基于博弈論組合賦權(quán)的TOPSIS模型在地下水水質(zhì)評價中的應(yīng)用

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(四川大學(xué) a.水利水電學(xué)院；b.水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點實驗室, 成都　610065)

1　研究背景

隨著我國工業(yè)、農(nóng)業(yè)和城鎮(zhèn)化的高速發(fā)展，作為水資源重要組成部分的地下水正受到日益嚴(yán)重的污染。目前，地下水是我國絕大部分農(nóng)村地區(qū)的飲用水源，因此，選取客觀、有效、實用的地下水水質(zhì)評價方法，是保障我國農(nóng)村飲水安全[1]的重要基礎(chǔ)，而且對地下水資源的合理開發(fā)利用具有重要作用。目前常用的水質(zhì)評價有確定性水質(zhì)評價方法如F值法和不確定性綜合水質(zhì)評價方法兩類，后者方法主要有模糊評價法、物元評價法、灰色評價法、層次分析法、集對分析法、投影尋蹤評價法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[2-3]。

本文采用被稱為“逼近于理想值的排序方法”的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)模型，它是Hwang 和Yoon提出的一種適用于有限方案多目標(biāo)決策的綜合評價方法[4]。權(quán)重的確定是TOPSIS模型評價中最為關(guān)鍵的問題[5]。傳統(tǒng)TOPSIS模型賦權(quán)常單獨采用客觀賦權(quán)法或主觀賦權(quán)法，如吳健華等[6]用基于熵權(quán)的TOPSIS方法評價石嘴山市地下水水源質(zhì)量等級，何逢標(biāo)[7]采用基于AHP的TOPSIS模型對水資源配置模型進(jìn)行探討。針對客觀賦權(quán)法只根據(jù)指標(biāo)的固有信息量而不能凸顯某些指標(biāo)的相對重要性，主觀賦權(quán)法賦權(quán)雖考慮了專家的知識和經(jīng)驗但存在主觀隨意性等問題，近年來不少學(xué)者提出了組合賦權(quán)法，如楊皓翔等[8]提出將熵權(quán)和AHP法進(jìn)行乘法歸一化組合賦權(quán)，王旭等[9]提出將DEA和AHP確定的權(quán)重通過主觀偏好系數(shù)進(jìn)行線性加權(quán)確定組合權(quán)重，但文獻(xiàn)[8]的乘法合成歸一化組合賦權(quán)可能導(dǎo)致大者更大，小者更小的倍增效應(yīng)的問題，文獻(xiàn)[9]線性加權(quán)法在權(quán)系數(shù)方面根據(jù)主觀偏好系數(shù)決定存在主觀隨意性。

本文引入基于博弈論集合模型將客觀權(quán)重(熵權(quán)法)和主觀權(quán)重(模糊層次分析法)進(jìn)行組合賦權(quán)，同時定義“虛擬負(fù)理想點”代替?zhèn)鹘y(tǒng)負(fù)理想點進(jìn)行改進(jìn)，避免出現(xiàn)計算歐式距離時樣點與理想點和負(fù)理想點等距而無法排序的問題。將博弈論組合賦權(quán)和改進(jìn)的TOPSIS模型應(yīng)用于德陽市5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)地下水水源水質(zhì)綜合評價實例分析，得到較為客觀合理的評價結(jié)果。

2　地下水水質(zhì)評價的TOPSIS模型

2.1　構(gòu)建水質(zhì)評價初始決策矩陣

設(shè)有水樣m個，則水樣集M=(M1，M2，M3，…，Mm)，評價指標(biāo)有n個，則指標(biāo)集N=(N1，N2，N3，…，Nn)，Mi樣對應(yīng)指標(biāo)Nj的決策值Cij(水樣指標(biāo)實測濃度)，則構(gòu)建的水質(zhì)評價決策矩陣為

(1)

2.2　初始決策矩陣無量綱化

初始決策矩陣中各指標(biāo)具有不同的單位、量綱和數(shù)量級，因此要對初始決策矩陣進(jìn)行無量綱化處理。初始矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化按照式(1)構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣X=(xij)m×n。

(2)

式中：cjmax為同一水質(zhì)指標(biāo)中的最大值；cjmin為同一水質(zhì)指標(biāo)中的最小值。

2.3　確定各指標(biāo)的組合權(quán)重

2.3.1熵權(quán)法確定客觀權(quán)重

熵權(quán)法是根據(jù)各評價指標(biāo)固有的信息量來確定評價指標(biāo)權(quán)重的方法。它的基本思想是依據(jù)客觀的指標(biāo)數(shù)據(jù)，若指標(biāo)的差異程度越大，表明該指標(biāo)對評價水樣的貢獻(xiàn)越大，則它的熵值越小，所計算的熵權(quán)越大。因此熵權(quán)法是沒有受到個人主觀因素影響的客觀賦權(quán)法。由熵權(quán)法計算得到的客觀權(quán)重值λ=(λ1，λ2，…，λn)，其具體計算步驟見文獻(xiàn)[6]。

