透析零點(diǎn)問題,提升數(shù)學(xué)覺悟
——求參數(shù)范圍的函數(shù)零點(diǎn)問題為例

張心安

(安徽省黃山市黃山旅游管理學(xué)校　245799)

求參數(shù)范圍的函數(shù)零點(diǎn)問題綜合性強(qiáng),始終是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問題.這類問題的解決一般是首先運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)方法對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再以導(dǎo)數(shù)為工具,數(shù)形結(jié)合去解決問題.

問題1(2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)模擬試卷)已知函數(shù)f(x)=ex+lnx—ax在(1，3)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

方法一構(gòu)造函數(shù),數(shù)形結(jié)合

分析:觀察函數(shù)f(x)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)注意指對(duì)分離，f(x)=0?lnx=ax—ex，則易于作出兩函數(shù)圖像，并對(duì)交點(diǎn)情況進(jìn)行討論.

解令h(x)=ax—ex,g(x)=lnx,則h′(x)=a-ex

(1)當(dāng)00且 單調(diào)遞增，h(x)與g(x)在(1，3)無交點(diǎn).

(2)當(dāng)e

當(dāng)x∈(1,lna),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；

(3)當(dāng)a≥e3,x∈(1，3),∴h′(x)>0,h(x)>h(1)>0,又h(3)=3a-e3>2e3>ln3 ,h(x)與g(x)無交點(diǎn).

方法二分離參數(shù),數(shù)形結(jié)合

方法一構(gòu)造函數(shù),數(shù)形結(jié)合

分析觀察函數(shù)f(x)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)注意將對(duì)數(shù)型分離，f(x)=0?k(x+2)=x2-xlnx+2,則易于作出兩函數(shù)圖像，并對(duì)交點(diǎn)情況進(jìn)行討論.

方法二分離參數(shù),數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x∈(1,+∞),h′(x)>0,∴h(1)=1=h(x)min,

高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,還會(huì)遇到更多類似問題,問題呈現(xiàn)不盡相同,因而學(xué)生解題的關(guān)鍵應(yīng)是不斷提高自我的數(shù)學(xué)覺悟,體會(huì)并能應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想,正確利用導(dǎo)數(shù)知識(shí),數(shù)形結(jié)合,透析問題,充分領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦.