類比法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

金　葉

(江蘇省南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　210000)

一、類比法的概念

類比法是探索、解決高中數(shù)學(xué)問題的一種常用的思維方法.它把我們研究的某一個(gè)數(shù)學(xué)問題的概念、屬性或解決的方法，類似地應(yīng)用于另一個(gè)數(shù)學(xué)問題的概念、屬性，或者解決問題的方法上.

法國著名的數(shù)學(xué)家、概率論的現(xiàn)代形式的奠基人拉普拉斯曾說過:“甚至在數(shù)學(xué)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是類比與歸納.”

類比法是最常用的邏輯推理方法，而邏輯推理是新課標(biāo)中對高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六大內(nèi)容之一.因此，為落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)于課堂教學(xué)之中，研究類比法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，具有重要的理論與實(shí)踐的意義.

二、類比法的作用

在高中數(shù)學(xué)中，類比法的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：

1.新的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、原理、定理及公理等的學(xué)習(xí).因?yàn)槲覀冊趯W(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識的時(shí)候，可以通過類比，廣泛地聯(lián)想以前學(xué)過的知識，對新舊知識進(jìn)行對比后，建立起新舊知識之間的聯(lián)系，從而以最快的方式更新自我的知識體系.

2. 通過類比構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),促進(jìn)知識系統(tǒng)的形成與掌握.

3. 利用類比啟迪思維,培養(yǎng)解決問題的能力.

三、類比法在高中解題中的應(yīng)用

在高考解題中，類比法的應(yīng)用主要體現(xiàn)在五個(gè)方面：平面圖形與立體圖形間的類比、相似數(shù)學(xué)概念間的類比、不同數(shù)學(xué)知識間的類比、解題方法自身的類比、數(shù)字特征的類比.下面以平面圖形與立體圖形間的類比予以舉例并詳細(xì)闡釋.

一般地，我們把平面圖形的概念、位置或大小關(guān)系與立體圖形的相關(guān)概念進(jìn)行類比，以利于形成在空間中的一般性結(jié)論.

類比法.

邊長對應(yīng)表面積，內(nèi)切圓半徑應(yīng)對應(yīng)內(nèi)切球半徑.

證明方法的對比：

如圖1，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，r為其內(nèi)切圓的半徑，則

S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO

如圖2，點(diǎn)O為四面體S-ABC的內(nèi)切球的圓心，r為其內(nèi)切球的半徑，則

VS-ABC=VO-ABC+VO-SAC+VO-SAB+VO-SBC

點(diǎn)評平面幾何類比到立體幾何中時(shí)，點(diǎn)、線、面分別類比到線、面、體.本題中既有方法的類比，也有結(jié)論的類比.

例2由圖3，有面積關(guān)系:

類比法.

點(diǎn)評本題是從平面向空間的類比，結(jié)論與方法都具有相似性.

例3已知結(jié)論：“正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和是一個(gè)定值”，將空間與平面進(jìn)行類比，空間中什么樣的圖形可以對應(yīng)三角形？在對應(yīng)圖形中有與上述結(jié)論相應(yīng)的結(jié)論嗎？

解析類比法.正三角形對應(yīng)正四面體，三角形的邊對應(yīng)四面體的面.得到猜測：正四面體內(nèi)一點(diǎn)到四個(gè)面距離之和為一個(gè)定值.下面予以證明.

如圖5，在正三角形中，令正三角形的邊長為a.

∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，

如圖6，在正四面體中，令正四面體A-BCD的棱長為a.則VA-BCD=VP-BCD+VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD，

點(diǎn)評在正三角形中，可用面積分割法證明,而類似地，在正四面體中，可用體積分割法予以證明.

四、類比法在應(yīng)用中的易錯警示

類比法應(yīng)用中，常常表現(xiàn)為一種合情推理，其結(jié)論具有或然性，因此在解答題中運(yùn)用此方法時(shí)，要確認(rèn)結(jié)論的正確性時(shí)必須加以嚴(yán)格的證明.

總之，大膽類比，小心檢驗(yàn)，嚴(yán)格論證之后，你的結(jié)論一定正確.