初等函數中常見的概念性錯誤分析

◎王愛華

數學解題中的錯誤常有以下幾種類型：（一）概念性錯誤；（二）推理和論證性錯誤；（三）計算錯誤、看圖和作圖錯誤。其中概念性錯誤和推理性錯誤，可以歸屬于邏輯性錯誤，而邏輯性錯誤又可能導致計算錯誤和圖形錯誤，因此認識數學解題中某些常見的邏輯性錯誤，并分析其產生的原因對于提高數學教學質量，促進學生的數學解題能力，是很重要的。本文僅就函數概念的有關問題通過一些常見的例子，以分析其概念性錯誤及原因，旨在教與學的過程中對數學概念的重要性引起足夠的重視。

一、函數定義域及表述問題

函數的定義域是“x≠1的一切實數”，這種說法包含了邏輯上的矛盾，因為既然說“x≠1”，就不是“一切實數”，而若是“一切實數”，就應包括x=1。這樣說違反了矛盾律。正確的說法，可以表述為“上述函數定義域是滿足x≠1的實數全體”，或用區(qū)間表示為：“（-∞，1） ∪ （1， + ∞）”， 或 用 集 合 表 示 為： “

二、把文字題翻譯成函數式

例如：列式表示以下各題中y與x的函數關系：

（1）某質點在坐標平面上總按“縱坐標y是橫坐標x的兩倍”的規(guī)律運動。

（2）某質點按速度為2（速度單位）作等速直線運動，走過的路程y是時間x函數。

（3）橡皮2角錢一塊，買x快，花了y角錢，y是x的函數。

一般地，學生容易將上述三個函數關系式都寫成y=2x，其實這三個函數是不同的：（1）y=2x，x∈ （-∞，+∞）；（2）y=2x，x∈[0， +∞ )；（3）y=2x，x∈N（包括0的擴大的自然數集），它們的圖像也各不相同，分別如圖1（a）、（b）、（c）。

為什么會發(fā)生這樣的錯誤呢？這是因為對函數概念理解片面。函數概念有三要素：定義域、值域、對應關系（解析式）。如果把函數僅理解成解析式，就要犯“以偏概全”的錯誤。

再如圖2，某小隧道截面，矩形上接半圓形，已知截面周長為15m，試寫出截面面積S關于底寬x的函數式。

如果解題到此結束，所得結果是不完全的，因此依問題的實際意義，（*）式中的自變量的取值范圍是限定的；如果不指出這一點，就可能導致不合理的結果，例如，在（*）式中置x=10，則所求的S是負值，而面積是非負的，所以應該在寫出（*）式的同時，把限制條件（定義域和值域的限制）也寫出來：S＞0，x＞0。

故所求函數式應是

三、關于函數性質

例 1.設 f（x）=ax7+bx3+cx-5，若已知 f（-7）=7，求f（7）的值。

誤解：因為f（x）是x的奇次冪之和，故為奇函數，從而f（7）=-f（-7）=-7

錯在哪里？錯在f（x）不完全是x的奇次冪之和，因為常數（-5）應視為x的零次冪，而0是偶數，因此f（x）并非奇函數。

正確的解法：令 g（x）=f（x）+5=ax7+bx3+cx，則 g（x）是 x的奇次冪之和，故是奇函數，因而有：g（-x）=-g（x）?f（-x）+5=-[f（ x ）+5)?f（-x）=-f（x）-10∴f（x）=-f（-x）-10，故 f（7）=-f（-7）-10=-7-10=-17

例2.在2的條件下，求 f（x）=（log2的最小值。

誤解：由條件式推得：，從而 -3≤

∵log2x是增函數，∴f（x）的最小值是：

這個結果是錯誤的，原因是并不能有對數函數的遞增性，推出兩個對數函數的乘積也是增函數，本題的函數就不是增函數。

事實上，

它是一個關于log2x的“二次函數”。因為a=1＞0，所以f（x）關于log2x有最小值。

正確的解法：在限制條件下得：

當時，有最小值，

以上列舉了一些常見例子，分析了函數的概念性錯誤及產生原因。類似的問題還有很多（諸如“算術根”、“絕對值”等看似簡單的概念），這里就不一一贅述?？傊?，對于數學概念，不論是初學或用之解題，都必須從根本上理解其含義和實質，準確地掌握概念，應用概念，才不至于造成邏輯性錯誤。