2.3.2模糊層次分析法(FAHP)確定主觀權(quán)重

層次分析法(AHP)廣泛應(yīng)用于多方案多指標(biāo)的復(fù)雜系統(tǒng)的指標(biāo)權(quán)重確定，根據(jù)專家在一定準(zhǔn)則下根據(jù)經(jīng)驗主觀判斷通過兩兩比較的方式確定各指標(biāo)的相對重要性形成判斷矩陣，在滿足一致性的前提下求得各指標(biāo)的權(quán)重。該方法的不足之處是主觀隨意性較強(qiáng)，同時AHP法的判斷矩陣的一致性難以到達(dá)，與人類決策思維的一致性存在差異[10]，在兩兩比較相對重要性時存在更多的是模糊判斷。而模糊層次分析法將模糊一致矩陣與層次分析法相結(jié)合，既保留了AHP的優(yōu)點，又克服了傳統(tǒng)層次分析法在判斷矩陣具有模糊性的缺點，保證了判斷矩陣的一致性，并且更符合人類決策思維。其一般過程如下[11]：

(1)建立水質(zhì)指標(biāo)模糊互補(bǔ)矩陣。水樣有水質(zhì)指標(biāo)N1，N2，N3，…，Nn，將n個水質(zhì)指標(biāo)Ni和Nj進(jìn)行兩兩比較，采用0.1～0.9標(biāo)度的模糊關(guān)系隸屬度(表1)定量描述得到aij，水質(zhì)指標(biāo)模糊判斷矩陣為

(3)

式中：矩陣A=(aij)n×n,由表1中水質(zhì)指標(biāo)模糊關(guān)系隸屬度標(biāo)度值可知，aij滿足0≤aij≤1且aij+aji=1，根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]定義3和4可知A=(aij)n×n為模糊互補(bǔ)矩陣。

表1　水質(zhì)指標(biāo)模糊關(guān)系隸屬度標(biāo)度值

(4)

從而得到矩陣B=(bij)n×n。由公式(4)可知，實施簡單數(shù)學(xué)變換后可滿足bij=bik-bjk+0.5,i,j,k=1,2,…,n，根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]定義5可知，矩陣B=(bij)n×n為模糊一致矩陣，它滿足一致性檢驗，無需進(jìn)行一致性檢驗。

(3)計算水質(zhì)指標(biāo)主觀權(quán)重。用水質(zhì)指標(biāo)模糊一致判斷矩陣B=(bij)n×n計算模糊層次分析(FAHP)的主觀權(quán)重β=(β1，β2，…，βn),即

(5)

2.3.3基于博弈論組合賦權(quán)

基于博弈論的組合賦權(quán)法將主、客觀賦權(quán)法的權(quán)重之間的沖突以納什均衡作為協(xié)調(diào)目標(biāo)尋找不同權(quán)重之間的一致和妥協(xié)，是一個相互比較、相互協(xié)調(diào)的集成過程，并尋找二者最大化共同利益，該方法能夠同時兼顧主、客觀權(quán)重，可以全面地考慮各指標(biāo)之間的固有信息，減少主觀隨意性從而提高指標(biāo)賦權(quán)的科學(xué)合理性。其組合賦權(quán)步驟如下[12]:

(1)本文使用主、客觀2種方法計算各水樣水質(zhì)指標(biāo)權(quán)重，基本權(quán)重向量集uk={uk1，uk2，…，ukn} (k=1，2，…，L)，n為水質(zhì)指標(biāo)數(shù)量，L為確定權(quán)重方法個數(shù),本文為2。設(shè)線性組合權(quán)重系數(shù)α={α1,α2, …，αL}。這些向量任意線性組合為

(6)

(2)尋求不同權(quán)重之間的一致和妥協(xié)，以u和uk的離差極小化為目標(biāo)，對式(6)中L個線性權(quán)重組合系數(shù)αk進(jìn)行優(yōu)化，得到u中最滿意的權(quán)重，得到的目標(biāo)函數(shù)為

(7)

根據(jù)矩陣微分性質(zhì)，式(7)最優(yōu)化的一階導(dǎo)數(shù)條件的線性方程組為

(8)

(9)

2.3.4構(gòu)建加權(quán)決策矩陣

將標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣與組合權(quán)重相乘，得到加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Y=(yij)m×n為

yij=ujxij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。(10)

