以Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)構(gòu)造及算法

周潔,王貴君

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 天津300387)

0 引 言

自1965年ZEDEH教授首次提出模糊集概念以來,模糊系統(tǒng)理論在許多研究領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,尤其是常見的Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)得到了長(zhǎng)足的發(fā)展和重點(diǎn)關(guān)注.1985年,日本學(xué)者TAKAGI與SUGENO (T-S)[1]基于輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)率先建立了T-S模糊系統(tǒng)模型,并將其應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制中;1992年,WANG等[2]采用正則最小二乘法和模糊基函數(shù)研究了Mamdani模糊系統(tǒng)及其特性,并借助Stone-Weierstrass定理證明了該系統(tǒng)對(duì)連續(xù)函數(shù)具有逼近性,但對(duì)可積函數(shù)類的逼近性涉及很少.2000年,劉普寅等[3]首次提出分片線性函數(shù)概念,并以此為橋梁研究了廣義模糊系統(tǒng)對(duì)Lebesgue可積函數(shù)的泛逼近性問題.2006年,劉福才等[4]也以非線性函數(shù)為輸出后件,構(gòu)造了一類T-S型模糊系統(tǒng),并討論了該系統(tǒng)的逼近性能.2012年,王貴君等[5]將Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)進(jìn)行合并，建立了混合模糊系統(tǒng),并證明該混合系統(tǒng)不僅保持了逼近性能,而且可通過對(duì)輸入變量分層來減少模糊規(guī)則數(shù).2015年,張國(guó)英等[6]基于分片線性函數(shù)研究了一類非線性T-S型模糊系統(tǒng)對(duì)p-可積函數(shù)的逼近性；相關(guān)研究還可參閱文獻(xiàn)[7-8].以上工作為進(jìn)一步探究模糊系統(tǒng)的逼近性奠定了理論基礎(chǔ).

Bernstein多項(xiàng)式是基于某個(gè)給定函數(shù)而形成的一個(gè)特定型多元多項(xiàng)式,其在研究高維空間函數(shù)逼近或插值問題中發(fā)揮了重要作用[9].2001年,張恩勤等[10]以一元多項(xiàng)式為規(guī)則后件，研究了一類模糊系統(tǒng)的插值特性,并借助插值法討論了該系統(tǒng)的逼近精度問題.但該結(jié)果僅限于單輸入單輸出的一維模糊系統(tǒng).本文以多元Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件，構(gòu)造一類多輸入單輸出模糊系統(tǒng),并利用隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)所確定的Bernstein多項(xiàng)式給出該模糊系統(tǒng)的輸出算法.

1 模糊系統(tǒng)的構(gòu)造

通常,模糊規(guī)則后件對(duì)模糊系統(tǒng)的輸出值影響較大,依據(jù)不同規(guī)則后件建立的模糊系統(tǒng)顯然不同.實(shí)際上,Mamdani模糊系統(tǒng)的規(guī)則后件是一個(gè)模糊集,而T-S模糊系統(tǒng)的規(guī)則后件是關(guān)于輸入變量的多元線性函數(shù),且Mamdani模糊系統(tǒng)可視為T-S模糊系統(tǒng)的特例.本節(jié)將采用多元Bernstein多項(xiàng)式取代規(guī)則后件建立異于Mamdani和T-S的一種模糊系統(tǒng).為此,首先對(duì)前件模糊集族實(shí)施一定限制，給出構(gòu)造模糊系統(tǒng)的幾個(gè)相關(guān)概念.

定義1設(shè){A1,A2,…,AN}為論域U?R上一個(gè)模糊集族,分別給出以下概念:

(1) 若每個(gè)模糊集Ai的核滿足KerAi≠?,i=1,2,…,N,則稱{A1,A2,…,AN}在U上是標(biāo)準(zhǔn)的.

(2) 若?x∈U,?i0∈{1,2,…,N}，使得Ai0(x)>0,則稱{A1,A2,…,AN}在U上是完備的.完備性強(qiáng)調(diào)論域U被所給集族的支撐集完全覆蓋,且不能有空隙.

