跳起的懸鏈線：現(xiàn)象、理論和實(shí)驗(yàn)

王雯宇 許武龍 許 洋 楊旭東

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)

1　跳起的鏈子

有這樣一個(gè)有趣的物理現(xiàn)象如圖1所示，高臺上的杯子中盤著沒有纏繞在一起的一根鏈子，從杯中拿起鏈子的一端，讓它沿著杯壁外側(cè)自由下落，下落的一端帶動杯中的鏈子掉落到地面上。下落過程中鏈子并不是一直貼著杯壁下落，而是很快地從某個(gè)時(shí)刻起，鏈子跳起來，在空中有一段時(shí)間會維持較為穩(wěn)定的弧形形狀。這個(gè)實(shí)驗(yàn)經(jīng)常在大學(xué)物理課上演示。從現(xiàn)象上看這是一個(gè)非常有趣的經(jīng)典力學(xué)問題，具體過程可以參看網(wǎng)絡(luò)視頻①https：//v.qq.com/x/page/o0363pisyik.html？。本論文就試圖分析研究掉落的鏈子(下面稱之為“掉鏈線”)的形狀、下落高度、跳起高度、跳遠(yuǎn)距離之間的關(guān)系等。在理論分析之后，我們將做實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證理論。

圖1　跳起的鏈子現(xiàn)象示意圖

2　現(xiàn)象及理論分析

2.1　實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

首先我們說明一下實(shí)驗(yàn)的發(fā)生過程。如圖1所示把鏈子一層層盤繞放入杯子中，鏈子之間不互相纏繞(實(shí)際過程中很難做到這一點(diǎn)，而這也是影響實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵因素之一)。然后將杯子放置一定高度，從杯中取出一小段鏈子讓其自由下落，很快鏈子就與杯口分開，從杯中跳起。在實(shí)際的操作過程中我們也嘗試了用一根柔軟幾乎不可收縮的繩來做相同的實(shí)驗(yàn)，繩子也可以勉強(qiáng)跳起但現(xiàn)象很不明顯，所以實(shí)驗(yàn)通常采用細(xì)金屬條串起金屬球的鏈子，金屬球之間可以松弛連接，且松弛連接時(shí)，鏈子沒有抗彎能力，這一點(diǎn)是鏈子與柔軟繩子的關(guān)鍵差別，下文我們將通過分析指出其原因。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)鏈子從杯中跳起到最高點(diǎn)過程中，由于杯中鏈子纏繞方式復(fù)雜，起跳點(diǎn)持續(xù)變換，因此從杯中上跳到最高點(diǎn)過程的形狀也非常復(fù)雜。而在最高點(diǎn)到落地點(diǎn)這一段，在最高點(diǎn)附近鏈子會維持一個(gè)較為穩(wěn)定的形狀。落地點(diǎn)鏈子在地上不停地堆積和纏繞造成鏈子的形狀會發(fā)生抖動，但是由于起跳高度遠(yuǎn)小于下落高度(后文詳述這些高度的定義)，在地面的抖動并不影響最高點(diǎn)附近的穩(wěn)定形狀。

綜上觀察，我們認(rèn)為這個(gè)物理現(xiàn)象可以分為鏈子跳起過程和鏈子懸空穩(wěn)定形狀兩部分來分析。由于穩(wěn)定形狀過程是大多數(shù)讀者所關(guān)心的，而且根據(jù)我們的分析，發(fā)現(xiàn)其實(shí)這也是該現(xiàn)象問題的關(guān)鍵，所以這一節(jié)我們對此穩(wěn)定形狀進(jìn)行專門理論分析。

