梁培基“泥腿子”數(shù)學(xué)家的幻方傳奇

張盛秋

在旅美數(shù)學(xué)家李學(xué)數(shù)2017年出版的著作《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》中，有一個章節(jié)用了整整40頁專門介紹河南封丘農(nóng)民梁培基。

寫數(shù)學(xué)家的書為何會與農(nóng)民扯上關(guān)聯(lián)？原因其實(shí)很簡單——這位農(nóng)民幾十年如一日瘋狂研究的對象并非莊稼，而是數(shù)學(xué)——偏居于村野的梁培基，雖面朝黃土但心向數(shù)學(xué)，憑著對數(shù)學(xué)著魔般的熱愛，他居然僅憑古老的算盤為計(jì)算工具，打破了組合數(shù)學(xué)研究中“幻方”的世界之最，并在《數(shù)學(xué)傳播》《數(shù)學(xué)研究與評論》以及組合數(shù)學(xué)界的權(quán)威雜志加拿大溫尼伯大學(xué)計(jì)算機(jī)系的JCMCC等國內(nèi)外數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表了幾十篇論文，不得不令人稱奇。

一本書，打開奇妙世界

人的一生中會經(jīng)歷很多偶然，而某些偶然中，又似乎深藏著必然。很多時(shí)候，不回頭看一看，我們真的不知道它有多么奇妙。梁培基雖自幼聰慧，尤其數(shù)學(xué)天分過人，但因家境貧寒，他僅讀到初中二年級即回鄉(xiāng)務(wù)農(nóng)，成了一個地道農(nóng)民。上世紀(jì)80年代初，一個偶然的機(jī)會，他買到一本冷門書，而這本書居然神奇地改變了他的人生軌跡。

那是1980年初夏，梁培基成為村辦廠的一名采購員。為此，他終于有機(jī)會離開他生活的小村走進(jìn)鄭州城里。那天在完成采購工作后，他順路拐進(jìn)一家書店，準(zhǔn)備給孩子們買點(diǎn)課外書輔導(dǎo)功課用。他做夢也沒想到，此次買回的一本書不但開闊了孩子們的眼界，還令他的人生大大地拐了個彎。此后，他無法自拔地對迷宮般的數(shù)學(xué)幻方著了魔，開始幾十年如一日如癡如醉的鉆研。

那本具有魔力的書是上?？茖W(xué)技術(shù)出版社的《世界之最》，而令梁培基深陷其中的，則是書中介紹的奇妙的雙重幻方。雙重幻方，因各線積和都相等而表現(xiàn)出一種雙重的美妙，早已引起世界上很多數(shù)學(xué)研究者的興趣。在那本書中，收錄有美國數(shù)學(xué)家霍納（W.Horner）1955年創(chuàng)造出的8階雙重幻方——這是由64個數(shù)字組成的“方陣”，無論是按橫方向、豎方向，還是按對角線方向，每組8個數(shù)之和均為840，其積也相等，均為2058068231856000。這組幻方以幻和、幻積均最小而被列為“世界之最”。自幼愛好數(shù)學(xué)的梁培基捧著此書反復(fù)研讀，被雙重幻方的奇妙之處深深吸引住，并開始“自不量力”地試圖自己構(gòu)造幻方。

作為農(nóng)民不種地卻研究起天方夜譚般的數(shù)學(xué)難題，梁培基的舉動很快引起村鄰們議論。但已深深沉入幻方世界的他無暇顧及這些，開始利用一切可利用的時(shí)間進(jìn)行研究，幾乎達(dá)到廢寢忘食地程度。為了驗(yàn)算他自己所構(gòu)造的幻方的正確性，缺乏現(xiàn)代化計(jì)算設(shè)備的梁培基因陋就簡，居然將十幾個算盤擺成一字長蛇進(jìn)行運(yùn)算，場面甚是壯觀。也許熱愛真的能戰(zhàn)勝一切，經(jīng)過不解努力、反復(fù)探索，梁培基終于弄清了雙重幻方構(gòu)造的規(guī)律，并構(gòu)造出幻和幻方均小于8階的雙重幻方，打破了之前美國數(shù)學(xué)家霍納保持的世界之最。一個僅讀到初中二年級的農(nóng)民，僅憑十幾臺普通的算盤居然完成了數(shù)學(xué)家們在計(jì)算機(jī)上都未能完成的研究，這不是奇跡又是什么？梁培基的這一創(chuàng)舉很快被中國珠算協(xié)會列為“中國珠算十大偉績”之一，同時(shí)，他的幻方研究成果也被臺北《數(shù)學(xué)傳播》刊發(fā)。此后，梁培基再接再厲繼續(xù)在幻方的迷宮里“攻城略地”，16階、32階、64階雙重幻方也陸續(xù)問世。