(3) 若?x∈Ker (Aj),j=1,2,…,N,滿足Ai(x)=0(i≠j),則稱{A1,A2,…,AN}在U上是一致的.一致性強(qiáng)調(diào){A1,A2,…,AN}相鄰模糊集的隸屬函數(shù)之間必須相交,但不能過界.

下面,再來熟悉有關(guān)多元Bernstein多項(xiàng)式的一些概念.因通過線性變換可將一般閉區(qū)間[a,b]變換為[0,1],故可設(shè)[ai,bi]=[0,1],i=1,2,…,n,且只要在[0,1]n=[0,1]×[0,1]×…×[0,1]上討論Bernstein多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)問題即可.

設(shè)f(x)是[0,1]n上的連續(xù)函數(shù),m1,m2,…,mn分別為[0,1]n空間每個(gè)坐標(biāo)軸上[0,1]閉區(qū)間的等距剖分?jǐn)?shù).特別地,當(dāng)n=1時(shí),[0,1]上一元Bernstein多項(xiàng)式Bm(f;x)可表示為

當(dāng)n=2時(shí),[0,1]×[0,1]上的二元Bernstein多項(xiàng)式Bm1,m2(f;(x1,x2))可表示為

(1)

一般地,n元Bernstein多項(xiàng)式可表示為

Bm1,m2,…,mn(f;(x1,x2,…,xn))=

(1-xn)mn-kn.

若記

則有

(x1+1-x1)m1(x2+1-x2)m2…×

(xn+1-xn)mn=1.

故n元Bernstein多項(xiàng)式可簡(jiǎn)化為

Bm1,m2,…,mn(f;(x1,x2,…,xn))=

若?x=(x1,x2,…,xn)∈[0,1]n,則n元Bernstein多項(xiàng)式還可簡(jiǎn)化為

Bm1,m2,…,mn(f;x)=

(2)

現(xiàn)以二元Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件構(gòu)造模糊系統(tǒng),設(shè)二維IF-THEN模糊規(guī)則形如：

基于上述二維IF-THEN模糊規(guī)則、乘積推理機(jī)、單點(diǎn)模糊化和中心平均解模糊化,不難獲得新模糊系統(tǒng)的解析表達(dá)式：

F(x1,x2)=

(3)

注1因模糊系統(tǒng)(3)隨輸入變量(x1,x2)隨機(jī)變化，其所屬剖分區(qū)域也隨之改變,故稱Bernstein多項(xiàng)式Bm1,m2(f;(x1,x2))的指標(biāo)變量m1,m2為隨機(jī)剖分?jǐn)?shù).實(shí)際上,隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)m1和m2與論域[0,1]×[0,1]上的剖分?jǐn)?shù)N1和N2有本質(zhì)區(qū)別,m1由輸入點(diǎn)(x1,x2)第1個(gè)分量對(duì)應(yīng)x1軸上的非零前件模糊集隨機(jī)確定,m2由第2個(gè)分量對(duì)應(yīng)x2軸上非零前件模糊集隨機(jī)確定,參見圖1.

圖1 [0,1]×[0,1]上(N1=5,N2=4)的等距剖分圖Fig. 1 Scheme figure of equidistant subdivision on [0,1]×[0,1] when N1=5,N2=4

類似地,設(shè)n-維模糊規(guī)則為:

THENyisBm1,m2,…,mn(f;(x1,x2,…,xn)).

依乘積推理機(jī)、單值模糊化和中心平均解模糊化，可得n維模糊系統(tǒng)的輸出為

Bm1,m2,…,mn(f;x),

(4)

特別地,若取前件模糊集為三角形隸屬函數(shù),則有

此時(shí),?x=(x1,x2,…xn)∈[0,1]n,模糊系統(tǒng)(4)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

Bm1,m2,…,mn(f;x).

(5)

至此,以多元Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件構(gòu)造了多輸入單輸出模糊系統(tǒng)(4)的輸出表達(dá)式,并通過選取輸入樣本點(diǎn)和圖1分析了隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)的生成過程.