2.2　懸空穩(wěn)定形狀分析

乍一看，跳起的鏈子形狀像是拋物線，其實(shí)問題并不是那么簡單。因?yàn)橐粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)斜拋?zhàn)鲎杂陕潴w的運(yùn)動軌跡是一條拋物線，而對一個(gè)不可伸縮的鏈子來說，懸空的鏈子上每一個(gè)鏈元的速率是一樣的，并不是在做勻變速運(yùn)動。根據(jù)我們的觀測，杯中鏈子消失速度基本上是恒定的，因此我們假設(shè)在理想情況下懸空的鏈子每個(gè)鏈元的速率為v0，那么在d t時(shí)間內(nèi)，有λv0d t質(zhì)量的線元(λ為線密度)速度從零加速到v0，則A點(diǎn)的鏈元就受到了靜止在杯中的鏈子拉力，為

注意這只是理想情況，下面研究表明，A端受力小于λv20。B點(diǎn)速度為v0的鏈元碰撞地面，如果鏈子完全彈性碰撞則會以v0從地面彈起來，同樣的分析表明B點(diǎn)鏈元受到地面的沖力等于2λv20。當(dāng)然由于地面鏈子的拖拽，鏈子與地面不是完全彈性的，后文將給出處理B點(diǎn)沖力的具體方法。這樣懸空鏈子就處在一個(gè)理想狀態(tài)，即在TA、TB張力的作用下，保持速率為v0，d t時(shí)間內(nèi)把杯中λv0d t的鏈子從杯中挪到地面上，即重力勢能轉(zhuǎn)化為動能，動能轉(zhuǎn)化為鏈子和地面的內(nèi)能。

理想的狀態(tài)下，研究表明懸空的鏈子形狀其實(shí)就是一個(gè)倒著的懸鏈線。這里首先簡單說明懸鏈線形狀的推導(dǎo)過程。如圖2所示，在一面墻上A、B兩點(diǎn)之間掛起一根不可伸縮的鏈子，鏈子的形狀就被稱為懸鏈線。懸鏈線形狀的推導(dǎo)過程是經(jīng)典力學(xué)乃至數(shù)學(xué)歷史上一個(gè)重要問題[1-3]。牛頓力學(xué)中受力分析的方法可以計(jì)算其形狀，而后發(fā)展起來的分析力學(xué)有更加簡潔的推導(dǎo)過程。對一個(gè)函數(shù)的變分實(shí)際上還推動了泛函分析的發(fā)展，具體歷史過程因?yàn)椴皇潜疚牡闹攸c(diǎn)，所以就不展開說明了，感興趣的讀者可以閱讀相關(guān)參考文獻(xiàn)[4]。假定鏈子的形狀為

圖2　懸鏈線示意圖

變分原理其實(shí)就是要找到一個(gè)y(x)使得鏈子勢能或者重心處于最低點(diǎn)。整個(gè)系統(tǒng)作用量為

其中，g是重力加速度;c是任意一個(gè)常數(shù)(因?yàn)殒溩涌梢話煸谌魏胃叨龋瑒菽芰泓c(diǎn)也可以任意選取);y′是y的一階導(dǎo)數(shù);1+y′2d x是一個(gè)線元的長度;L就是系統(tǒng)的拉格朗日量

分析力學(xué)中根據(jù)L的運(yùn)動方程[5-6]

求解懸鏈線的形狀，即

化簡可得

這是一個(gè)非線性的微分方程，其解為

其中a，b是待定常數(shù)。以上就是通常分析力學(xué)中的懸鏈線求解過程，注意此時(shí)我們?nèi)〉氖侨我飧叨鹊膽益溇€，所以有個(gè)待定參數(shù)c。其實(shí)讀者還可以注意到雖然運(yùn)動方程(6)是非線性的，但是它有一個(gè)分立對稱性，即做變換

Y(x)也是懸鏈線方程的一個(gè)解。而由于通常掛著的鏈子都受到重力作用，鏈子都是向下凹陷的，所以這個(gè)翻轉(zhuǎn)之后的解看上去沒有應(yīng)用?；蛘哒f這個(gè)解是系統(tǒng)的另外一個(gè)極值點(diǎn)，該點(diǎn)不是穩(wěn)定點(diǎn)，也就很少有人來討論此事。而我們分析發(fā)現(xiàn)，這個(gè)翻轉(zhuǎn)之后的解恰好就是掉鏈線的形狀。