2.3.5確定各指標(biāo)的“理想點”和“虛擬負(fù)理想點”

第j個指標(biāo)的“理想點”和“負(fù)理想點”實際為指標(biāo)的最優(yōu)值yj+和最差值yj-,即：

為避免樣點出現(xiàn)與理想點和負(fù)理想點歐式距離等距問題，本文引用胡永宏[13]定義的虛擬負(fù)理想點的研究成果，對計算相對貼近度進(jìn)行改進(jìn)[14]。虛擬負(fù)理想點yj-*基本原理是在理想點yj+和負(fù)理想點yj-的延長線上尋找出一個理想點使其滿足數(shù)學(xué)定義，即

yj-*=2yj--yj+。

(13)

2.3.6計算水質(zhì)各指標(biāo)到“理想點”和“虛擬負(fù)理想點”的距離

各水樣到“理想點”和“虛擬負(fù)理想點”的歐式距離分別為：

(14)

(15)

2.3.7計算相對貼近度評價水質(zhì)等級

相對貼近度εi為

根據(jù)εi值由大到小對水樣Mi排序，εi值越大，水質(zhì)越好，根據(jù)排序結(jié)果可以得到各水樣的水質(zhì)等級。

3　 實例分析

本文按照服務(wù)人口數(shù)量大，突出區(qū)域污染特色等原則從德陽市篩選5個典型鄉(xiāng)鎮(zhèn)地下水飲水水源作為重點評價對象，根據(jù)常見地下水污染物[15]并結(jié)合德陽市污染實際情況(存在鐵錳超標(biāo)現(xiàn)象)[12]，選取高錳酸鹽指數(shù)、溶解性總固體、鐵、錳、氯化物和硫酸鹽6個影響該區(qū)域地下水水質(zhì)為主要評價因子進(jìn)行本次綜合評價。參照《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 14848—1993)[16]確定各指標(biāo)等級劃分臨界值。德陽市5個典型鄉(xiāng)鎮(zhèn)地下水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)見表2，分級標(biāo)準(zhǔn)見表3。

表2　德陽市5個典型鄉(xiāng)鎮(zhèn)地下水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)

表3　德陽市5個典型鄉(xiāng)鎮(zhèn)地下水水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)

將5個鎮(zhèn)水樣的水質(zhì)監(jiān)測結(jié)果和各分級標(biāo)準(zhǔn)的分界值一起形成增廣矩陣構(gòu)成水質(zhì)評價初始決策矩陣，按照式(2)無量綱化后形成標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣X=(xij)m×n。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)利用熵權(quán)法計算得到客觀權(quán)重λ，利用模糊層次分析法(FAHP)將專家抉擇形成的模糊判斷矩陣A經(jīng)式(4)和式(5)計算得到的主觀權(quán)重β。在依據(jù)博弈論組合賦權(quán)式(6)—式(9)計算得到α1*=0.180 1,α2*=0.819 9和組合權(quán)重u*，各權(quán)重值見表4。

表4　各水質(zhì)指標(biāo)的權(quán)重值

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣和組合權(quán)重構(gòu)建加權(quán)決策矩陣為

根據(jù)加權(quán)決策矩陣確定各指標(biāo)的理想點和虛擬負(fù)理想點，按照式(14)和式(15)計算得到各水樣到“理想點”和“虛擬負(fù)理想點”的歐式距離，再按照式(16)計算得到各水樣的相對貼近度εi，計算得到的地下水水質(zhì)評價結(jié)果見表5,其分級臨界值見表6。

表5　地下水水質(zhì)綜合評價結(jié)果

表6　地下水水質(zhì)等級臨界值

4　結(jié)果分析

本文同時分別采用不同賦權(quán)方法的TOPSIS模型和F值法對5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的地下水水質(zhì)進(jìn)行綜合評價，與基于博弈論組合賦權(quán)的TOPSIS模型評價結(jié)果進(jìn)行對比分析，見表7。

表7　不同評價方法結(jié)果對比

由表7可知，博弈論組合賦權(quán)的TOPSIS模型與F值法的結(jié)果相比較，孝感鎮(zhèn)和柏隆鎮(zhèn)的評價結(jié)果一樣都屬于Ⅱ類水，F(xiàn)值法其他評價對象結(jié)果均低于Ⅲ類水，由表2水質(zhì)實測結(jié)果可知，德新鎮(zhèn)、黃許鎮(zhèn)和孝德鎮(zhèn)只有個別因子超過Ⅲ類標(biāo)準(zhǔn)，在整體水質(zhì)較好的情況下，F(xiàn)值法對個別超標(biāo)指標(biāo)對整體評價結(jié)果的影響過度放大，有失客觀合理性。

