粘彈性邊界條件的實(shí)現(xiàn)及在地震動(dòng)場(chǎng)地效應(yīng)研究中的應(yīng)用

黃　云，奉建軍

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

在地震波場(chǎng)數(shù)值模擬研究中，通過(guò)建立有限尺寸的模型來(lái)模擬半無(wú)限空間，這時(shí)通常需要在模型的邊界引入虛擬的邊界來(lái)吸收邊界上的波動(dòng)能量，從而消除邊界反射。

在一維波動(dòng)理論的基礎(chǔ)之上，Lysmer和Kuhlemeyer[1]提出了粘性邊界條件，該理論采用了粘性阻尼器來(lái)模擬無(wú)窮遠(yuǎn)邊界。其物理意義明確，處理方法簡(jiǎn)單，但存在低頻失穩(wěn)、精度不夠和不能模擬地基彈性恢復(fù)的特點(diǎn)。在柱面波動(dòng)的理論基礎(chǔ)之上，Deek[2]提出了二維時(shí)域人工邊界條件。在Deek的基礎(chǔ)之上，劉晶波等[3]提出了二維時(shí)域粘彈性邊界條件，并且在球面波的理論基礎(chǔ)上又推導(dǎo)了三維時(shí)域粘彈性邊界。

1　粘彈性邊界條件

依據(jù)劉晶波等[3]提出的粘彈性邊界條件，其等效物理系統(tǒng)的彈簧的剛度系數(shù)與阻尼器的阻尼系數(shù)分別為：

切向邊界：

(1)

法向邊界：

(2)

式中：KBT與KBN分別為彈簧的切向剛度與法向剛度；CBT與CBN分別為切向阻尼系數(shù)與法向阻尼系數(shù)；R為波源至人工邊界點(diǎn)的距離；Cs和Cp和分別為S波和P波波速；G為介質(zhì)的剪切模量；ρ為介質(zhì)質(zhì)量密度；αN和αT分別表示粘彈性邊界條件的法向參數(shù)與切向參數(shù)。在二維研究中αT取值的區(qū)間建議在[0.35，0.65]，αN取值的區(qū)間建議在[0.8，1.2]。本文取值為αT=0.5,αN=1。

2　粘彈性邊界條件在ABAQUS中的實(shí)現(xiàn)

在ABAQUS有限元分析軟件中，在軟件中Interaction模塊下，通過(guò)在模型的邊界上布置彈簧與阻尼器來(lái)模擬粘彈性邊界，彈簧的剛度系數(shù)K與阻尼器的阻尼系數(shù)C分別可由式(1)與式(2)得到。該方法的理論依據(jù)是通過(guò)在模型邊界上布置彈簧與阻尼器分別來(lái)提供彈性恢復(fù)力與吸收入射波動(dòng)能量。

為了驗(yàn)證在ABAQUS中粘彈性邊界條件的實(shí)現(xiàn)效果，建立如圖1所示的二維模型。模型的尺寸大小為200 m×100 m，有限單元的網(wǎng)格大小為0.5 m，在模型上邊中部位置施加荷載，觀測(cè)點(diǎn)于震源點(diǎn)兩邊對(duì)稱(chēng)布置，每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)間距為3 m，共48個(gè)；施加的荷載為方向豎直向下頻率為10 Hz的正弦波y=sin0.2πt，得到如圖2所示的記錄。圖2(a)為在不施加任何邊界條件采用默認(rèn)值的情況下所測(cè)得的地震時(shí)間記錄，圖2(b)為施加粘彈性邊界后所測(cè)得的地震時(shí)間記錄。

圖1　模型示意

(a)默認(rèn)邊界地震記錄 (b)粘彈性邊界地震記錄圖2　時(shí)間記錄

圖2(a)表明在默認(rèn)的邊界下，觀測(cè)排列接收到了底邊界與側(cè)面邊界的反射波，由于這些邊界反射波存在使得地震資料處理起來(lái)較為困難。圖2(b)表明在模型左右邊界及底邊界施加粘彈性人工邊界后，觀測(cè)排列只接收到來(lái)自于震源的直達(dá)P波與直達(dá)S波，此證明了粘彈性邊界的有效性，其能夠有效的吸收反射波動(dòng)能量。

圖2(b)為Dirichlet邊界和粘彈性邊界下模型的波場(chǎng)快照，通過(guò)對(duì)比可以看出Dirichlet邊界下各種邊界反射波疊加在一起，波場(chǎng)變得非常復(fù)雜，使波的辨別難度增加。

3　粘彈性邊界上地震波震源加載方法

實(shí)際問(wèn)題中的地震波的加載應(yīng)當(dāng)是外源波動(dòng)的加載，震源實(shí)質(zhì)是處于人工邊界無(wú)限遠(yuǎn)的地方。對(duì)于粘彈性邊界之外的無(wú)窮區(qū)域，能夠?qū)⒃搮^(qū)域中的總波場(chǎng)分離為散射波場(chǎng)和自由波場(chǎng)。在人工邊界計(jì)算區(qū)域之內(nèi)，散射波場(chǎng)反射的波動(dòng)能量由在粘彈性人工邊界處布置的彈簧-阻尼系統(tǒng)吸收，而由自由波場(chǎng)產(chǎn)生的波動(dòng)能量可以轉(zhuǎn)化為粘彈性人工邊界處的應(yīng)力邊界條件。在該理論的基礎(chǔ)之上，劉晶波和呂彥東[4]提出將地震波震源的加載問(wèn)題轉(zhuǎn)化成波源問(wèn)題，把加載的地震波震源轉(zhuǎn)變程施加在粘彈性邊界上的等效荷載。