對于懸空鏈子的作用量，其實(shí)只需要加上動能項(xiàng)，而勢能項(xiàng)與懸鏈線是一樣的。

即拉格朗日量為

而已。因此根據(jù)實(shí)際情況，跳起的鏈子向上凸起，可以得到

這就是掉鏈線形狀的函數(shù)。

2.3　經(jīng)典力學(xué)的檢驗(yàn)

上一小節(jié)中掉鏈線運(yùn)動方程推導(dǎo)過程與一般的懸鏈線求解過程不同之處在于懸空鏈子每個(gè)鏈元實(shí)際上是處在運(yùn)動過程中，鏈子不斷從杯子中跳出，又掉落到地面上，這是一個(gè)變質(zhì)量運(yùn)動系統(tǒng)，因此可能有讀者會疑問以上變分原理能否適用。其實(shí)我們也可以根據(jù)牛頓力學(xué)的受力分析得到完全一樣的運(yùn)動方程。懸空鏈子在鏈內(nèi)存在著張力

鏈中張力在鏈子上任意點(diǎn)都是沿著切線背離鏈元方向的，如圖3所示。此時(shí)我們約定取A點(diǎn)指向B點(diǎn)的方向做為正方向，即研究鏈元靠近B點(diǎn)一端的張力。因?yàn)槊總€(gè)鏈元在做曲線運(yùn)動，速率不變，所以每個(gè)鏈元的切向加速度為零。如圖3所示，d T和鏈元的重力沿切向分量相消，即

圖3　掉鏈線所受張力分析圖

因此鏈中張力可以表示為

這是個(gè)非常有意思的結(jié)果，即穩(wěn)定形狀鏈子中的張力隨著鏈元的高度改變而改變，其實(shí)這也與懸鏈線中的張力情況是一樣的。為了清楚地表示受力分析，我們采用了圖3所示的分析辦法，即研究x-d x，x，x+d x兩段鏈元的受力。由于這兩段鏈元在同一點(diǎn)x附近，線速度相等，忽略高階小量曲率半徑也相等，所以可以放在一起寫一個(gè)統(tǒng)一的向心力方程。每一個(gè)鏈元法向向心力應(yīng)該由重力以及張力T曲線法線方向分量來提供，而鏈元兩側(cè)張力的改變微元d T，其法線方向分量是高階小量，計(jì)算向心力的時(shí)候可以忽略。x和x+d x點(diǎn)切向夾角分別為θ和θ+dθ，則

由此可得

x-d x和x之間鏈元分析與此類似，因此向心力為

加上重力的法向分量，則x-d x到x+d x之間鏈元的力學(xué)方程為(兩段鏈元之間的張力是內(nèi)力)

其中ρ為x點(diǎn)曲率半徑

代入曲率半徑ρ、dθ、張力T，計(jì)算可得

由于線形上凸所以

化簡整理之后可得

因?yàn)門A是待求變量，所以不妨定義

則y的力學(xué)方程為

這就是懸鏈線的微分方程，與公式(3)完全一樣。由上可知，牛頓力學(xué)和分析力學(xué)都可以得到鏈線的形狀為懸鏈線的結(jié)論。

相比于分析力學(xué)變分原理，牛頓力學(xué)的分析雖然復(fù)雜一些，但由于是力的分析，所以物理圖像更為直觀。我們還可以看到懸鏈線和掉鏈線兩端受力情況是不同的。當(dāng)選定研究鏈元靠近某一端的張力后，圖2中靜止的懸鏈線兩端張力方向是相同的，而圖1中，A端鏈元是處于加速過程，B端鏈元處于減速過程。選定研究鏈元靠近某一端的張力后，則兩端張力是沿著相反方向的。形象地說就是懸鏈線是兩端釘子向相反方向互相拉著的一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，而掉鏈線是兩端朝著線的某個(gè)方向推著的“穩(wěn)定系統(tǒng)”。

