圓錐的（體積）變化

劉善娜

（作者單位：浙江寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

【教學(xué)時(shí)機(jī)】

人教版六年級(jí)下冊(cè)，圓錐的體積學(xué)習(xí)之后。

【教學(xué)過程】

一、回顧圓柱與圓錐的關(guān)系

1.看式子畫圖形。

看著 3.14×32×4÷3=37.68（平方厘米），請(qǐng)你描述一下這是一個(gè)怎樣的圓錐？

2.請(qǐng)畫出這個(gè)圓錐以及與它等底等高的圓柱的草圖并標(biāo)注相關(guān)數(shù)據(jù)。

【設(shè)計(jì)意圖：從式子想象圖形，進(jìn)一步掌握與圓錐體積計(jì)算相關(guān)的基本數(shù)據(jù)?！?/p>

二、三角形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成圓錐

1.要使三角形旋轉(zhuǎn)形成圓錐，必須是什么三角形？以哪條邊為軸旋轉(zhuǎn)？

想象、描述、作圖：直角三角形，一條直角邊為軸，另一條直角邊為底面半徑。

師：以哪條邊為軸，體積更大？為什么？

師：如果這個(gè)直角三角形的一條直角邊為4，另一條直角邊為3，試著求出這兩個(gè)立體圖形的體積。

小結(jié)：以較長的直角邊為半徑，得到的體積更大。

【設(shè)計(jì)意圖：想象和描述是空間觀念培養(yǎng)的主要途徑，因此要多讓學(xué)生經(jīng)歷想象、描述、作圖的過程，并通過草圖，掌握?qǐng)D形的特征?！?/p>

2.如果是以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)，會(huì)形成什么圖形？想象、描述、作圖。

問1：這個(gè)直角三角形的一條直角邊為4，一條直角邊為3，則斜邊為5，你能求出它的體積嗎？

問2：能試著先確定思路嗎？

畫截面圖，標(biāo)注數(shù)據(jù)→嘗試

討論：先求半徑，再設(shè)高為x和（5-x）。

（視學(xué)生解答情況進(jìn)行引導(dǎo)）

小結(jié)：上下兩個(gè)圓錐等底面，因此兩部分的“高”可以融合。

【設(shè)計(jì)意圖：以斜邊為軸的立體圖形的體積計(jì)算難度較大。但是拓展一下，有利于培養(yǎng)學(xué)生利用草圖去分析的意識(shí)和能力。】

三、圓錐和圓柱的關(guān)系

1.畫等底等高的一對(duì)圓錐與圓柱。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生到了六年級(jí)，已經(jīng)具備一定的分析能力，而且學(xué)生又有了三角形與平行四邊形的變化經(jīng)驗(yàn)，因此圓柱和圓錐的變化不再借助具體的數(shù)據(jù)，而是通過直觀感知來確定“大小”?！?/p>

2.畫等底等體積的一對(duì)圓錐與圓柱。

（1）學(xué)生嘗試畫。

（2）呈現(xiàn)正確作品，交流。

問：圓柱的高度，你是怎么確定的？

充分交流，多種思考角度：

①體積公式數(shù)據(jù)推理。

根據(jù)題意，可知Sh柱=Sh錐÷3→h柱=h錐÷3

（3）呈現(xiàn)畫錯(cuò)的作品，引導(dǎo)學(xué)生自己分析錯(cuò)誤。

【設(shè)計(jì)意圖：確定圓柱的高度，對(duì)學(xué)生而言是比較難的。因此需要多角度幫助不同層次的學(xué)生理解“變化”?！?/p>

3.畫等高等體積的一對(duì)圓錐與圓柱。

（2）學(xué)生上臺(tái)展示，說理。

交流的核心問題：圓柱的底面大小，你是怎么確定的？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生有了“確定高”的經(jīng)驗(yàn)，“確定底面”教師就可以放手由學(xué)生來展示、說理，多角度表達(dá)自己的理解?！?/p>

4.跟進(jìn)思考。

試著填一填“等（）等（），圓錐（）是圓柱的（）”。

小結(jié)：等底等高，圓錐體積是圓柱的三分之一；等底等體積，圓錐高是圓柱的三倍；等高等體積，圓錐底是圓柱的三倍。

追問：為什么后兩種情況“等體積”時(shí)，作為“弱者”的圓錐的“高”和“底”，反而是圓柱的三倍了呢？

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生的印象中，圓錐是“弱者”，他們會(huì)習(xí)慣于回答圓錐的（）是圓柱的三分之一。通過草圖繪制，使學(xué)生從抽象的變化感知走向具體的大小感知?！?/p>

四、全課總結(jié)（略）

【教學(xué)建議】

等底等高的圓柱與圓錐的體積關(guān)系，學(xué)生不難掌握。但一旦逆向，如變成“等體積等高求底面積”的情況，學(xué)生就會(huì)混亂。在畫圖過程中，要把握好幾個(gè)點(diǎn)：

一、掌握畫圖技巧：“底”和“高”能直接畫，要先畫好

“等高”“等底”是可以直接用草圖表示出來的。如畫一對(duì)“等底等體積”的圓柱和圓錐，等底，就先畫兩個(gè)小橢圓，很快能畫好。但是“等體積”怎么畫呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)接下來要畫的只能是“高”了，“底”配上“高”才有體積。畫“體積”其實(shí)是一種間接的畫，需要推算，要晚一步才能畫，要讓學(xué)生先有這樣的基本認(rèn)知。

二、重視錯(cuò)例分析：“體積”推算，多展示交流錯(cuò)誤

如上所述畫一對(duì)“等底等體積”的圓柱和圓錐，“畫體積”相對(duì)較難，因此不僅要允許學(xué)生出錯(cuò)，還要呈現(xiàn)錯(cuò)例，分析對(duì)比。學(xué)生很可能在畫出“等底”后又畫了“等高”。畫的時(shí)候，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)混亂、畫錯(cuò)高度，可一旦圖形真的畫出來后，他們也會(huì)發(fā)現(xiàn)這是“等底等高”，那“體積”一定是圓柱的大，能認(rèn)識(shí)到自己畫錯(cuò)了。畢竟學(xué)生對(duì)“尖尖的圓錐比較小，圓筒般的圓柱比較大”的直觀感知是充分的。這是一種正向驗(yàn)證，也很有價(jià)值。

三、體現(xiàn)畫圖優(yōu)越性：讓學(xué)生關(guān)注到“1”與“3”的清楚呈現(xiàn)

當(dāng)學(xué)生能夠“正向驗(yàn)證”，將圓柱與圓錐的“底”和“高”畫出“差異”時(shí)，要將“差異”量化，盡可能清楚地表現(xiàn)出1∶3的關(guān)系，讓學(xué)生畫圖之后就知道問題的答案，感受到作圖的優(yōu)越性。