2 模糊系統(tǒng)逼近及算法

模糊系統(tǒng)可近似表示某些信息不完整的未知函數(shù),通常只得知所給函數(shù)f在某論域內(nèi)所有點(diǎn)或局部點(diǎn)的取值(數(shù)據(jù)對(duì)),并不知該函數(shù)的解析表達(dá)式.否則,若f的解析式已知,再去構(gòu)造煩瑣的模糊系統(tǒng)將毫無意義.因此,具有逼近性能的模糊系統(tǒng)才更有理論價(jià)值.

下面給出可由Bernstein多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的一個(gè)引理,進(jìn)而給出該模糊系統(tǒng)的逼近性證明和輸出算法.

引理1[9]設(shè)f是[0,1]n上多元連續(xù)函數(shù),則?ε>0和x=(x1,x2,…,xn)∈[0,1]n,?m1,m2,…,mn∈N,使得|Bm1,m2,…,mn(f;x)-f(x)|<ε.

定理1設(shè)f是[0,1]n上一個(gè)連續(xù)函數(shù),則對(duì)?ε>0,存在形如式(4)的基于Bernstein多項(xiàng)式的模糊系統(tǒng)F,使得?x=(x1,x2,…,xn)∈[0,1]n,有

|F(x)-f(x)|<ε.

此時(shí),對(duì)?ε>0和x=(x1,x2,…,xn)∈[0,1]n,由式(4)和引理1可得

(Bm1,m2,…,mn(f;x)-f(x))|≤

|Bm1,m2,…,mn(f;x)-f(x)|<ε.

因此,以多元Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)在[0,1]n上對(duì)連續(xù)函數(shù)具有逼近性.此結(jié)論對(duì)進(jìn)一步研究模糊系統(tǒng)具有重要意義.

注2通過線性變換可將一般閉區(qū)間[a,b]變換為[0,1],故此定理可推廣至Rn空間中的任意n-維長(zhǎng)方體,即以Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)可在n-維長(zhǎng)方體上逼近連續(xù)函數(shù).此外,直觀上看，雖然模糊系統(tǒng)式(4)相對(duì)簡(jiǎn)單,但要具體計(jì)算該系統(tǒng)的輸出值卻較為復(fù)雜.究其原因主要是多元Bernstein多項(xiàng)式的每個(gè)分量都有自身的隨機(jī)剖分?jǐn)?shù),從而導(dǎo)致計(jì)算步驟煩瑣.為此,接下來將給出該模糊系統(tǒng)的輸出算法,并假設(shè)f是[0,1]n上的連續(xù)函數(shù).

輸出算法

第1步剖分論域.在每個(gè)坐標(biāo)軸xi(i=1,2,…,n)所屬區(qū)間[0,1]上進(jìn)行Ni-1等距分割,分割點(diǎn)為j/Ni,j=0,1,2,…,Ni,相應(yīng)剖分?jǐn)?shù)為N1,N2,…,Nn,分割后每個(gè)軸上小區(qū)間長(zhǎng)度均為1/(Ni-1).再過每個(gè)分點(diǎn)作垂線,即可獲得論域空間[0,1]n上的一個(gè)剖分.

第2步定義前件模糊集.在每個(gè)坐標(biāo)軸[0,1]上以每個(gè)分點(diǎn)為峰值點(diǎn)定義一致標(biāo)準(zhǔn)完備的前件模糊集族,通常取這些模糊集為三角形或梯形隸屬函數(shù),且每個(gè)軸上可定義Ni個(gè)模糊集,i=1,2,…,n,其中兩端模糊集的隸屬函數(shù)圖像為半三角形或半梯形,參見圖1.

第3步確定隨機(jī)剖分?jǐn)?shù).根據(jù)所輸入樣本點(diǎn)x=(x1,x2,…,xn)確定每個(gè)分量在所屬小區(qū)間起作用的非零前件模糊集,從而獲得Bernstein多項(xiàng)式Bm1,m2,…,mn(f;x)所有可能的隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)m1,m2,…,mn的若干組合.

