rèn)識(shí)的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、質(zhì)疑精神．下面是蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》2.1節(jié)“圓錐曲線”的簡要教學(xué)設(shè)計(jì)：

情境設(shè)置，點(diǎn)擊歷史

在公元前3世紀(jì)前后，古希臘學(xué)者梅內(nèi)赫莫斯、歐幾里德、阿基米德、阿波羅尼奧斯等發(fā)現(xiàn)并研究了一類曲線：用一個(gè)平面截圓錐面所得到的曲線．很顯然，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截得的圖形是一個(gè)圓．用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？

結(jié)合實(shí)物模型讓學(xué)生觀察、猜想．

觀察實(shí)驗(yàn)，建立聯(lián)系

實(shí)驗(yàn)觀察，一個(gè)球在點(diǎn)光源S的照射下的投影(如圖5)，當(dāng)點(diǎn)光源S的位置變化時(shí)，投影有哪些變化？(也可以布置學(xué)生課前完成，課上交流．課上教師需借助多媒體演示實(shí)驗(yàn)，以增強(qiáng)觀察的效果．)

圖5

學(xué)生交流后，教師再提問：這一生活實(shí)例與古希臘人用平面截圓錐面的模型有聯(lián)系嗎？

設(shè)計(jì)說明：培養(yǎng)學(xué)生觀察大自然、研究大自然的意識(shí)，并通過與古希臘人用平面截圓錐面的模型建立聯(lián)系，幫助學(xué)生將點(diǎn)光源照射球所得投影的生活實(shí)例抽象成“用平面截圓錐面”的數(shù)學(xué)模型．

活動(dòng)探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)

(僅對橢圓情形進(jìn)行研究．)

問題1：當(dāng)點(diǎn)光源S在球的正上方時(shí)投影的輪廓是什么圖形？投影的輪廓上的點(diǎn)有什么性質(zhì)？(圓，圓上的點(diǎn)到圓心(切點(diǎn))的距離是一個(gè)定值．)

緩慢地移動(dòng)點(diǎn)光源S，投影的輪廓變成了橢圓，提問(問題2)：橢圓上點(diǎn)有何性質(zhì)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，橢圓上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離不是一個(gè)定值．引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：只是稍稍移動(dòng)點(diǎn)光源S，圓變?yōu)闄E圓，橢圓上的點(diǎn)就沒有類似的性質(zhì)嗎？(顯然，橢圓上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離不是一個(gè)定值．)

問題3：(教師一邊演示左右改變點(diǎn)光源S的位置，切點(diǎn)左右擺動(dòng)，一邊提問)圓和橢圓都是軸對稱、中心對稱圖形，投影的輪廓是圓時(shí)，切點(diǎn)是圓的中心；投影的輪廓是橢圓時(shí)，切點(diǎn)偏在一側(cè)，你有何猜測？

引導(dǎo)學(xué)生由橢圓的對稱性猜想：橢圓中還有一個(gè)關(guān)于橢圓中心的對稱點(diǎn)，它應(yīng)該也是一個(gè)球與截面、錐面都相切且在截面的切點(diǎn)，如圖6．

圖6

問題4：如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與切點(diǎn)F1、F2的連線段PF1、PF2，關(guān)于PF1、PF2的長類比圓上點(diǎn)的性質(zhì)有何猜想？

引導(dǎo)學(xué)生觀察：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與切點(diǎn)F1、F2的連線段PF1、PF2一長一短地交替變化著，猜想：PF1與PF2的和是一個(gè)定值．

問題5：這個(gè)定值是什么呢？我們先研究特殊位置．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處，PF1與PF2的和是什么？(如圖7)．

圖7

引導(dǎo)學(xué)生得出：PF1+PF2=AB，PF1+PF2=PC+PD=CD．

問題6：AB、CD是一個(gè)定值，請回顧一下是利用什么定理證明PF1+PF2=AB=CD的？(切線長定理)

目前計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程主要分兩個(gè)學(xué)期開設(shè)，大一上學(xué)期開設(shè)計(jì)算機(jī)文化基礎(chǔ)，下學(xué)期開設(shè)程序設(shè)計(jì)類課程。主要存在以下問題：1.課程設(shè)置體系性不強(qiáng)，課程門數(shù)少，內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排簡單。2.程序設(shè)計(jì)類課程沒有體現(xiàn)專業(yè)特色和培養(yǎng)目標(biāo)；所選擇的程序設(shè)計(jì)語言或陳舊過時(shí)（如VB語言），語法繁多、調(diào)試?yán)щy，不適合沒有任何編程基礎(chǔ)的非計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)（如C語言）。3.后續(xù)課程缺失。課程結(jié)束后，學(xué)生無法進(jìn)一步學(xué)習(xí)更多的計(jì)算機(jī)相關(guān)技術(shù)。

問題7：當(dāng)點(diǎn)P在其他位置時(shí)，PF1+PF2與AB、CD相等嗎？如何證明？

問題8：如果我們要證明PF1+PF2=CD，現(xiàn)在遇到什么困難？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：PF1、PF2與CD分開了，P點(diǎn)不在CD上了，不好直接使用切線長定理．

問題9：能否移動(dòng)CD使CD經(jīng)過P點(diǎn)，這樣便于使用切線長定理？

引導(dǎo)學(xué)生移動(dòng)CD：過P作圓錐面的一條母線分別與兩球相切于點(diǎn)M、Q，MQ=CD(如圖8)，并完成定理證明．

圖8

建構(gòu)橢圓的軌跡定義，以下略．

反思總結(jié)，深化研究

本節(jié)課主要研究了圓錐曲面上的截線的幾何特征并給出了證明，這個(gè)證明是比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林于1822年發(fā)現(xiàn)的，他巧妙地在圓錐面和截面之間嵌入雙球直接在圓錐上推導(dǎo)出橢圓上點(diǎn)的幾何特征，從而證明了圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的一致性．然而從圓錐曲線的截線定義到軌跡定義經(jīng)過了大約兩千年，請同學(xué)們課后查閱相關(guān)資料，深入研究圓錐曲線的發(fā)展史，下節(jié)課交流．

下節(jié)課用一部分時(shí)間交流，向同學(xué)們介紹本文中的“圓錐曲線的發(fā)展歷史”，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、探究的意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

4　結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：“數(shù)學(xué)課程‘要講推理，更要講道理’，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．[6]”數(shù)學(xué)教師要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的思想方法、文化價(jià)值等豐富的內(nèi)涵，充分彰顯數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，全面貫徹以人為本的新課改教學(xué)理念．