交換環(huán)的w-弱finitistic維數(shù)的注記

李 慶

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

1 引言及準(zhǔn)備知識(shí)

Glaz和Vasconcelos在文獻(xiàn)[1]中引入了semi-divisorial模的定義.semi-divisorial模推廣了divisorial模和內(nèi)射模.Wang和McCasland在文獻(xiàn)[2]中改進(jìn)了semi-divisorial模，并定義了semi-divisorial包絡(luò)(即w-包絡(luò))，形成了w-算子.這一算子在乘法理想理論和模理論中有重要的應(yīng)用.文獻(xiàn)[3-7]成功地將w-算子運(yùn)用到內(nèi)射模、平坦模和投射模的研究中.另外，Prufer整環(huán)在經(jīng)典的理想理論中發(fā)揮著舉足輕重的作用.從同調(diào)代數(shù)的角度看，Prufer整環(huán)就是弱整體維數(shù)小于等于1的整環(huán).Wang和Qiao在文獻(xiàn)[4]中利用w-算子給出了交換環(huán)上w-平坦維數(shù)和w-弱整體維數(shù)w-w.gl.dim(R)的定義，并證明了PvMD實(shí)際上就是w-w.gl.dim(R)≤1的整環(huán).眾所周知，PvMD是Prufer整環(huán)的一類重要推廣的整環(huán).以此為啟發(fā)，利用w-算子引入交換環(huán)上w-投射維數(shù)的概念并研究它的應(yīng)用.

恒設(shè)R是具有單位元的交換環(huán)，E(M)是R-模M的內(nèi)射包.設(shè)J是R的理想.根據(jù)文獻(xiàn)[8]，如果J是R的有限理想且自然同態(tài)φ:R→J*＝HomR(J，R)同構(gòu)，則稱J是R的GV-理想.R的GV-理想的集合記為GV(R).實(shí)際上，GV(R)是環(huán)R的理想乘法系.定義torGV(M)＝{x∈M｜存在J∈GV(R)使得Jx＝0}.易知torGV(M)是M的子模.稱R-模M為GV-撓模(或GV-無撓模)，是指torGV(M)＝M(torGV(M)＝0).

注意，R-模M是GV-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的m∈w－Max(R)，Mm＝0.w－Max(R)記為R的所有極大w-理想集合.稱GV-無撓R-模M是w-模，是指對(duì)任意的J∈torGV(R)，E(，M)＝0.對(duì)任 意 的 GV-無 撓R-模M，Mw＝{x∈E(M存在J∈GV(R)使得Jx?M}是包含M的E(M)的w-子模，稱為M的w-包絡(luò).顯然，GV-無撓R-模M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw＝M.更多關(guān)于w-模的性質(zhì)和所涉及的概念和術(shù)語請(qǐng)參見文獻(xiàn)[8-13].

2 w-投射維數(shù)

設(shè)M，N是R-模，f:M→N是R-模同態(tài).根據(jù)文獻(xiàn)[10]，稱f是w-單同態(tài)(或w-滿同態(tài)或w-同構(gòu))，是指對(duì)任意的m∈w－Max(R)，fm:Mm→Nm是單同態(tài)(或滿同態(tài)或同構(gòu)).模同態(tài)序列A→B→C是w-正合列，是指對(duì)任意的m∈w－Max(R)，模同態(tài)序列Am→Bm→Cm是正合列.R-模M是有限型模，是指存在w-正合列F→M→0，其中F是有限生成自由R-模.R-模M是有限表現(xiàn)型模，是指存在w-正合列F1→F0→M→0，其中F1，F(xiàn)0是有限生成自由R-模.由文獻(xiàn)[14]，R-模M是w-平坦模，是指對(duì)任意的w-單同態(tài)f:A→B，1?Rf:M?RA→M?RB是w-單同態(tài).顯然，平坦模和GV-無撓模都是w-平坦模.令由文獻(xiàn)[3]，R-模M是w-投射模，是指對(duì)任意無撓的w-模N，Ext1R(L(M)，N)是GV-撓模.下面給出w-投射分解和w-投射維數(shù)的定義.

定義2.1 設(shè)M是R-模，如果有w-正合列…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi都是w-投射模，則稱該w-正合列是R-模M的w-投射分解.

定義2.2設(shè)M是R-模，如果有w-投射分解…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，則稱M有有限的w-投射維數(shù).并通俗地說M有長(zhǎng)度不超過n的w-投射分解.當(dāng)有有限的w-投射維數(shù)時(shí)，M的最短的投射分解的長(zhǎng)度稱為M的w-投M射維數(shù)，用wpdR(M)表示.如果M沒有有限長(zhǎng)度的w-投射分解，則記w－pdR(M)＝∞.

顯然，若M有一個(gè)長(zhǎng)度為n的w-投射分解，則有w－pdR(M)≤n.

w－pdR(M)＝0當(dāng)且僅當(dāng)M是w-投射模.因?yàn)橥渡淠Ｊ莣-投射模，正合列是w-正合列，因此wpdR(M)≤pdR(M).

