壓電聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的有限元方法模擬*

吳吉恩，胡瑞霞，鄧 科

(吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

壓電材料是能實現(xiàn)機械能和電能相互轉(zhuǎn)換的晶體材料.自1880年法國物理學(xué)家居里兄弟發(fā)現(xiàn)了第一種壓電材料——石英晶體后，壓電材料得到了長足的發(fā)展[1].壓電材料是人類聲學(xué)活動中不可缺少的元器件，目前已被廣泛應(yīng)用于各種超聲換能器.壓電材料的工作方式包括主動控制和被動控制，這2種工作方式都需要給壓電材料配置電路和電學(xué)器件.主動控制，需要電路中有電源/信號激勵源，為系統(tǒng)的運作提供能量/信號，以便壓電材料將電信號轉(zhuǎn)換成其他信號(比如聲信號).被動控制不需要電源/信號源，其工作原理類似于傳感器.在處于被動控制方式的系統(tǒng)中，由于電路起到了分流耗散的作用，所以被動控制又被稱為分流電路控制，并被應(yīng)用于壓電聲子晶體中[2-10].在外力的作用下，壓電材料因形變而產(chǎn)生電荷.如果在壓電材料電極的兩端接上分流電路，那么這些電荷將通過分流電路發(fā)生相互作用，從而把機械能轉(zhuǎn)化成熱能耗散掉.傳統(tǒng)聲子晶體器件的工作頻率或聲學(xué)特性是固定的，因此，近年來人們開始致力于帶隙等聲學(xué)性質(zhì)可調(diào)的聲子晶體的研究，如壓電聲子晶體，因其聲學(xué)性質(zhì)可通過外接分流電路來調(diào)節(jié)而備受人們青睞.眾所周知，能帶結(jié)構(gòu)計算對研究壓電聲子晶體的特性至關(guān)重要，因此筆者以一維桿狀壓電聲子晶體為例，擬基于有限元軟件COMSOL Multiphysics對壓電聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)進行計算，并討論壓電材料中分流電路對能帶的影響.

1 桿狀壓電聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

筆者設(shè)計了一種壓電聲子晶體桿，其單胞由壓電材料和鋼組成.所用的壓電材料為壓電陶瓷(PZT4)，晶格常數(shù)a=10 mm，桿半徑r=2 mm，在一個單胞中壓電陶瓷和鋼的長度均為2 mm，晶體桿和壓電陶瓷的極化方向均沿z軸.由于壓電聲子晶體桿的結(jié)構(gòu)在z軸方向是周期性排布的，因此在模擬實驗中沿z軸方向采用周期性邊界條件，而其在余方向則采用自由邊界條件.壓電聲子晶體單胞的結(jié)構(gòu)示意如圖1所示，其中深灰色代表壓電陶瓷，淺灰色代表鋼柱.其中:圖1a為開路狀態(tài)；圖1b壓電陶瓷分流電路中只有電容；圖1c分流電路處于短路狀態(tài).

圖1 壓電聲子晶體單胞結(jié)構(gòu)示意Fig. 1 Schematic Model of Piezoelectric Phonon Crystal Unit Cell

2 模型建立與能帶計算

圖1所示的桿狀聲子晶體為三維結(jié)構(gòu)，需要建立三維模型來計算其能帶結(jié)構(gòu).在有限元模擬中，三維模型的計算不僅耗時多而且所需內(nèi)存非常大，這給研究工作帶來諸多不便.注意到桿狀壓電聲子晶體的幾何結(jié)構(gòu)及其聲學(xué)性質(zhì)均關(guān)于中心軸(z軸)對稱，因此只需建立一個二維軸對稱模型來計算即可.具體建模過程如下：在COMSOL 軟件中建立一個二維軸對稱模型，然后選擇“結(jié)構(gòu)力學(xué)”模塊中的“壓電設(shè)備”分模塊，以及該模塊下的 “特征頻率”作為研究對象；在“全局定義”中添加參數(shù)，輸入聲子晶體的結(jié)構(gòu)尺寸并定義波矢參數(shù)用于能帶掃描；在“組件1”中的“定義”項里設(shè)置材料坐標(biāo)系與空間坐標(biāo)系的關(guān)系(比如，“材料xz平面系統(tǒng)”表示要研究的是材料的xz平面，而COMSOL中默認(rèn)的研究平面是rz平面，因此需要將所研究的材料從xz平面投影到rz平面)；在“幾何1”中建立單胞結(jié)構(gòu)圖，并在“材料”中添加壓電陶瓷PZT4；設(shè)置線彈性材料，選擇“壓力波和剪切波速度”，輸入材料參數(shù)(對于該模型，縱波波速cp1=6 100 m/s，橫波波速cp2=3 300 m/s，質(zhì)量密度ρ=7 600 kg/m3)；添加周期性邊界條件，周期類型選Floquet周期，并且設(shè)kF在z方向的波矢為kz(2π/a).