第4步計(jì)算Bm1,m2,…,mn(f;x).依據(jù)所得隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)m1,m2,…,mn的所有可能組合，計(jì)算Bernstein多項(xiàng)式Bm1,m2,…,mn(f;x)在所給樣本點(diǎn)x=(x1,x2,…,xn)處的值.

第6步計(jì)算系統(tǒng)輸出值.將第4和第5步所得值代入式(4),得模糊系統(tǒng)的最終輸出值.

注3實(shí)際中,通過給定逼近精度ε適當(dāng)選取第1步所涉及的剖分?jǐn)?shù)Ni,簡(jiǎn)單起見，也可選取N1=N2=…=Nn.此外,為計(jì)算方便，第2步要求前件模糊集一致標(biāo)準(zhǔn)完備.例如,取三角形二相波隸屬函數(shù),則每個(gè)輸入樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)mi(i=1,2,…,n)僅有2種取值,此時(shí)模糊系統(tǒng)共有2n條規(guī)則.特別當(dāng)輸入樣本點(diǎn)為格點(diǎn)(頂點(diǎn))時(shí),所有隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)mi只有1種取值,此時(shí),該系統(tǒng)僅有1條模糊規(guī)則.

3 實(shí)例分析

解在不考慮逼近精度的情況下,先設(shè)N1=5,N2=4(參見圖1),2個(gè)坐標(biāo)軸上前件模糊集的隸屬函數(shù)可通過適當(dāng)左右平移其中某一個(gè)得到.由式(5)有

(m1,m2)=(2,2);(2,3);(3,2);(3,3).

(6)

為更好地研究本文設(shè)計(jì)系統(tǒng)逼近性的精度及特點(diǎn)，再選取幾個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)的輸出,并將其輸出與函數(shù)值及Mamdani模糊系統(tǒng)的輸出進(jìn)行對(duì)比.

表1 2類模糊系統(tǒng)在5個(gè)樣本點(diǎn)處的輸出及精度比較

從表1的結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn),Mamdani模糊系統(tǒng)的輸出值誤差較為穩(wěn)定,這是由于Mamdani模糊系統(tǒng)后件輸出只與樣本點(diǎn)所在剖分區(qū)域的4個(gè)頂點(diǎn)有關(guān).而以Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)的輸出受樣本點(diǎn)所在區(qū)域影響較大,且樣本點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)誤差越小，這主要由Bernstein多項(xiàng)式的自身特性所決定.事實(shí)上,以Bernstein多項(xiàng)式為模糊系統(tǒng)的規(guī)則后件正是本文的創(chuàng)新點(diǎn).雖然某些點(diǎn)的輸出，本文系統(tǒng)不及Mamdani模糊系統(tǒng)理想,但當(dāng)樣本點(diǎn)接近(1,1)點(diǎn)時(shí),以Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)的實(shí)際輸出優(yōu)于Mamdani模糊系統(tǒng).例如,在樣本點(diǎn)D4和D5處，以Bernstein多項(xiàng)式為規(guī)則后件的模糊系統(tǒng)的輸出誤差明顯較Mamdani模糊系統(tǒng)小.

4 結(jié) 論

構(gòu)造了依據(jù)Bernstein多項(xiàng)式的多元模糊系統(tǒng),特別是在前件模糊集選取三角形二相波時(shí)獲得了更為簡(jiǎn)化的模糊系統(tǒng).證明了該模糊系統(tǒng)具有逼近性,還給出了該系統(tǒng)的輸出算法.當(dāng)然,計(jì)算由隨機(jī)剖分?jǐn)?shù)確定的Bernstein多項(xiàng)式在樣本點(diǎn)的取值尤為重要.事實(shí)上,本文只是在隨機(jī)給定剖分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了輸出算法,實(shí)際問題中剖分?jǐn)?shù)是依據(jù)逼近精度適當(dāng)選取的.目前該系統(tǒng)的逼近精度并不十分理想,有待繼續(xù)探討.