權(quán)重值對TOPSIS的評價結(jié)果影響很大，由表4可知本文3種賦權(quán)方法計算得到的權(quán)重值差距很小，由表7可知2種單獨賦權(quán)的評價結(jié)果和博弈論組合賦權(quán)的模型的結(jié)果一致，但2種方法有各自的不足之處：①選用熵權(quán)法賦權(quán)值僅僅基于原始數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)叵滤胁煌挠猛?，各指?biāo)的重要程度就不同，當(dāng)作為飲用水時，鐵和錳將作為重要的評價指標(biāo)，但熵權(quán)法不能體現(xiàn)指標(biāo)之間的相對重要程度。②選用FAHP法賦權(quán)值雖考慮到專家的知識和經(jīng)驗，但權(quán)重值存在主觀隨意性，不同的專家評分可能導(dǎo)致不同的結(jié)果，同時也難以挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律。本文提出的博弈論組合賦權(quán)的TOPSIS模型評價既能考慮到專家的知識和經(jīng)驗，又反映了客觀數(shù)據(jù)固有的內(nèi)在信息，使賦權(quán)更具科學(xué)合理性。

博弈論組合賦權(quán)的TOPSIS模型不僅能準(zhǔn)確反映評價對象的水質(zhì)等級還能表明各評價對象水質(zhì)等級的優(yōu)劣排序以及偏離分級標(biāo)準(zhǔn)的程度。由表4可知各評價對象和各標(biāo)準(zhǔn)分界的相對貼近度結(jié)果保留小數(shù)點后4位，保證了計算結(jié)果的精度，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)臨界值的分割確切得出評價對象的水質(zhì)等級，表明模型結(jié)果具有準(zhǔn)確性和有效性。同時由相對貼近度可得出各水源地水質(zhì)優(yōu)劣排序情況：I類臨界值>柏隆鎮(zhèn)>孝感鎮(zhèn)>德新鎮(zhèn)>Ⅱ類臨界值>孝德鎮(zhèn)>黃許鎮(zhèn)>Ⅲ類臨界值，從相對貼近度可以計算出德新鎮(zhèn)水源水質(zhì)的貼近度偏離Ⅱ類臨界值0.047 3，黃許鎮(zhèn)水源水質(zhì)的貼近度偏離Ⅲ類臨界值0.087 0，若這2個鎮(zhèn)水源未得到很好的管理，水質(zhì)等級容易往更差的水質(zhì)等級發(fā)展。研究成果可以為水資源管理提供科學(xué)依據(jù)，表明模型結(jié)果具有實用性。

5　結(jié)　論

(1)本文引用模糊層次分析法確定主觀權(quán)重，克服了傳統(tǒng)層次分析法確定權(quán)重過程的一些弊端。將客觀賦權(quán)(熵權(quán))和主觀賦權(quán)(FAHP)基于博弈論思想進(jìn)行組合賦權(quán)，同時兼顧主、客觀權(quán)重，可以全面考慮各指標(biāo)之間的固有信息，并考慮了專家的知識和經(jīng)驗，提高指標(biāo)賦權(quán)的科學(xué)合理性。同時定義的“虛擬負(fù)理想點”克服了傳統(tǒng)TOPSIS模型在計算相對貼近度時出現(xiàn)均為1/2而無法判斷樣點優(yōu)劣的現(xiàn)象，完善和改進(jìn)了TOPSIS模型。

(2)本模型應(yīng)用于德陽市5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的農(nóng)村地下水源水質(zhì)綜合評價，確切得出了5個水源地的水質(zhì)等級。德新鎮(zhèn)、孝感鎮(zhèn)和柏隆鎮(zhèn)地下水質(zhì)等級為Ⅱ類水，黃許鎮(zhèn)和孝德鎮(zhèn)地下水質(zhì)等級為Ⅲ類水，并得出各鎮(zhèn)地下水水質(zhì)的優(yōu)劣排序以及偏離分級標(biāo)準(zhǔn)的程度，由實測數(shù)據(jù)可知，各鎮(zhèn)水源水質(zhì)情況整體較好，只有個別指標(biāo)超過Ⅲ類標(biāo)準(zhǔn)，評價結(jié)果較為符合實際情況。

(3)將基于博弈論組合賦權(quán)和改進(jìn)的TOPSIS模型與其他評價方法的結(jié)果進(jìn)行對比表明，本模型應(yīng)用于地下水水質(zhì)綜合評價流程清晰簡單，評價結(jié)果具有客觀、有效及實用等優(yōu)點，具有一定的推廣應(yīng)用價值。