從一道函數(shù)選擇題想到的

陳宇洋

摘要：本篇文章從要解決的一道兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題出發(fā)，應(yīng)用函數(shù)的各種性質(zhì)，尋找作函數(shù)圖象的方法.文章觀點(diǎn)新穎，角度獨(dú)特，對函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)圖象的變化趨勢剖析得淋漓盡致，令人耳目一新.通過對本道題目的思考，文章總結(jié)出作函數(shù)圖象的基本思路，即在作圖前一定要對函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、零點(diǎn)、漸近線等性質(zhì)進(jìn)行綜合考慮，尋找對作圖起關(guān)鍵作用的閃光點(diǎn).本篇文章也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，為今后處理類似問題提供了理論依據(jù).

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合

我是一名高一新生，是班級的數(shù)學(xué)科代表.在上學(xué)期期末復(fù)習(xí)的時(shí)候，有一位同學(xué)把一道在補(bǔ)習(xí)班做過的函數(shù)題拿來與我討論.題目是這樣的：函數(shù)y=|x|的圖象與函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

他說這是某校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試選擇題的最后一個(gè)問題，同學(xué)們對這個(gè)問題都感到不知所措，不知道從什么角度切入.后來老師用幾何畫板畫出了兩個(gè)函數(shù)的圖象，大家才知道這道題需要利用函數(shù)圖象解答，但是同學(xué)們又不知道如何不借助數(shù)學(xué)軟件來畫出函數(shù)圖象.

據(jù)我了解，研究兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題無外乎兩種方法：解方程和畫圖.我們試著解了一下方程，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)不可能完成的任務(wù)，因?yàn)樽冃沃螅@是一個(gè)五次方程.所以唯一的方法就是畫函數(shù)圖象，考試的時(shí)候不可能用幾何畫板，那么如何用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)畫出函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象呢？

首先，老師說過，一切函數(shù)問題都要本著定義域優(yōu)先的原則，這個(gè)函數(shù)的定義域是{x|x∈R且x≠0且x≠1且x≠2且x≠3}.所以畫圖象的時(shí)候要注意自變量的取值范圍.其次，從單調(diào)性來看，函數(shù)y=1x、y=1x-1、y=1x-2、y=1x-3在各自的定義域的子區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)，幾個(gè)減函數(shù)的和在它們公共的定義域的每個(gè)子區(qū)間上仍然是減函數(shù).所以，函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3處都是斷開的，并且在它的定義域的每個(gè)子區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上都是單調(diào)減函數(shù).

但是，我們知道函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3處是沒有定義的，那么函數(shù)在區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上是以什么形態(tài)減少的呢，是直線型的還是曲線型的、凹的還是凸的、函數(shù)值是從多少減到多少的呢？在小學(xué)、初中時(shí)期，老師一再強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的分母不能為0，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分母為0，分?jǐn)?shù)是無意義的，分?jǐn)?shù)值是不存在的.而什么是不存在呢？經(jīng)過高中基本初等函數(shù)的圖象的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)我們在數(shù)學(xué)中所說的不存在其實(shí)都是無窮，自變量越趨近于這個(gè)數(shù)，函數(shù)值就趨近于無窮，沒有最大，只有更大，沒有最小，只有更小，所以函數(shù)值不存在的地方都是函數(shù)的漸近線.例如，函數(shù)y=1x，定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，值域?yàn)閧y|y∈R且y≠0}，所以，函數(shù)y=1x是以x=0、y=0兩條直線為漸近線的.因此，對于函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3而言，直線x=0、x=1、x=2、x=3都是這個(gè)函數(shù)的漸近線，函數(shù)在區(qū)間（0，1），（1，2），（2，3）上都是從從左至右、從正無窮、先凹后凸、呈S型減小到負(fù)無窮的.

最后，在直線x=3的右側(cè)，沒有其他的漸近線了，它的圖象在遞減過程中是如何變化的呢？考慮一下函數(shù)在區(qū)間（3，+∞）上的值域，發(fā)現(xiàn)在x>3的情況下，函數(shù)值都是正的，并且在自變量x趨近于+∞時(shí)，y的值趨近于0，所以在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)，函數(shù)是以x=3和y=0為漸近線并且單調(diào)遞減的.同理，在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)是以x=0，y=0，為漸近線并且單調(diào)遞減的.

由此，我們可以基本不借助任何數(shù)學(xué)軟件畫出函數(shù)y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的圖象（如圖1），此題得解.

通過這道題的解題過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，關(guān)鍵是要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及圖象的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化.老師說數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)多個(gè)領(lǐng)域都有滲透，我們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意積累，加以整合，加深對這一思想的靈活運(yùn)用.函數(shù)初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該首先注意提高自己應(yīng)用函數(shù)圖象的意識(shí)，遇到問題，想畫圖象、會(huì)畫圖象.下面再舉例說明.

例若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：將對數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解決.

解：原方程變形為3-x>0，-x2+3x-m=3-x，

即3-x>0，（x-2）2=1-m.

設(shè)曲線y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y2=1-m，圖象如圖2所示.由圖可知：

①當(dāng)1-m=0時(shí)，有唯一解，m=1；

②當(dāng)1≤1-m<4時(shí)，有唯一解，即-3

∴m=1或-3

點(diǎn)評：一般地，在對方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖象直觀解決，簡單明了.上面以數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用舉例說明，函數(shù)的圖象與函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、零點(diǎn)是相互依存的關(guān)系，畫圖象之前，應(yīng)該先判斷函數(shù)的各種較為鮮明的性質(zhì)，而具體問題中，函數(shù)較為鮮明的性質(zhì)又是不一樣的，將其中的某些關(guān)鍵點(diǎn)綜合在一起，才能繪制出正確的圖象.

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”運(yùn)用函數(shù)的各種性質(zhì)作圖、識(shí)圖、并把圖象應(yīng)用到解題中，是我們學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵所在.

參考文獻(xiàn)

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