數(shù)學：閱讀是最好的學科教養(yǎng)

文 / 王耀楊（北京大學附屬中學）

答案就在數(shù)學書里

10年前，當我以一位化學專業(yè)出身、有著3年高中化學教齡的教師身份開始攻讀數(shù)學史專業(yè)的碩士研究生時，我對自己“學困生”的身份深信不疑，并做好了多次重修某些數(shù)學專業(yè)課才能畢業(yè)的心理準備。這時，一位同學幫助了我。他的幫助非常切實：一道不論多么簡單的習題，先明確其核心概念，然后找到教材中對于此概念的界定與相關解釋，最終將這些核心概念串聯(lián)起來以形成完整清晰的說理過程。

那一陣子，我經(jīng)常有恍然大悟的感覺，雖然維持不久就又陷入新的迷惑之中。最終的結(jié)果可謂公平：我并沒有一躍成為優(yōu)等生，但總算成功達到了各科老師的基本要求而得以避免重修。

回想起來，這段經(jīng)歷對于我的教師生涯來說，最大的價值在于它迫使我不斷思考：一位學業(yè)水平不那么出色的數(shù)學學習者，最需要什么樣的幫助？我的答案是安全感。作為一個基礎薄弱的學習者，我需要有人不斷提醒我“這個概念的正確含義是什么”，不斷指點我“這個過程應該這樣書寫才合理”，甚至要告訴我“這個符號應該這么寫”……但是誰有這么高的水平還能這么清閑，甚至全天候地為我一個人答疑解惑？

很簡單，就是數(shù)學書！有些難度較大的課，任課教師甚至會專門指定一本書作為參考讀本，因為越難的東西越需要專心來“啃”。對于我來說，這本書簡直就是萬能的，有什么不懂的地方都可以向它求助，一遍讀不懂就多讀幾遍；更重要的是，得到它的幫助后我通常還會收獲一種“學困生”特別需要的東西——成就感。

這種成就感很好地支撐著我直到今天對數(shù)學仍然保持狂熱的激情，我如饑似渴地閱讀各種數(shù)學主題，哪怕它只是一個有趣但是相對零散的問題，或者是一種純理論的整合與重寫……重要的是，我能夠從“自己努力讀懂一些”這個過程中建立無與倫比的滿足感，而且我相信，在過去的若干年時間中，我的學生們也很好地感受到了這種滿足感。

幫助學生學會閱讀教材

腦科學早有研究：閱讀不是人腦任意單一區(qū)域的功能，而是必須通過多區(qū)域合作才能實現(xiàn)的功能。這在很大程度上意味著閱讀本質(zhì)上是后天的習得性技能，需要“學而知之”。作為教師，我認為自己有義務做好常規(guī)數(shù)學課堂中的閱讀方法指導。

常規(guī)課堂中，最核心的精密文本就是人手一本的數(shù)學教材，而我的一項主要教學任務，就是幫助學生學會讀這本書。實際上，教材是一份相當不錯的閱讀文本！

此外，幫助學習者掌握讀教材的技能還有一項好處——建立自信心！對于基礎薄弱的學生，有教材可以參照，無論是遇到概念模糊、方法或原理的遺忘，乃至種種書寫細節(jié)要求的問題，都有最可靠的信息參照源。

在教學實踐中我發(fā)現(xiàn)，一些原本對數(shù)學學習自我感覺不佳的學生，經(jīng)過兩到三次查閱教材解答疑惑的體驗之后，便迅速建立起“原來學數(shù)學并沒什么神秘啊”的感覺。而那些基礎相對較好的學生，一旦發(fā)現(xiàn)“原來可以自己讀書學數(shù)學”后，便會迅速轉(zhuǎn)向自主閱讀，并根據(jù)個人的趣味和需求選擇合適的參考書。

相信很多初中數(shù)學教師都會有類似體會：新初一開篇的有理數(shù)章的教學，無論是就設計還是實施而言，都是越來越困難了。對于教師來說，在進行有理數(shù)章教學設計時，一項很重要的考慮就是幫助學生調(diào)整心態(tài)，讓他們意識到需要投入體驗的東西還有很多。下面是我的一些嘗試。

圖片中呈現(xiàn)了人教版七年級（上）教材第17頁的部分內(nèi)容。篇幅不大，但是包含非常豐富的信息。我曾請學生一起閱讀并描述自己看到的東西，結(jié)果令人驚喜。以下是學生發(fā)言的概括整理：

① 如果用有理數(shù)表示運動，那么連續(xù)運動就可以表示成有理數(shù)加法，加法結(jié)果就是連續(xù)運動的總體效果（即多次運動的效果等同于一次運動）；這種加法可以不限于兩次。

② 有理數(shù)加法的規(guī)律可以通過運動的具體實例歸納出來，結(jié)果是自然的。

③ 從運動角度來理解，驗證了加法有交換律。

④ 有學生質(zhì)疑說“有理數(shù)不是表示數(shù)軸上的點嗎”，立即有學生提示說教材前文（同版教材第16頁中部正文“一個物體作左右方向的運動，我們規(guī)定向左為負，向右為正，向右運動5m記作5m，向左運動5m記作-5m”）有說明。進而有人提出“表示為數(shù)軸上的點”實際上是“表示為數(shù)軸上的運動”的特例，以為前者可以看成是從原點出發(fā)的運動結(jié)果。

