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    導(dǎo)函數(shù)中“恒成立”問題的解決方案

    2018-07-02 01:30:30方明凱
    關(guān)鍵詞:恒成立洛必達(dá)移項(xiàng)

    ◎方明凱

    引言:“恒成立問題求參數(shù)的取值范圍”的這類問題,在導(dǎo)函數(shù)問題中有較大的代表性,以下就這類問題提供兩種主要解決方案:一、分類討論法;二、分離參數(shù)法。

    例如:已知函數(shù),曲線 y=f(x)在點(diǎn)(1,1),f(1)處的切線方程為x+2y-3=0.

    (Ⅰ)求a,b的值;

    (Ⅱ)如果當(dāng) x>0且 x≠1時(shí),,求k的取值范圍.

    分析:本例(Ⅱ)主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解決恒成立問題,考查了運(yùn)算求解能力及分析問題和解決問題的能力。對(duì)于恒成立問題的解決往往是構(gòu)造函數(shù)對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,或是分離參數(shù),也可轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值。對(duì)于此題,若采用移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成:要使g恒成立,只須使 g(x)min>0即可,可問題是對(duì)g(x)求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)談何容易,即無法判斷g(x)的單調(diào)性,故只能采用下列兩種方法:

    [解析]方法一:構(gòu)造函數(shù)對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論

    由于直線x+2y-3=0的斜率為,且過點(diǎn)(1,1),

    故有,解得 a=1,b=1.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以

    f(x)-(把函數(shù)拆成相對(duì)簡單函數(shù)的乘積),由于當(dāng)x>0且x≠1時(shí)判斷的正負(fù)很容易,故考慮函數(shù)(注意觀察式子特征,通過對(duì)k進(jìn)行分類討論,來判斷 h'(x)的正負(fù)).

    ⑴k-1≤-1時(shí),即k≤0時(shí),由x2+1≥2x知, k-( )1 x2+( )

    1+2x≤0.故

    當(dāng) x≠1時(shí),h'(x)<0,這時(shí) h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),而 h(1)=0,故

    當(dāng) x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,可得

    而當(dāng) x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,可得

    從而當(dāng) x>0且 x≠1時(shí),,即 f(x)>

    ⑵-1<k-1<0時(shí),即0<k<1時(shí),觀察并對(duì)此二次函數(shù) y=分 析 得,當(dāng))時(shí),知(k-1)( x2+1)+2x>0,故 h'(x)>0,h(x)為增函數(shù).

    而 h(1)=0,故當(dāng))時(shí),h(x)0,可得與題設(shè)矛盾.

    ⑶K-1≥0時(shí),即 K≥1時(shí),h'(x)>0恒成立,這時(shí) h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),而 h(1)=0,故當(dāng) x∈(1,+∞)時(shí),h(x)>0,可得,與題設(shè)矛盾.

    綜合得,k的取值范圍為(-∞,0).

    方法二:(Ⅰ)的解答同上,(Ⅱ)的解答采用分離參數(shù)法

    移項(xiàng)化簡,分離參數(shù)得,求 導(dǎo) 化 簡 得

    令 h(x)=2ln x( x2+1)-2x2+2( x>0) ,則

    令.(由于判斷 h'(x)的正負(fù)較難,故繼續(xù)求導(dǎo)).則

    令 h''(x)=0,得 x=1.由于 h''(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),故有

    當(dāng) x∈(0,1),h''(x)<0,h'(x)為減函數(shù).

    當(dāng) x∈(1,+∞),h''(x)>0,h'(x)為增函數(shù).

    故當(dāng) x>0且 x≠1時(shí)有 h'(x)>h'(1)=0.

    則 h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

    故當(dāng) x∈(0,1)時(shí),有 h(x)<h(1)=0,這時(shí) g'(x)<0,則 g(x)為減函數(shù);

    當(dāng) x∈(1,+∞)時(shí),有 h(x)>h(1)=0,這時(shí) g'(x)>0,則 g(x)為增函數(shù).

    故 當(dāng) x>0 且 x≠ 1 時(shí),有.

    則k≤0.故k的取值范圍為(-∞,0).

    此題的解決,據(jù)同學(xué)們反映,對(duì)于方法1,掌握起來有些困難,盡管這類題訓(xùn)練的不少,但始終有不少學(xué)生弄不清楚分類的原因是什么,討論的點(diǎn)是什么,始終思路不清晰;但對(duì)于方法2,分離參數(shù),求導(dǎo),繼續(xù)求導(dǎo),直到能判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)為止,通過導(dǎo)函數(shù)來判斷原函數(shù)的單調(diào)性,思路簡單,易操作,但中間用到大學(xué)內(nèi)容,須用洛必達(dá)法則去解決“”型或“”型的極限,洛必達(dá)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。

    總之,利用導(dǎo)函數(shù)解決“恒成立問題”主要有兩種思路:一種是采用分類討論的思想,另一種是分離參數(shù),一直求導(dǎo),直到能判斷單調(diào)性為止。無論是采用哪一種,只有掌握它的本質(zhì),掌握常見的分析、解決問題的方法,通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,才能在應(yīng)用過程中,快速反應(yīng),解決問題。

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