2.4　起跳分析

這里先說明一下，TA≠λv20的原因。TA=對應(yīng)的其實(shí)是理想情況，即每個(gè)鏈元瞬間速率從零加速到v0，而實(shí)際情況則是鏈子松弛盤繞，鏈元需要一段加速過程到v0，使得TA實(shí)際上是小于的。數(shù)學(xué)解析上看，如果c=0，掉鏈線形狀為

此時(shí)

不能得到一個(gè)y＞0的解。對于一個(gè)非線性微分方程來說，方程的解加上某個(gè)常數(shù)不再是方程的解。所以如果假設(shè)了圖4的坐標(biāo)系統(tǒng)，得到y(tǒng)＞0的解的話，c必須不為零，根據(jù)公式(21)也可以看到TA必須小于λv20。因此下面我們按照圖4所示坐標(biāo)，補(bǔ)充鏈子的加速過程，(C點(diǎn)到A點(diǎn))加速跳起過程高度表示為hi。掉鏈線跳起高度為hr，則總跳起高度為

圖4　掉鏈線起跳過程分析圖

鏈子下落為H，跳遠(yuǎn)寬度為2x0。我們將進(jìn)一步研究跳起這些量之間的關(guān)系，并嘗試做實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。

A點(diǎn)張力為

根據(jù)公式(14)，A點(diǎn)到B點(diǎn)張力T的方程為

上文已經(jīng)說明完全彈性碰撞時(shí)B點(diǎn)受力等于2λv20，有讀者在這里會疑問B點(diǎn)張力的合理性，因?yàn)锽點(diǎn)與A點(diǎn)類似，需要一個(gè)減速過程，而且最后靜止于地面上，張力值應(yīng)該小于λv20。但是由于鏈子落地過程不能人為控制，我們發(fā)現(xiàn)落地過程中鏈元還會輕微彈跳，所以實(shí)際上鏈元對地面的沖力會大于λv20。為了準(zhǔn)確起見，不妨引入一個(gè)系數(shù)α(假定它為一個(gè)常數(shù))來描述B點(diǎn)的受力。因此

α的具體值應(yīng)該大于1小于2。注意，這里我們選定正方向，所以B點(diǎn)受力為負(fù)值。由于實(shí)驗(yàn)中H遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于hj，因此，B點(diǎn)張力的漲落其實(shí)對物理結(jié)果是不敏感的。由此

這就是下落高度與懸空鏈子速率之間的關(guān)系，當(dāng)然這里面還有兩個(gè)待定的參數(shù)c，α。穩(wěn)定掉鏈線起跳高度y(x=0)處

由此問題轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繀?shù)c、a和α上。3.1節(jié)在實(shí)驗(yàn)分析階段再對此做詳細(xì)討論，在此之前，我們首先來分析一下加速過程。

加速過程速率隨時(shí)間改變，看上去問題似乎有點(diǎn)棘手。分析之后，發(fā)現(xiàn)其實(shí)時(shí)間參數(shù)也可以去掉。速率表示為v，根據(jù)圖3和公式(14)，簡單分析鏈元切向加速度就可以得到其力學(xué)方程為

注意，此時(shí)由于鏈元松弛連接，可以不用考慮法向力學(xué)方程。可以看到，剛好可以約掉d t。這其實(shí)就是掉鏈線過程中重力勢能轉(zhuǎn)換為動能的數(shù)學(xué)表述，方程兩邊分別積分得到

因此

即

再代入公式(29)可得

由此還得到了系統(tǒng)起跳的條件，如果這個(gè)過程可以發(fā)生，我們必須要求hi得大于零，因此起跳條件為

而鏈子跳起的總高度

到此，我們就可以看到，鏈子跳起的高度基本上與鏈子跳落高度H呈線性關(guān)系，當(dāng)然參數(shù)c，a和α還有待確定。

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1　實(shí)驗(yàn)分析以及過程

有了第2節(jié)的理論分析，我們就可以用實(shí)驗(yàn)來做驗(yàn)證了。但是需要說明的是，第2節(jié)分析的情況是理想狀態(tài)，而實(shí)際實(shí)驗(yàn)存在很多難以克服的困難，主要有：