⑤ “云朵”中的話指出：算式也可以直觀呈現(xiàn)為動點。

⑥ 有學生很敏銳地發(fā)現(xiàn)：數(shù)學文本中的“句號”是一個點，這與語文書中常見的形式是完全不同的！通過翻查與對照，學生很快確認了這一書寫規(guī)則。很快又有人指出：數(shù)學中表達式的寫法是：先將正文另起一行，然后在下一行中間寫表達式，該行最右端標記編號；這一規(guī)則也在教材中其他地方得到了驗證。

從我提出問題“請大家談談自己閱讀這段文字后想到的東西”到討論結(jié)束，足足經(jīng)過了20分鐘！但是很值得，因為學生把需要思考清楚的事情都在頭腦中整理了一遍。我備課時預想的結(jié)論是①～⑤這幾條，原本以為學生考慮不周，就自己補充提出問題，但是整個過程中孩子們很積極，讀書細心的孩子甚至主動發(fā)現(xiàn)并提出了我原本沒有想到的結(jié)論⑥，最后所有學生還一起翻查教材來驗證這個結(jié)論。這節(jié)課后，同學們對于“數(shù)學文本的書寫有明確的格式規(guī)范”這件事留下了深刻印象。

文本的閱讀能力本質(zhì)上是習得性的技能，既然如此，學生由于以往經(jīng)歷和體驗的側(cè)重方式不同，未必都能快速找到自主閱讀和思考的感覺。在這樣的前提下，教師適當多提供一些引領和示范，并不簡單等同于“全盤灌輸”。

我們無須諱言“手把手地教”這樣的教學方式，最關鍵的是要做到對文本內(nèi)容的通盤把握，不論學生提出何種有價值的思考和疑問，我們都需通過精心的準備再盡量給予應有的回應和指點。這才是使每個學生閱讀有所提高的保障。

布置一份假期閱讀“作業(yè)”

課外閱讀如何延伸？比如假期，指定幾本書的某些相關章節(jié)作為閱讀任務，學生可以從幾項任務中選擇一項作為自己的“必做項”閱讀作業(yè)，還可以從這幾本書中選取其他章節(jié)或者索性自己選一本書作為“選作項”閱讀作業(yè)。

對于閱讀作業(yè)，我會提供明確的完成要求，也是分成幾個方向和層次的要求供學生選擇。對于學生而言，這些要求大部分本就是常規(guī)課堂中已明確的，不過是根據(jù)自己假期的總體安排而選擇具體的標準來操作而已。

在最新版的人教版數(shù)學教材中，首次出現(xiàn)的幾何章節(jié)是第4章《幾何圖形初步》。它既要為整個中學階段的幾何學習內(nèi)容打開一扇窗，又要為凸顯初中階段強調(diào)說理的要求做一個強有力的開場白。

我在假期作業(yè)中布置了一份“自主閱讀＋動手探索”的作業(yè)，請學生閱讀書籍《發(fā)展空間想象力》（劉培杰數(shù)學工作室組織編譯，哈爾濱工業(yè)大學出版社）。這是一本包含極多立體幾何趣味問題的書，我的作業(yè)是請學生從中選擇一個感興趣的問題，通過動手制作模型把道理研究清楚，以閱讀報告的方式提交自己的研究成果。下面介紹一個女孩子提交的研究報告。

她選擇了《發(fā)展空間想象力》第一部分的第119題，原問題如下：

按照她的說法，一看到這個問題就覺得很有趣，但又不得要領，不知從何入手。不過，當她用硬紙片和圖釘親手制作了一個模型之后，很快找到了訣竅：原來這只是“三角形穩(wěn)定性”的一個類比推廣。想明白道理之后，她發(fā)現(xiàn)要解決題目中的10個小問題原來花不了多少時間，因為最難的就是第一步！而邁進這一步的訣竅，就是親手制作，在實際操作中感受和理解。

如何推薦數(shù)學閱讀文本

以下原則是需要教師認真考量的：

1.被推薦的學習者對于精密數(shù)學文本的閱讀已具有何種水平？

2.對于被推薦的學習者來說，該書所要求的預備知識是否到位？

3.對于被推薦的學習者來說，貫穿全書的價值觀念是否為其所認同或希望認同？

最理想的情況是：教師引領學生掌握閱讀特別是品鑒精密文本的能力，學生自己到大型圖書館或類似平臺根據(jù)個人趣味自主挑選讀本。

在我個人的實踐中，一般會建議小學六年級畢業(yè)生嘗試閱讀一些入門級讀物，其中最常推薦的是湖南科學技術出版社的《數(shù)學圈》，作者H. W. Eves是著名的數(shù)學史家，各種典故趣聞信手拈來，妙語點評隨處可見，即使對于數(shù)學知識儲備有限的讀者，也仍然是一種激發(fā)興趣的優(yōu)秀讀本。

適合于初中生的代表讀物包括人民郵電出版社的《勾股定理：悠悠4000年的故事》和《三角之美：邊邊角角的趣事》。我本人最樂于推薦的則是上?？萍冀逃霭嫔绲摹?的平方根：關于一個數(shù)與一個數(shù)列的對話》。該書模擬一位循循善誘的教師與一個充滿好奇心和熱情的學生之間的對話，展開了對根號2這個無理數(shù)的一系列研究，既有數(shù)值嘗試、提出猜想和舉例否定的種種探索過程，也有逐步形式化直至完整說理的清晰論證，是一本“授人以漁”之書。

一般人認為，“閱讀”是語文的事，與數(shù)學關聯(lián)不大，但在我看來，閱讀是最好的學科教養(yǎng)，數(shù)學也同樣如此。