初中數(shù)學(xué)最值問題研究與解題策略

陸長(zhǎng)蓁

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)美琪學(xué)校　225100)

一、代數(shù)最值解法舉例

在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題，求最值問題的方法歸納起來有如下幾點(diǎn)：

(1)運(yùn)用配方法求最值；

(2)構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；

(3)建立函數(shù)模型求最值；

(4)利用基本不等式或不等分析法求最值.

1.利用判別式

例1已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若S△AOB=4,S△COD=9,求四邊形ABCD的面積最小值.

分析與解答如圖1，過A、C作BD的垂線，垂足為F、E，設(shè)AF=h1，CE=h2,BD=a,OD=x,則OB=a-x.由已知條件得：

又S四邊形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+13.

于是求四邊形ABCD面積最小值問題轉(zhuǎn)化為求S=S△BOC+S△AOD最小值問題.

(13+S)x2-(18-S)ax+9a2=0(3)

若方程(3)有實(shí)數(shù)根，必須有

Δ=a2(18+S)2-36a2(13+S)=a2S2-144≥0.

而a>0,從而a2>0，于是必須S2-144≥0，因?yàn)镾>0，所以最小值S=12.從而S四邊形ABCD最小值為25.

2.運(yùn)用函數(shù)思想

例2如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是邊BC上一點(diǎn)，QP⊥AP交DC于Q，問當(dāng)P在何位置時(shí)，△ADQ的面積最??？并求出這個(gè)最小值.

分析與解答根據(jù)作圖實(shí)驗(yàn)可知，隨著P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)將在BC上運(yùn)動(dòng)，但在運(yùn)動(dòng)過程中△ABP與△PCQ始終相似，因此可利用相似三角形的性質(zhì)表示出△ADQ的面積與BP之間的函數(shù)關(guān)系式，從而可進(jìn)一步求解.

由二次函數(shù)得性質(zhì)可知，當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值，最小值是6.即當(dāng)P點(diǎn)在BC的中點(diǎn)時(shí)，△ADQ的面積最小，最小面積是6.

3.利用整數(shù)的奇偶性

例3一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)均為整數(shù)，已知它的一條直角邊的長(zhǎng)是18，那么另一條直角邊的長(zhǎng)有____種可能，它的最大值____.

分析與解答設(shè)直角三角形的直角邊是a，斜邊是c，由勾股定理可得c2=a2+18a2，移項(xiàng)，因式分解，得(c+a)(c-a)=182.因?yàn)閏、a是正整數(shù)，所以c+a>c-a，且c+a與c-a的奇偶性相同，又182是偶數(shù)，故c+a、c-a必同為偶數(shù).又(c+a)(c-a)=182=22×34=(34×2)×2=(33×2)×(3×2).

所以另一條直角邊有兩種可能，它的最大值是80.

二、幾何最值解法舉例

幾何最值問題在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見，由于它涉及的知識(shí)面寬，靈活性大，綜合性強(qiáng)，結(jié)構(gòu)新穎，因而有利于考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，一直是中考和各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)之一.為幫助同學(xué)們掌握此類問題常見的解題策略，現(xiàn)舉例如下.

1.利用對(duì)稱變換

例4如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在BC上，且BE=2，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是多少？

分析與解答要求PE+PC的最小值，即在直線BD的同旁有E、C兩點(diǎn)，在BD上找一點(diǎn)P使PE+PC最小，可以通過對(duì)稱變換，將PC變換后求解.

2.利用面積

例5如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P為BC邊上任意一點(diǎn)，分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B′、C′、D′，求BB′+CC′+DD′的最大值或最小值.

分析與解答正方形ABCD是確定的，線段BB′、CC′、DD′的長(zhǎng)度隨P的位置的變化而變化.BB′、CC′、DD′分別是△ABP、△ACP、△ADP中AP邊上的高，若運(yùn)用幾個(gè)三角形面積的和的關(guān)系，可將求BB′+CC′+DD′的最值問題轉(zhuǎn)化為為確定AP的最值.

連結(jié)AC、DP.

∵ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)是1，且S△ADP=S△ADC.

3.利用幾何圖形特性

例7如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸上(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)，給定兩點(diǎn)A(0，a),B(0,b)(a>b).試在x軸的正半軸上(原點(diǎn)除外)求出點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.

分析與解答考慮到圓周角的特性：“在同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，且大于這條弧所對(duì)的圓外角小于這條弧所對(duì)的圓內(nèi)角.”因此在過A、B兩點(diǎn)的所有圓中必有一個(gè)圓與x軸的正半軸相切，這個(gè)切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C，如圖6.C點(diǎn)的坐標(biāo)可通過切割線定理求得.

以上幾例介紹了求最值的基本方法，他們具有一定的代表性.在學(xué)習(xí)中同學(xué)們要不斷地積累，歸納和總結(jié)，靈活地掌握和運(yùn)用.