有效解決不規(guī)則多面體外接球問題的策略

周迎富

(福建省晉江市子江中學(xué)　362261)

一、直三棱柱及其補(bǔ)形體

直三棱柱外接球的球心在上下底面外心連線的中點(diǎn)處；?？疾槿悊栴}：底面分別是銳角、直角、鈍角三角形.直三棱錐可補(bǔ)形成直三棱柱，其外接球球心與對應(yīng)的直三棱柱相同.

例1(2009全國Ⅰ卷理科) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____.

題源變式可變?yōu)橹比忮FA1-ABC，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠CAB=60°或90°或120°，求外接球表面積；

二、直四棱柱及其補(bǔ)形體

在實(shí)際解題中，通常還考查正方體、長方體及其補(bǔ)形體的外接球問題，常見的有四類幾何體可通過補(bǔ)形成正方體、長方體，來便捷地確定它們的球心和半徑.

第①類直角四面體(三條側(cè)棱或三個側(cè)面兩兩垂直)、直角三棱柱；

第②類四個面都是直角三角形的四面體；

第③類等腰四面體(三組對棱分別相等，AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c).

設(shè)補(bǔ)形后的長方體長寬高分別為x,y,z，則：

x2+y2=a2，z2+y2=b2，x2+z2=c2

第④類正四面體(各面都是正三角形，設(shè)棱長為a)

三、特殊組合型斜三棱錐

在命題中，還有一類考查對象是由等邊、等腰、直角三角形構(gòu)成特殊二面角組合的斜三棱錐，這類斜三棱錐外接球問題的解決步驟是：①通過計(jì)算確定三棱錐各個面的特征；②確定特殊三角形的外心；③分別過兩個特殊三角形的外心作所在平面的垂線，即得直徑所在直線，兩直徑交點(diǎn)即為球心.

1.直角三角形組合成的三棱錐

解析法一過Rt△PAB，Rt△ABC的外心分別作垂線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即球心，AC即直徑，故答案：3π.

法三通過驗(yàn)證，易得該三棱錐是以AP或BC為高的直三棱錐，可補(bǔ)形成對應(yīng)的直三棱柱來求解.

法四通過計(jì)算，存在共斜邊的兩個直角三角形△PAC、△BAC，則斜邊AC即外接球直徑.

2.等邊+直角三角形組合成特殊二面角的三棱錐

3.等腰+直角三角形組合成特殊二面角的三棱錐

定理得：

外接球的表面積S=18π.

四、其他不規(guī)則三棱錐的外接球問題

對于沒有存在特殊三角形組合的情況，先確定球心，后利用球心到頂點(diǎn)的距離等于半徑、或球心與某個面外心的連線垂直于該面等性質(zhì)求解.

例5(2017福建質(zhì)檢理數(shù))空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，E,F分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于____.

綜上幾種類型，解決與球的外接問題重點(diǎn)是確定球心位置和半徑，關(guān)鍵是抓住球心到多面體頂點(diǎn)的距離等于半徑.掌握好基本的作圖能力和平面幾何基本知識，發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化,那么問題即可得解.