GM(1,1)模型與DEA結(jié)合對數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)的效率評價

方 煒，楊 步

（西北工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，西安 710072）

0 引言

自從A.Charnes、W.W.Cooper等學(xué)者在1978年提出DEA模型以來，該方法已運用到對很多系統(tǒng)進(jìn)行效率評價[1-3]，評價結(jié)果對于系統(tǒng)如何合理地分配和利用資源具有重要的指導(dǎo)意義。但是在對系統(tǒng)效率進(jìn)行評價的時候，它們都是在已知投入、產(chǎn)出的情況下進(jìn)行DEA分析，并未考慮由于數(shù)據(jù)滯后導(dǎo)致數(shù)據(jù)未知系統(tǒng)的效率如何評價。文獻(xiàn)[4-6]考慮到了產(chǎn)出相對投入具有滯后性的問題，它們首先分別利用不同方法來確定滯后期，然后再建立滯后產(chǎn)出與投入的DEA評價模型，最后進(jìn)行效率評價，但是它們的研究也是建立在已知投入、產(chǎn)出的情況下進(jìn)行效率評價，只不過此時的產(chǎn)出與投入不在同一個時間點上。但是現(xiàn)實中有時需要對一些因數(shù)據(jù)滯后而導(dǎo)致數(shù)據(jù)未知的系統(tǒng)進(jìn)行效率評價以期指導(dǎo)未來投入、產(chǎn)出活動，這種對象見于科研活動、營銷活動等。此時經(jīng)典的DEA已無法對此類對象進(jìn)行效率評價。

基于此，本文首先闡述了GM(1,1)模型與DEA的基本原理，在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)的效率評價模型，最后利用該模型并選取江蘇省高等院?？蒲谢顒幼鳛檠芯繉ο筮M(jìn)行實證分析，以驗證方法的可行性與實用性。

1 基本原理

1.1 灰度預(yù)測過程

設(shè)X(0)為原始非負(fù)序列：

利用GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測前，首先需要對X(1)進(jìn)行準(zhǔn)指數(shù)檢驗[7]

其中若存在m，當(dāng)k＞m時，有σ(1)∈[1，1.5)，則稱X(1)從k＞m以后滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。若不滿足則可通過提高原始序列光滑度的方法提高光滑度后再建模，具體可參考文獻(xiàn)[8-10]。若滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律則可以利用如下過程建立GM(1,1)預(yù)測模型：

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列：

其中：

稱x(0)(k)+az(1)(k)=b為GM(1,1)模型的基本形式。

建立關(guān)于X(1)的一階非齊線性微分方程，利用最小二乘法求得a，b。

代入解得的一階非齊線性微分方程得灰色預(yù)測模型為：

還原值可由下式得出：

得出預(yù)測值后還需對模型進(jìn)行精度校驗，以驗證模型是否符合預(yù)測條件，計算過程如下：

（1）殘差：

（2）殘差均值：

（3）殘差的方差：

（4）原數(shù)據(jù)方差：

（6）小概率誤差預(yù)測精度檢驗等級參照表1。

表1 精度檢驗等級

若模型不滿足預(yù)測精度，則可通過殘差修正、初始值修正及背景值修正等來提高預(yù)測精度，直至達(dá)到預(yù)期預(yù)測等級。

1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

Charnes等（1978）[11]應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型將有效性度量方法推廣到多投入多產(chǎn)出情形，提出C2R模型。

假設(shè)有n個決策單元，記為DMU1，DMU2，…，DMUn，每個決策單元有m種投入和s種產(chǎn)出，第j個決策單元DMUj的投入和產(chǎn)出向量分別為xj=(x1j，x2j，...，xmj)T，yj=(y1j，y2j，...，ysj)T，j=1，2，...，n。

設(shè)有待評價的決策單元DMUj0的投入產(chǎn)出為(xj0，yj0)T，簡記為 (x0，y0)T，評價DMUj0有效性的C2R模型的對偶模型為：

可由模型的最優(yōu)解計算出θ，λ，s-，s+，由于C2R模型是在假設(shè)規(guī)模收益不變的情況下建立的，所以此時的效率值θ應(yīng)為綜合技術(shù)效率（TE），若θ=1，s-，s+=0，則決策單元是DEA有效的，同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效；若θ=1，存在或，則決策單元是弱有效的，即該決策單元若將第i項投入減少或?qū)⒌趐項產(chǎn)出增加，該決策單元就可變?yōu)橛行Q策單元；若θ＜1，則決策單元無效，可通過投影分析構(gòu)造一個新的決策單元），使之成為有效決策單元，其中，同時可計算出，則決策單元規(guī)模收益不變，則決策單元規(guī)模收益遞增，，則決策單元規(guī)模收益遞減。