假定加載的波場(chǎng)為u0(x,y,t)，粘彈性邊界上的位移為u0(xB,yB,t)，若在粘彈性邊界上施加的等效荷載使得粘彈性邊界上的位移和應(yīng)力與原自由場(chǎng)相同,則表明實(shí)現(xiàn)了地震波震源的準(zhǔn)確加載，即：

u(xB,yB,t)=u0(xB,yB,t)

(3)

τ(xB,yB,t)=τ0(xB,yB,t)

(4)

式中：τ0為原連續(xù)介質(zhì)中由位移U0產(chǎn)生的應(yīng)力。

假定在粘彈性邊界上某個(gè)節(jié)點(diǎn)加載的等效應(yīng)力是FB(t)，按力學(xué)中脫離體的概念，把彈簧和阻尼器組成的物理系統(tǒng)與之脫離，此時(shí)粘彈性邊界上該點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)為：

τ(xB,yB,t)=FB(t)-fB(t)

(5)

式中：fB(t)為彈簧與阻尼器跟邊界上節(jié)點(diǎn)連接的內(nèi)力。將式(4)代入式(5)得：

FB(t)=τ0(xB,yB,t)+fB(t)

(6)

由彈簧-阻尼器的運(yùn)動(dòng)方程：

(7)

將式(3)代入式(6)得到人工邊界上施加的等效荷載應(yīng)為：

(8)

由此即可完成在粘彈性邊界上加載地震波震源。

從式(8)可看出在粘彈性邊界節(jié)點(diǎn)上的等效荷載由自由場(chǎng)地震波動(dòng)產(chǎn)生的應(yīng)力、克服由彈簧產(chǎn)生的抗力與克服由阻尼器產(chǎn)生的抗力三者構(gòu)成。

4　粘彈性邊界在地震動(dòng)場(chǎng)地效應(yīng)二維數(shù)值模擬中的應(yīng)用

地震動(dòng)的場(chǎng)地效應(yīng)問(wèn)題一直是工程地震學(xué)的研究重點(diǎn)，大量的研究表明場(chǎng)地土本身對(duì)地震波的傳播有較大影響，不同的場(chǎng)地條件下地震動(dòng)引發(fā)地面上的震害效果差異顯著[6-8]。堅(jiān)硬場(chǎng)地土上的土木工程結(jié)構(gòu)的破壞通常是由地震作用所引發(fā)，而在軟弱場(chǎng)地土上時(shí)，往往是由于地基土液化、不均勻沉降等因素引發(fā)地基土失穩(wěn)，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞?？傮w來(lái)說(shuō)，當(dāng)場(chǎng)地上的覆蓋土層越為松軟、覆蓋層的厚度越厚時(shí)，處于該場(chǎng)地上的土木結(jié)構(gòu)所受震害情況越發(fā)嚴(yán)重。

為表示場(chǎng)地覆蓋土層變化對(duì)地震動(dòng)的反應(yīng)影響情況，定義地震動(dòng)放大系數(shù)β：

β=Umax/Us

(9)

式中Umax為覆蓋層地表觀測(cè)點(diǎn)峰值位移，Us為場(chǎng)地?zé)o覆蓋層時(shí)均勻場(chǎng)地觀測(cè)點(diǎn)峰值位移。

為了研究地震動(dòng)的場(chǎng)地效應(yīng)的變化規(guī)律，使用數(shù)值模擬軟件ABAQUS建立如圖3所示的兩組二維場(chǎng)地模型，并應(yīng)用粘彈性邊界條件。在第一組模型中，模型底部基巖密度為2 000 kg/m3，泊松比0.25，S波波速為1 200 m/s，上部覆蓋層密度為ρ=1 800 kg/m3，厚度h=60 m，泊松比υ=0.35，S波波速Vs依次為100 m/s、150 m/s、200 m/s、250 m/s、300 m/s、350 m/s、400 m/s、450 m/s，震源為基巖底部垂直入射正弦SH波sin2πt(0≤t≤1)。在第一組模型的基礎(chǔ)之上僅把覆蓋層厚度增加到h=90 m，由此成為第二組模型。通過(guò)對(duì)分析地表峰值位移放大系數(shù)β的變化情況來(lái)研究場(chǎng)地覆蓋層軟硬程度Vs及厚度h對(duì)震害的影響。

圖4給出了覆蓋層厚度h=60 m及h=90 m的條件下，放大系數(shù)β隨覆蓋層剪切波波速Vs變化的圖像。從圖中可以得出放大系數(shù)β隨場(chǎng)地覆蓋層剪切波波速Vs的變大而減小，但隨著Vs的增大，這種變化情況呈減緩的趨勢(shì)，說(shuō)明當(dāng)土體剪切波較小的時(shí)候(Vs<250 m/s)，場(chǎng)地對(duì)地震動(dòng)的變化更為敏感。此外，場(chǎng)地覆蓋土層剪切波速相同時(shí)，覆蓋層厚度h較大的場(chǎng)地放大作用更為明顯。

圖3　成層場(chǎng)地示意

5　結(jié)論

本文在有限元模擬軟件ABAQUS中利用阻尼元件和彈簧進(jìn)行并完成了粘彈性人工邊界的施加。此外，建立了二維模型進(jìn)行全波場(chǎng)的數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果顯示該邊界能夠有效的實(shí)現(xiàn)對(duì)邊界反射波動(dòng)能量的吸收。基于此，將其應(yīng)用到地震動(dòng)場(chǎng)地效應(yīng)研究中，模擬得到了場(chǎng)地覆蓋土厚度及剪切波速對(duì)地震動(dòng)場(chǎng)地效應(yīng)的影響規(guī)律。

圖4　β隨場(chǎng)地覆蓋土層厚度h及剪切波速Vs變化規(guī)律