模型設(shè)置好后，引入靜電并設(shè)置電路.靜電只對壓電陶瓷起作用，因此“靜電”模塊只需選擇壓電陶瓷所在區(qū)域即可(系統(tǒng)默認(rèn)選擇的區(qū)域是所有區(qū)域，這時需要手動更改).當(dāng)壓電陶瓷沒有外接分流電路時，該模塊無需手動調(diào)節(jié)其他選項.當(dāng)壓電陶瓷有外界分流電路時，需要添加邊界“終端”和邊界“接地”，即分別選中z方向的2條邊(這2條邊相當(dāng)于薄電極).設(shè)置“終端類型”為“電路”，這里的終端作為與電路模塊鏈接的橋梁.“顯示假設(shè)方程”為

(1)

(1)式說明終端(電極)以Q0的形式作用于電路，即終端作為電源.Q0與電位移有關(guān)，電位移與應(yīng)力應(yīng)變有關(guān)，所以Q0與彈性波有關(guān).“電路”模塊只在壓電陶瓷連接有分流電路的時候被啟用.當(dāng)啟用“電路”模塊時，需要在“組件1”中添加物理場，并選中“AC/DC”中的“電路”模塊.電路模塊無需選擇材料結(jié)構(gòu)或新建電路模型，所有的電學(xué)器件的連接均由節(jié)點完成.把電路模塊中的“方程形式”由“研究控制”改為“穩(wěn)態(tài)”，初始節(jié)點改為“接地節(jié)點1”(表示接地點，默認(rèn)的節(jié)點名稱為0)，添加“外部I終端”(默認(rèn)的節(jié)點名稱為1)，并將其“電勢”設(shè)置為“終端電壓”，這樣就將靜電模塊與電路模塊連接了起來，節(jié)點1相當(dāng)于接有終端的電極.根據(jù)電路知識可知，節(jié)點0相當(dāng)于接地的電極.因此，在節(jié)點0和節(jié)點1之間添加一個電容，就相當(dāng)于給壓電陶瓷2個電極之間接了一個電容.接下來添加一個“電容器”，其節(jié)點名稱默認(rèn)為0和1，多物理場的設(shè)置無需改動，網(wǎng)絡(luò)格單元尺寸設(shè)置為特別細(xì)化.

3 分流電路對能帶的影響

當(dāng)壓電聲子晶體沒有外接分流電路(圖1a)時，能帶計算無需利用電路模塊和靜電模塊中的終端和接地，因此將其禁用，計算結(jié)果如圖2a所示.從圖2a可以看出，壓電聲子晶體在布里淵區(qū)邊界產(chǎn)生了Bragg帶隙.這是由壓電陶瓷和鋼的聲學(xué)性質(zhì)的差異引起的.

當(dāng)壓電聲子晶體接上電容(圖1b)時，能帶計算需要利用電路模塊和靜電模塊中的終端和接地，因此將其啟用.需要特別注意的是，由于禁用靜電模塊中的終端會導(dǎo)致電路模塊中的外部I終端丟失電勢信息，所以重新啟用后還需重新添加電勢為“終端電壓”.當(dāng)電容設(shè)置為20 pF時，能帶計算結(jié)果如圖2b所示.與圖2a相比，圖2b中所示的帶隙已變寬，原因可參考文獻[2].

當(dāng)壓電聲子晶體的外接分流電路為短路狀態(tài)(圖1c)時，壓電陶瓷2個電極之間的電勢一致，可以用電路模塊使電容足夠大或短路，也可以不用電路模塊，只要保證2個電極的電勢/電學(xué)條件一致即可.此時能帶計算的結(jié)果如圖2c所示.

圖2 壓電聲子晶體能帶Fig. 2 Band Structures of Piezoelectric Photonic Crystals

4 能帶計算中常見問題

在能帶計算過程中可能會遇到各種各樣的問題，在此列舉幾個典型的問題/報錯，并給出相應(yīng)的解決辦法.網(wǎng)格單元尺寸設(shè)置為較細(xì)化時，接上電容的壓電聲子晶體的能帶如圖3a所示.從圖3a可以看出，在低頻時能帶計算結(jié)果顯得毫無規(guī)律.解決方法是將網(wǎng)格精細(xì)化.在模型較大的情況下，只針對電極(線)作精細(xì)化處理即可.圖3b提示電路連接錯誤，解決方法是正確連接電路.圖3c提示掃描錯誤，解決方法是將“步驟1：特征頻率”中的“特征頻率搜索范圍”設(shè)為大于0的值.圖3d提示電路不能正常工作，解決方法是將電路模塊的“方程形式”由“研究控制”變更為“穩(wěn)態(tài)”或其他形式.

圖3 計算壓電聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)時的常見問題Fig. 3 Common Errors in Band Structure Calculation for Piezoelectric Photonic Crystals

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