1.3 數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)的效率評價模型

假設(shè)要對一個具有n個決策單元（決策單元是基于時間序列的單元）的系統(tǒng)進(jìn)行效率評價，若存在第1至p（p＜n）個決策單元的m種投入與s種產(chǎn)出已知，而由于數(shù)據(jù)滯后因素導(dǎo)致第p+1至n個決策單元的i（1≤i≤m）種投入或j（1≤j≤s）種產(chǎn)出未知，現(xiàn)在要對整個n個決策單元進(jìn)行DEA評價。

根據(jù)上文所述理論，首先根據(jù)已知的第1至p(p＜n)個決策單元的m種投入與s種產(chǎn)出預(yù)測出第p+1至n個決策單元的i種投入或j種產(chǎn)出，得到第1至n個決策單元的m種投入與s種產(chǎn)出值，記為，其中，j=1，2，...，n，然后建立數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)的效率評價模型如下所示，并計算出相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行效率評價。

其中各變量含義與式（1）相同。

2 實證

高校的科研活動是一個具有多投入與多產(chǎn)出且產(chǎn)出相對投入滯后的一個系統(tǒng)，本文數(shù)據(jù)來源于教育部科學(xué)技術(shù)司編制的2008—2015年《高等學(xué)?？萍冀y(tǒng)計資料匯編》，選取江蘇省高等學(xué)?？蒲谢顒幼鳛楸疚难芯繉ο蟆Ｍ瑫r參考相關(guān)文獻(xiàn)選取科技人員、科研經(jīng)費數(shù)作為投入指標(biāo)；申請專利以及發(fā)表論文數(shù)作為產(chǎn)出指標(biāo)[12]。其中科技人員包括：教學(xué)與科研人員、研究與發(fā)展人員?？萍冀?jīng)費包括：政府資金、企事業(yè)單位委托資金和其他。首先利用2010—2014年投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)預(yù)測出2015—2016年相關(guān)數(shù)據(jù)，然后再進(jìn)行DEA分析，最后得出結(jié)論。

根據(jù)數(shù)據(jù)收集及整理得出2010—2014年江蘇省高等學(xué)?？蒲型度搿a(chǎn)出相關(guān)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 江蘇省2010—2014年高等學(xué)校投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)

首先利用GM(1,1)對科技人員數(shù)進(jìn)行預(yù)測，在預(yù)測前先做準(zhǔn)指數(shù)檢驗，經(jīng)計算得出σ（1）={2.0488 1.5733 1.3871 1.2928},當(dāng)k＞3時滿足準(zhǔn)指數(shù)條件，因此可以對X(1)建立GM(1,1)模型。經(jīng)預(yù)測得2010—2014年的模擬值與2015—2016年的預(yù)測值={72064 77190 82843 88910 95421 102410 109910}，平均相對誤差為1.3%。光滑度，取a=0.01,得到變換后的數(shù)據(jù)為{0.9115 0.9083 0.9055 0.9043 0.9037}，再進(jìn)行光滑度檢驗得σ(1)={1.9965 1.4976 1.3318 1.2490},當(dāng)k＞2時滿足準(zhǔn)指數(shù)條件，因此可以將變換后數(shù)據(jù)進(jìn)行灰度預(yù)測。經(jīng)預(yù)測并還原得2010—2014年的模擬值與2015—2016年的預(yù)測值平均相對誤差為4.88%。

最后對發(fā)表論文數(shù)進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)行準(zhǔn)光滑度檢驗得σ(1)={2.098 1.537 1.359 1.272},當(dāng)k＞3時滿足準(zhǔn)指數(shù)條件，因此可以對X(1)建立GM(1,1)模型。經(jīng)預(yù)測得2010—2014年的模擬值與2015—2016年的預(yù)測值X^(0)={68563 75191 77305 79478 81712 84009 86371}，平均相對誤差為0.12%。

由于所有預(yù)測數(shù)據(jù)均可靠，所以接下來可利用以上預(yù)測數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)進(jìn)行DEA分析。

根據(jù)DEA進(jìn)行分析時要求決策單元個數(shù)要大于投入產(chǎn)出指標(biāo)和兩倍，本文選取江蘇省已有高等院校科研數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)，即2007—2016年高?？蒲型度?、產(chǎn)出數(shù)據(jù)進(jìn)行DEA分析，使用相關(guān)軟件計算得到結(jié)果如表3和表4所示。

表3 江蘇省2007—2016年高等學(xué)?？蒲行?/p>

對科技經(jīng)費進(jìn)行預(yù)測，先做準(zhǔn)指數(shù)檢驗得σ(1)={2.1094 1.6168 1.4226 1.3123},當(dāng)k＞3時滿足準(zhǔn)指數(shù)條件，因此可以對X(1)建立GM(1,1)模型。經(jīng)預(yù)測得2010—2014年的模擬值與2015—2016年的預(yù)測值X^(0)={90.83 104.30 115.18 127.19 140.45 155.10 171.27}，平均相對誤差為2.19%。