定義2.3設(shè)M是R-模，如果有w-正合列0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi都是有限型的w-投射模，則稱M有有限w-投射分解.此時(shí)顯然有w－pdR(M)＜∞.

注若M有有限w-投射分解，則M是有限表現(xiàn)型模.實(shí)際上，若M有有限w-投射分解0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，則對(duì)任意m∈w－Max(R)，由文獻(xiàn)[3]中 Theorem2.5有正合列0→(Pn)m→(Pn－1)m→…→(P1)m→(P0)m→Mm→0，其中(Pi)m是有限生成自由模，i＝0，1，2，…，n.故M是有限表現(xiàn)型模.

定義2.4設(shè)R是交換環(huán)，令w－fPD(R)＝sup{w－pdR(M)有有限w－投射分解}稱之為R的w-弱 finitistic維數(shù).

定理2.5下列命題等價(jià):

(1)w－fPD(R)＝0；

(2)若0→K→P→F→0是w-正合列，其中K，P是有限型的w-投射模，則F是有限表現(xiàn)型的w-投射模.

(3)若M有有限w-投射分解，則M是w-投射模.

證明(1)?(2)設(shè)w－fPD(R)＝0.因0→K→P→F→0是w-正合列，其中K，P是有限型的w-投射模，故F有有限w-投射分解.由于w－fPD(R)＝0，于是w－pdRF＝0，從而F是w-投射模.由文獻(xiàn)[3]中Theorem2.5，對(duì)任意m∈w－Max(R)有正合列0→Km→Pm→Fm→0是正合列，其中Km，Pm是有限生成自由模，故F是有限表現(xiàn)型模.

(2)?(1)設(shè)M有有限w-投射分解，不妨設(shè)w－pdRM＝n＜∞，故存在一個(gè)w-正合列故對(duì)任意m∈w－Max(R)有正合列令是w-正合列，這里Pn，Pn－1都是有限型的w-投射模 . 因此，Kn－2是有限表現(xiàn)型的w-投射模 . 故 0 →Kn－2→Pn－2→…→P1→P0→M→0是M的有限w-投射分解.從而w－pdRM≤n-1＜n，矛盾.故w－fPD(R)＝0.

(1)?(3)直接由w-弱finitistic維數(shù)的定義可得結(jié)論.證畢.

由文獻(xiàn)[3]中Theorem 2.5和文獻(xiàn)[14]中Theorem3.3可知，w-投射模是w-平坦模，反之，不成立.但是以下結(jié)論成立.

定理2.6有限表現(xiàn)型的w-平坦R-模M是w-投射模.

證明對(duì)任意m∈w－Max(R)，Mm是有限表現(xiàn)型的平坦模.于是Mm是投射的Rm-模，從而Mm是自由模.由文獻(xiàn)[3]中Theorem 2.5，M是w-投射模.證畢.

既然w-投射模是w-平坦模，因此w－fdRM≤wpdRM.

記f－Mod(R)＝{R－模M｜M有有限w－投射分解}.

命題2.7設(shè)M∈f－Mod(R)，n是一非負(fù)整數(shù).則有

w－pdRM≤n當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意m∈w－Max(R)，pdRmMm≤n.

證明(1) 設(shè)0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0是M的一個(gè)有限w-投射分解，則對(duì)任意m∈w－Max(R)，0→(Pn)m→(Pn－1)m→…→(P1)m→(P0)m→Mm→0是正合列.由文獻(xiàn)[3]中Theorem2.19，有限型的w-投射模是是有限表現(xiàn)型的，故P0，…，Pn是有限表現(xiàn)型的 .由文獻(xiàn)[3]中 Theorem2.8，Pi是w-投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意m∈w－Max(R)，(Pi)m是投射模.于是，w－pdRM≤n當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意m∈w－Max(R)，pdRmMm≤n.

(2)直接由(1)可得結(jié)論.證畢.

顯然，w－fPD(R)＝sup{w－pdR(M)｜M∈f－Mod(R)}＝sup{pdRm(Mm)｜m∈w－Max(R)，M∈f－Mod(R)}.

3 某些環(huán)上w-弱finitistic維數(shù)的應(yīng)用

由文獻(xiàn)[10]，R-模M是w-凝聚模，是指M是有限型模，且M的每個(gè)有限型模都是有限表現(xiàn)型的.環(huán)R是w-凝聚環(huán)，是指R作為R-模是w-凝聚模.

定理3.1設(shè)R是w-凝聚環(huán)，M是有限表現(xiàn)型模，則M有w-投射分解…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是有限型的w-投射模，i＝0，1，….