(1)理想情況下，杯子中的鏈子完全松弛，而實(shí)際上很難做到這一點(diǎn)。正如上節(jié)開頭所說，鏈子上小球難免會有纏繞，這就造成了鏈子起跳和穩(wěn)定過程中，鏈子質(zhì)量不是均勻的。我們發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)對實(shí)驗(yàn)影響非常大。一個(gè)小小纏繞扭結(jié)就使得線形改變。

(2)理想情況下，起跳點(diǎn)和落地點(diǎn)都是固定，這樣可以得到穩(wěn)定的圖形。但是實(shí)際過程中，起跳點(diǎn)和落地點(diǎn)都在不停抖動，線形也在抖動，很難測量線形的準(zhǔn)確形狀。因?yàn)榈翩溇€是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，y隨著x迅速增長，所以抖動線形下部基本就是一條直線，要準(zhǔn)確對應(yīng)指數(shù)函數(shù)曲線非常困難。

(3)由于以上兩點(diǎn)，準(zhǔn)確確定A、B、C點(diǎn)的位置也有問題，基本上只能在有很大誤差的情況下確定hj和H。

雖然存在以上困難，但是有一點(diǎn)可以確定，就是

跳起高度hj和c，a在一個(gè)量級?；诖耍覀冋J(rèn)為跳起的鏈子形狀看上去“很像”翻轉(zhuǎn)的懸鏈線，而實(shí)驗(yàn)首先應(yīng)該驗(yàn)證的是公式(36)中hj和H的線性關(guān)系，以及參數(shù)α的確定。

具體實(shí)驗(yàn)方法如下：我們用3 m的卷尺在白紙上手工繪制了2.5 m的刻度尺貼到墻上如圖5(a)所示。然后從200c m的高度逐次以5c m的高度差下降，重復(fù)進(jìn)行掉鏈實(shí)驗(yàn)直到100c m。隨著鏈子下落高度降低，起跳高度下降很多，測量也越來越困難，因此我們選定10c m的高度差下降記錄鏈子下落過程一直到40c m。在每一個(gè)位置處我們用一部手機(jī)拍攝掉鏈視頻。拍攝過程中手機(jī)鏡頭盡量平視鏈子使最高點(diǎn)出現(xiàn)在手機(jī)的正對面，記錄整個(gè)過程。在實(shí)驗(yàn)過程中存在著很多因素導(dǎo)致很大的誤差，每一個(gè)位置我們都是多次拍攝以尋找最佳視頻。

圖5　實(shí)驗(yàn)裝置以及器材

實(shí)驗(yàn)用的杯子和鏈子如圖5(b)、(c)、(d)所示。具體的參數(shù)如下

金屬球直徑 5±0.5 mm金屬細(xì)桿長度 3±0.5 mm鏈子長度 8.4 m鏈子線密度λ 0.036±0.03kg/m杯子高度 95±0.5 mm杯口直徑 66±0.5 mm

分析發(fā)現(xiàn)，c，a和杯子口徑在一個(gè)數(shù)量級上。其實(shí)原則上講，只要滿足第2節(jié)所述理論，任意形狀的掉鏈線都可以存在。但由于鏈子從杯中跳起，所以跳起鏈子掉鏈線形狀其實(shí)依賴于一定的初始條件，即杯子口徑，起跳時(shí)刻、起跳點(diǎn)杯中深度等因素。所以同一高度跳起的掉鏈線形狀盡管不是唯一的，但是c，a參數(shù)應(yīng)該是基本上相等，這也是后文得到的線性關(guān)系的重要原因。