一封信，結(jié)識千里恩師

成功打開幻方迷宮大門的梁培基，更加癡迷地在這個王國里探尋。他探尋的方式即不知疲倦地研讀與幻方相關(guān)的書籍——那些被普通人視為“天書”的艱澀內(nèi)容，他常常讀得津津有味。當(dāng)然，也有他讀起來感到艱難費(fèi)力的時(shí)候。那一年，他在北京一家書店淘到一本數(shù)學(xué)家梁宗巨教授所著《世界數(shù)學(xué)史簡編》，細(xì)讀之下發(fā)現(xiàn)書中竟躺著不少“攔路虎”。向來不服輸?shù)牧号嗷鶗円箍嗨既欢冀K無解。終于，某一天清晨醒來，愁眉不展的他忽然腦筋一轉(zhuǎn)想出高招——給書的作者寫信討教啊，不懂就問，也沒啥丟臉的。

于是，梁培基非常認(rèn)真地給遠(yuǎn)在遼寧的梁宗巨教授寫了一封信，向他討教書中問題，并同時(shí)介紹了自己的研究及所得。半個月后，梁培基收到了梁宗巨教授的回信。他欣喜異常，甚至有點(diǎn)不敢相信這是真的，那一天，他做了一個美夢——感覺我正在爬山，爬到半山腰爬不動了，這時(shí)只覺得有人從身后拖住我往上一推，上去了……

梁教授的確是將梁培基往上推一下的那個人。他在回信中不但認(rèn)真解答了梁培基的一連串問題，還花了好幾天時(shí)間驗(yàn)證這位農(nóng)民數(shù)學(xué)狂人的計(jì)算結(jié)果并幫助修改了論文。1982年4月，在梁宗巨的力薦下，梁培基的第一篇論文《雙重幻方》終于發(fā)表在《數(shù)學(xué)研究與評論》上。

成功造出8階、16階幻方之后，梁培基曾一度迷失探索方向，將主要精力投注于構(gòu)造更大的幻方。當(dāng)時(shí)一門心思“求大”的他甚至已經(jīng)造出了128階雙重幻方。正當(dāng)他為自己構(gòu)造的超級大幻方沾沾自喜之時(shí)，梁宗巨教授及時(shí)喚醒并為他指引研究方向：幻方階數(shù)越低越難造，在階數(shù)相同的幻方中，數(shù)字越小越難得。比方都是8階雙重幻方，則數(shù)字越小越可貴。真是一語點(diǎn)醒夢中人，在梁教授指引下梁培基立即改變探索方向，開始向最小的幻方進(jìn)發(fā)。經(jīng)過幾個月的海量驗(yàn)算，他成功造出其和、其積分別最小的8階及9階的幻方。至此，這位農(nóng)民數(shù)學(xué)家已經(jīng)取得了最小8階、最小9階雙重幻方以及當(dāng)時(shí)最大128階雙重幻方3項(xiàng)研究成果，其研究所得接連發(fā)表于臺北《數(shù)學(xué)傳播》。

此后梁培基再接再厲，與獲“歐拉獎”的首位華人數(shù)學(xué)家朱烈教授等人合作，把雙重幻方研究拓展到nk階。這一研究成果由朱烈教授撰寫成英文，發(fā)表于加拿大的JCMCC雜志。

1982年8月，梁培基到東北出差，得有機(jī)會拜望仰慕已久的梁宗巨教授。終于得見恩師的梁培基抓住時(shí)機(jī)向梁教授請教了很多數(shù)學(xué)方面的問題，老先生都耐心地一一作答。

那一次拜望給梁培基留下永恒的記憶也留下永久遺憾，此后不久梁教授即辭世西去。時(shí)至今日提起老先生，他依然動容：“梁教授不是我的恩師，卻勝似我的恩師。雖然我沒有機(jī)會直接聽他授課，但老先生通過信函往來對我的指導(dǎo)，尤其是在研究方向方面的指引，是促使我踏上數(shù)學(xué)研究正確軌道的重要引路人。”

由于解決了雙重幻方的一些難題，1985年5月，梁培基被破格邀請參加在廣州召開的“中國組合數(shù)學(xué)第二屆年會”，并做了專題報(bào)告。美國加州大學(xué)數(shù)學(xué)系教授孫述寰教授高度評價(jià)了梁培基在組合數(shù)學(xué)專業(yè)研究領(lǐng)域所做的工作：“梁培基先生雙重幻方的工作是有意義的，這種研究在海外做的人不多，他能單獨(dú)工作并得到這些結(jié)果，難能可貴……建議給以適當(dāng)?shù)莫剟睿岳窈蟮难芯?。”在另一次學(xué)術(shù)會議上，中國數(shù)學(xué)會理事張忠輔先生對梁培基說：“小梁啊，用你的新方法，居高臨下把‘和幻方再解決一下……”梁培基依言求解，用正交拉丁方的方法，解決了用計(jì)算機(jī)構(gòu)造“和幻方”的快速方法，研究成果發(fā)表于《云大學(xué)報(bào)》。后來他又與張教授合作發(fā)表了“雙重?cái)?shù)組方程解”等三篇論文。