證明由文獻(xiàn)[10]中Theorem 2.1，存在一個(gè)w-正合列0→K0→P0→M→0，其中P0是有限生成投射模，K0是有限型模.于是，對(duì)任意m∈w－Max(R)，0→(K0)m→(P0)m→Mm→0是正合列，其中(P0)m是自由模，(K0)m是有限生成的.因R是w-凝聚環(huán)，故對(duì)任意m∈w－Max(R)，Rm是凝聚環(huán).因(K0)m是自由模(P0)m的有限生成子模，故(K0)m是有限表現(xiàn)型模.下證K0是有限表現(xiàn)型模.由于K0是有限型模，所以存在一個(gè)w-正合列0→I0→F0→K0→0，其中F0是有限生成自由模，I0是F0的子模.因此，對(duì)任意m∈w－Max(R)，0→(I0)m→(F0)m→(K0)m→0是正合列.因(K0)m是有限表現(xiàn)型模，(F0)m是有限生成自由模，故(I0)m是有限生成模.因Rm是凝聚環(huán)，于是(I0)m是有限表現(xiàn)模.因此，存在一個(gè)正合列(F1)m→(I0)m→0，其中F1是有限生成自由R-模.從而有正合列(F1)m→(F0)m→(K0)m→0，于是F1→F0→K0→0是w-正合列，其中F0，F(xiàn)1都是有限生成自由R-模.因此，K0是有限表現(xiàn)型模.類似地，存在一個(gè)w-正合列0→K1→P1→K0→0，其中P1是有限生成投射模，K1是有限表現(xiàn)型模.因此，有如下正合列0→(K0)m→(P0)m→Mm→0和0→(K1)m→(P1)m→(K0)m→0.從而有正合列0→(K1)m→(P1)m→(P0)m→Mm→0，于是0→K1→P1→P0→M→0是w-正合列.繼續(xù)以上過程，于是存在一個(gè)w-正合列…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是有限生成投射模，從而Pi是有限型的w-投射模，i＝0，1，….證畢.

從定理3.1證明過程中可知存在一個(gè)w-正合列0 →Kn－1→Pn－1→ … →P1→P0→M→0 ，其中P0，…，Pn－1是有限生成投射模，Kn－1是有限表現(xiàn)型模.

定理3.2設(shè)R是w-凝聚環(huán)，M是有限表現(xiàn)型模，則w－fdR(R)＝w－pdR(R).

證明只需證明w－pdR(R)≤w－fdR(R).設(shè)w－fdR(R)＝n.由定理3.1，存在一個(gè)w-正合列0→Kn－1→Pn－1→ … →P1→P0→M→0 ，其中P0，…，Pn－1是有限生成投射模，Kn－1是有限表現(xiàn)型模.由文獻(xiàn)[4]中 Proposition 2.3，Kn－1是w-平坦模 . 由定理2.5，Kn－1是w-投射模 . 于是

w－pdR(R)≤n.從而w－pdR(R)≤w－fdR(R).

證畢.

回顧w-模M是w-Noether模，是指M滿足M的w-子模的升鏈 條件.環(huán)R是w-Noether環(huán)，是指R作為R-模是w-Noether模.眾所周知，w-模M是w-Noether模當(dāng)且僅當(dāng)M的每個(gè)子模都是有限型的.

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，環(huán)R是w-半遺傳環(huán)，是指R的每個(gè)有限型理想都是w-投射理想.注意，若環(huán)R是w-半遺傳環(huán)，則對(duì)任意m∈w－Max(R)，Rm是半遺傳環(huán).實(shí)際上，假設(shè)Im是Rm的有限生成理想，其中I是R的有限生成理想.由文獻(xiàn)[12]中Theorem4.11，I是w-投射理想，從而由文獻(xiàn)[3]中Theorem 2.4，Im是Rm的投射理想.于是Rm是半遺傳環(huán).

推論3.3設(shè)環(huán)R是w-Noether環(huán)，M是有限型的，則w－fdR(R)＝w－pdR(R).

證明 若R是w-Noether環(huán)，則有限型的R-模是有限表現(xiàn)型的.既然w-Noether環(huán)是w-凝聚環(huán)，由定理3.2直接得出結(jié)論.證畢.

定理3.4設(shè)R是w-半遺傳環(huán)，則w－fPD(R)≤1.

證明設(shè)M∈f－Mod(R)，則M是有限表現(xiàn)型的.由文獻(xiàn)[15]，w-半遺傳環(huán)是w-凝聚環(huán).由定理3.1，存在一個(gè)w-正合列0→K→P→M→0，其中P是有限生成投射模，K是有限表現(xiàn)型模.于是，對(duì)任意m∈w－Max(R)，0→Km→Pm→Mm→0是正合列，其中Pm是有限生成自由模，Km是Pm的有限生成子模.因Rm是半遺傳環(huán)， 故Km是投射模.由文獻(xiàn)[3]中Theorem 2.8，K是有限型的w-投射模.因此，w－pdR(M)≤1，從而w－fPD(R)≤1.證畢.

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