對申請專利數(shù)預(yù)測，做準(zhǔn)指數(shù)檢驗得σ(1)={2.42 1.80 1.51 1.36}，由于當(dāng)k＞4時才滿足條件，為使得預(yù)測結(jié)果更加精確，需要改進(jìn)原始序列光滑度以使其更好地滿足準(zhǔn)指數(shù)檢驗。本文參考文獻(xiàn)[10]提出的方法來改進(jìn)原始序列

表4 各決策單元投入產(chǎn)出指標(biāo)的松弛變量取值

通過利用2010—2014年投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)對2015—2016年投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測并利用DEA評價后發(fā)現(xiàn)，2015年江蘇省高等學(xué)?？蒲谢顒酉鄬o效而2016年相對有效，由于2015年的科研活動已結(jié)束，所以對于該年的投入與產(chǎn)出已不能做出調(diào)整，而2016年的科研活動正在進(jìn)行，所以上述結(jié)論對于指導(dǎo)江蘇省2016年及以后高校科研活動具有重要意義，具體意義如下：

（1）指導(dǎo)未來活動

按照GM(1,1)模型預(yù)測得出的2016年的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)進(jìn)行評價后發(fā)現(xiàn)DEA有效，所以如果江蘇省2016年高?？蒲谢顒影凑疹A(yù)測得出的數(shù)值進(jìn)行投入、產(chǎn)出規(guī)劃，那么勢必最終會達(dá)到一個好的效果，這為江蘇省政府確定2016年高?？蒲薪?jīng)費、科技人員投入量以及申請專利、發(fā)表論文產(chǎn)出量提供了清晰的目標(biāo)，避免憑經(jīng)驗式的主觀決策。同時若預(yù)測得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行評價時出現(xiàn)2016年相對無效，那么利用投影分析可將無效決策單元轉(zhuǎn)變?yōu)橛行卧?，這樣可及時調(diào)整投入、產(chǎn)出數(shù)，使得江蘇省高?？蒲谢顒映鄬τ行У姆较虬l(fā)展。

（2）明確無效原因

從評價結(jié)果來看，江蘇省高校的平均綜合效率為0.98652，平均純技術(shù)效率為0.9983，平均規(guī)模效率為0.98822，三者值都比較高，這說明江蘇省高校的科研活動比較有效，但仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，在DEA無效年份中有3年無效是因為規(guī)模無效導(dǎo)致的，有1年無效主要是因為規(guī)模無效導(dǎo)致的，而只有2年無效是因為技術(shù)無效導(dǎo)致的，這說明江蘇省高校科研活動的技術(shù)效率已達(dá)到相對較好狀態(tài)，即科技產(chǎn)出相對科技投入已達(dá)到最大化但同時也需更好地加強(qiáng)管理使資源利用率更高。規(guī)模效率相對偏低且在規(guī)模報酬遞增、不變、遞減之間波動，這要求政府在確定高?？萍纪度霑r要確定好由遞增到遞減的零界點，可通過調(diào)整科技經(jīng)費與科研人員數(shù)量來使科技活動處于規(guī)模報酬不變狀態(tài)。

（3）摸清管理重點

在效率相對無效的年份中，其中產(chǎn)出不足都集中在申請專利數(shù)，而投入冗余都集中在科技經(jīng)費上，這說明江蘇省在申請專利數(shù)以及科技經(jīng)費分配方面需要加強(qiáng)重視，這是導(dǎo)致高?？蒲行氏鄬o效的關(guān)鍵因素，要提高科研效率首先要加強(qiáng)對這兩方面的管理，因此在“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的環(huán)境下需多出臺一些相關(guān)政策鼓勵高?？萍紕?chuàng)新及申請專利，以便提高全省科技創(chuàng)新能力，另外在科技經(jīng)費方面也要做好合理分配，避免出現(xiàn)科技經(jīng)費撥款數(shù)過多導(dǎo)致科研效率低下的現(xiàn)象，另外各高校也需合理利用科技經(jīng)費，盡可能將有限的經(jīng)費創(chuàng)造出更大的價值。

3 總結(jié)

本文將GM(1,1)模型與DEA相結(jié)合提出了數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)效率的評價方法，然后選取江蘇省高等學(xué)?？蒲谢顒舆M(jìn)行實證分析，分析發(fā)現(xiàn)2015年江蘇省高?？蒲谢顒訜o效而2016年科研活動有效，這為江蘇省2016年高校科研活動更好地開展提供了指導(dǎo)思想，同時也驗證了本評價方法的可行性與實用性。另外，若想對2016年以后年份進(jìn)行投入產(chǎn)出規(guī)劃，則只需先利用以往數(shù)據(jù)預(yù)測該年投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)，然后再利用DEA進(jìn)行分析，最后可得出該年有效的投入、產(chǎn)出規(guī)劃值。除此之外，該方法對于評價其他數(shù)據(jù)滯后系統(tǒng)的效率也同樣適用。