一根筋，只做幻方達(dá)人

在幻方這個大迷宮里，路途千回百轉(zhuǎn)沒有盡頭，梁培基的研究工作也同樣沒有盡頭——攻克一個難題，他會立即轉(zhuǎn)向一個新的難題，在相鄰的兩個難題之間，則是絞盡腦汁的思考和一絲不茍的驗(yàn)證過程，這樣的過程在局外人看來枯燥無比，而對梁培基而言其樂無窮。

1996年，經(jīng)過反復(fù)研究驗(yàn)算，沉寂多時(shí)的梁培基終于又有了新的閃亮?xí)r刻——這一次他得出一個最快捷簡便的4k階“和幻方”的造法，并將其命名為“快速書寫法”，因?yàn)槠錁?gòu)造速度之快就好像在空白紙上書寫自然數(shù)差不多，方法簡單，幾分鐘就能掌握。梁培基為此還編了朗朗上口的歌訣：“方陣分為井字形，四角中心順序行，其余四邊逆序?qū)懀?k階幻方頃刻成?！贝恕芭紨?shù)階幻方快速構(gòu)作”研究成果發(fā)表于《數(shù)學(xué)傳播》。

美國科學(xué)家富蘭克林生前曾創(chuàng)造出舉世無雙的“曲線求和幻方”，被《有趣的數(shù)論》一書譽(yù)為“最神奇的幻方”。但遺憾的是，他的幻方兩條對角線之和不等于幻方的幻和。而梁培基在1990年時(shí)構(gòu)造出既滿足富蘭克林的幻方性質(zhì)，又使兩條對角線之和等于幻方之和的新方法，稱為“優(yōu)化富蘭克林幻方”。富蘭克林生前還有一個美好的愿望，就是構(gòu)造幻方不要過多復(fù)雜的計(jì)算，或調(diào)換位置，就像書寫自然數(shù)一樣快捷。而梁培基1996年給出的“直接書寫法”正是富蘭克林生前所期盼的。這位科學(xué)家當(dāng)年恐怕做夢也沒有想到，他所留下的遺憾和愿望，竟然在多年后被中國農(nóng)民數(shù)學(xué)家雙雙破解了。

因?yàn)閷?shù)學(xué)的癡迷研究，梁培基以僅讀過初中二年級的農(nóng)民身份躋身組合數(shù)學(xué)研究的專業(yè)領(lǐng)域，被破格錄用為國家干部，并被破格評為副研究員，破格參加若干學(xué)術(shù)會議，而他的論文則發(fā)表于《數(shù)學(xué)傳播》《數(shù)學(xué)研究與評論》《自然雜志》《數(shù)學(xué)通報(bào)》以及組合數(shù)學(xué)界的權(quán)威雜志、加拿大溫尼伯大學(xué)計(jì)算機(jī)系的JCMCC。

面對諸多榮譽(yù)，梁培基很淡定。當(dāng)有人稱他為“專家”、“教授”時(shí)，他連說不敢，表示自己只是蕓蕓眾生中喜歡幻方的小卒一個。而當(dāng)有電視臺記者稱他為數(shù)學(xué)家時(shí)，他則幽默地糾正為“家學(xué)數(shù)”，理由是他沒有上高等學(xué)校深造，也沒有出國留學(xué)，是在自己家里研究數(shù)字的。

梁培基一心癡迷于數(shù)學(xué)，無論看到什么都能與數(shù)字掛鉤。有一次，他看到一個叫“605”的玉米種，就神秘地說：嗯，這個玉米可以種?！庇腥藛枮槭裁矗穑骸?05=5×121，而1、2、1是“起步走”的口令，預(yù)示著這個品種剛剛起步，而且是一個像軍人一樣有嚴(yán)格紀(jì)律的團(tuán)體。看到發(fā)問者意猶未盡，他又補(bǔ)充說：“你看，121=11×11，這1111像挺立的玉米桿，估計(jì)還能抗倒伏咧！”如此這般一番數(shù)字化解釋，令周圍的聽眾都忍俊不禁，不得不服。他不但樂于偶爾以數(shù)字方式“幽上一默”，同時(shí)也很樂于用他所擅長的數(shù)字組合方式來關(guān)注國事——新中國成立60周年時(shí)，他用15個自然數(shù)構(gòu)建了一副別具一格的五星圖，用以濃縮共和國60年來的重大事件；當(dāng)十九大召開之時(shí)，他又滿腔熱情的構(gòu)造了一個新的數(shù)字五角星，用以濃縮中國共產(chǎn)黨所走過的歷程。如今他雖已是耄耋老人，但一天都沒有停止過以各種方式對于數(shù)字組合進(jìn)行探索研究……