數(shù)據(jù)采集過程如下：我們用視頻軟件對視頻一幀一幀觀察，尋找視頻中某個(gè)最佳時(shí)刻：掉鏈線最高點(diǎn)而且形狀也穩(wěn)定，如圖5(e)所示。在每一個(gè)高度我們截取了穩(wěn)定清晰的一張圖片，記錄相應(yīng)的開始高度位置和起跳高度位置等。估計(jì)誤差然后用excel表格記錄。有了這些數(shù)據(jù)之后我們就可以進(jìn)行數(shù)據(jù)分析了。需要說明的是，受限于實(shí)驗(yàn)條件，讀數(shù)的誤差也比較大，所以下面我們更為關(guān)注定性結(jié)果。

3.2　數(shù)據(jù)處理以及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示，圖中顯示了所有采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)。從數(shù)據(jù)上可以看出當(dāng)跳落高度H小于100c m時(shí)，起跳高度hj非常不穩(wěn)定，很難看出線性關(guān)系。但是當(dāng)高度大于100c m后，H和hj基本上成線性關(guān)系。因此我們認(rèn)為實(shí)驗(yàn)部分驗(yàn)證了第2節(jié)的理論推導(dǎo)。

下面就是分析具體參數(shù)α的值，由于H較小時(shí)，誤差很大，所以我們舍去了H小于100c m的數(shù)據(jù)點(diǎn)。同時(shí)，當(dāng)高度過高時(shí)，鏈子跳落速度v0會過大，造成鏈子連接過緊而使得上文推導(dǎo)時(shí)假定的鏈子可以任意形變的條件不再成立。所以我們也舍去了200c m和195c m的兩個(gè)點(diǎn)，另外剩下的數(shù)據(jù)點(diǎn)有一個(gè)明顯偏離線性，我們認(rèn)為它來源于實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)因素，也舍去了。所有舍去的點(diǎn)在圖中用灰色×表示，剩余的黑色的點(diǎn)擬合的線性關(guān)系在圖6中用實(shí)線表示，其延長線用虛線表示。由圖中實(shí)線以及相應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)，最終得到

可以看到，不確定度很大，而且α的中心值超過了2，但是基于以上眾多誤差產(chǎn)生的可能性，我們認(rèn)為α的數(shù)值還是符合預(yù)期的。另外一件有意思的事情就是，當(dāng)圖中實(shí)線延長后與橫軸交點(diǎn)會大于零，而這一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的就是公式(35)表示的起跳條件。當(dāng)然因?yàn)殡S機(jī)因素太多，這個(gè)起跳條件只能用于大略估計(jì)。

最后我們補(bǔ)充說明一下細(xì)繩難以跳起來的原因。鏈子的每個(gè)鏈元是松弛連接的，而細(xì)繩很難做到這一點(diǎn)。(因此細(xì)繩也很難掛出準(zhǔn)確的懸鏈線形狀。)也就是說，起跳要求的無法向力干擾的加速過程(公式(31))條件很難實(shí)現(xiàn)，這也就是細(xì)繩跳起很難的原因。

4　結(jié)語

從高臺杯子自由下落的鏈子跳起來是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，我們把跳起鏈子分為穩(wěn)定形狀和起跳過程兩部分來分析。變分原理和受力分析都表明其動力學(xué)方程是一個(gè)翻轉(zhuǎn)的懸鏈線。我們研究了起跳條件，描述鏈子形狀的參數(shù)，得到了跳落高度和跳起高度之間呈線性關(guān)系的結(jié)論。最后我們實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該結(jié)論，并確定了落地點(diǎn)受力參數(shù)α的大小，基本符合預(yù)期。

這是一個(gè)既有理論又有實(shí)驗(yàn)演示的有趣過程。大學(xué)物理課堂上給學(xué)生演示跳起鏈子實(shí)驗(yàn)之后，可以接著給學(xué)生擴(kuò)展講解變分原理，懸鏈線的計(jì)算等等，相信可以取得較好的教學(xué)效果。落地點(diǎn)受力參數(shù)的值對研究一些掉落系統(tǒng)的問題有一定的參考作用。