方程思想在解題中的運(yùn)用

浙江省杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(311122) 齊亞坤 陳小明

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是根據(jù)問題中的已知量和未知量之間存在的某種等量關(guān)系并通過適當(dāng)設(shè)未知數(shù)而建立起方程(組)，然后通過解方程(組)解決問題的思維方式。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式中的已知結(jié)論列方程(組)。本文整理了方程思想在解題中的應(yīng)用，為研究方便，文中的部分題目在原題的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)更改。

1 根據(jù)題中方程求解

例1：物理中,把單位面積所受到垂直于氣流方向的風(fēng)的壓力稱為風(fēng)壓。已知風(fēng)壓p與風(fēng)速v的平方成正比，某學(xué)生小組為研究風(fēng)速和風(fēng)壓之間的關(guān)系進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，得到了表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。某天下午3時(shí)，鐵路部門用相關(guān)工具紀(jì)錄了某火車經(jīng)過某沙漠區(qū)域時(shí)的平均風(fēng)速為30 m/s，瞬時(shí)最大風(fēng)速為40 m/s。已知該火車的一節(jié)車廂的高度為h=3 m，長(zhǎng)度L=25 m，寬度d=1.5 m，試計(jì)算一節(jié)車廂側(cè)面受到風(fēng)對(duì)它的最大水平推力。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

解析：根據(jù)題中條件“風(fēng)壓p與風(fēng)速v的平方成正比”，有p=kv2，其中k是常數(shù)，再由表格中信息“風(fēng)速4 m/s時(shí)風(fēng)壓為10 N/m2”，代入公式得到：

10 N/m2=k(4 m/s)2

(1)

最大水平推力F=pS=kvmax2hL，代入題中數(shù)據(jù)得到：

F=k(40 m/s)2×25 m×3 m

(2)

由(1)和(2)得到：

F=75 000 N

2 根據(jù)電壓相等列方程

例2：如圖1所示電路，電源電壓恒定，移動(dòng)滑片P的過程中，電流表示數(shù)變化范圍是1.0～1.5 A，電壓表對(duì)應(yīng)的示數(shù)變化范圍是2～5 V，求：(1)定制電阻R1的阻值；(2)電源電壓。

圖1 實(shí)驗(yàn)電路圖

解析：根據(jù)題意，當(dāng)電壓表讀數(shù)是U1=2 V時(shí)，電流表的讀數(shù)是I1=1.5 A，則電源電壓U電源=I1R1+U1，代入數(shù)據(jù)得：

U電源=1.5 A×R1+2 V

(3)

當(dāng)電壓表讀數(shù)是U2=5 V時(shí)，電流表的讀數(shù)是I2=1.0A，則電源電壓U電源=I2R1+U2，代入數(shù)據(jù)得：

U電源=1.0 A×R1+ 5 V

(4)

由(3)和(4)得到：

U電源=11 V

R1=6 Ω

3 根據(jù)平衡列方程

3.1 受力平衡(勻速直線運(yùn)動(dòng))

例3：乘坐熱氣球是目前較流行的一項(xiàng)活動(dòng)。某同學(xué)某次乘坐熱氣球的時(shí)候，如果熱氣球在某個(gè)區(qū)域內(nèi)以某一速度勻速下降，下降到一定高度后，操作員拋棄熱氣球上質(zhì)量為30 kg的重物后，經(jīng)過一段時(shí)間，熱氣球勻速上升，則熱氣球在勻速上升時(shí)所受阻力的大小是多少？(假設(shè)熱氣球在該區(qū)域受到空氣對(duì)它的浮力不變，所受空氣阻力僅與速度的大小有關(guān)，且上升和下降的速度不變，g取10 N/kg)

解析：熱氣球勻速上升時(shí)，受力分析如圖2所示，得到：

F=G′+f

(5)

熱氣球勻速下降時(shí)，受力分析如圖3所示，得到：

F+f=G

(6)

圖2 熱氣球勻速上升 時(shí)受力分析圖

圖3 熱氣球勻速下降時(shí)受力分析圖

由題意可知：

G-G′=300 N

則由(5)和(6)得到：

f=150 N

3.2 受力平衡(靜止?fàn)顟B(tài))

例4：有一支粗細(xì)均勻、底部是平面的試管，某同學(xué)往試管里放入適量的金屬塊時(shí)，試管能豎直浮在水中，且靜止后試管露出水面的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的2/5；再把這個(gè)試管放入某液體中時(shí)，玻璃管也能豎直漂浮，靜止后試管露出液面的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的1/4。問這種液體的密度。

圖4 試管漂浮

解析：玻璃管在水和油中均處于漂浮狀態(tài)，則F浮=G管。根據(jù)題意設(shè)玻璃管的總長(zhǎng)度為h，橫截面積為S，水的密度為ρ水，未知液體的密度為ρ液。

當(dāng)玻璃管漂浮在水里時(shí)有：

F浮=G管

ρ水g(1-2/5)Sh=G

(7)

當(dāng)玻璃管漂浮在油里時(shí)有

ρ液g(1-1/4)Sh=G管

(8)

由(7)和(8)得：

ρ液=0.8×103kg/m3

3.3 杠桿平衡

例5：在某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小明為了測(cè)出一鐵塊的質(zhì)量，他把輕質(zhì)杠桿AB中的O點(diǎn)作為支點(diǎn)(OA>OB)。當(dāng)他把鐵塊用細(xì)線掛在B端時(shí)，A端需要掛400 g的鉤碼才能使杠桿保持平衡；當(dāng)他把鐵塊掛在A端時(shí)，B端需要掛900 g的鉤碼才能使杠桿保持平衡。求這一鐵塊的質(zhì)量(g取10 N/kg)。

解析：根據(jù)杠桿平衡條件，當(dāng)鐵塊用細(xì)線掛在B端時(shí),杠桿平衡則：

G鐵LOB=G碼LOA

(9)

當(dāng)鐵塊用細(xì)線掛在A端時(shí),杠桿平衡則：

(10)

由(9)和(10)得到：

代入數(shù)據(jù)得到：

m鐵=600 g

4 根據(jù)化學(xué)方程式列方程

例6：已知NaHCO3和KHCO3都能與稀酸(如稀硫酸)反應(yīng)生成CO2，現(xiàn)將45 g NaHCO3(其中含部分KHCO3)固體粉末加入足量的稀硫酸中，完全反應(yīng)后氣體全部逸出，固體粉末的質(zhì)量與產(chǎn)生CO2體積的關(guān)系如圖5所示。該狀況下，CO2的密度為2 g/L，求固體混合物中NaHCO3的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

圖5 V-m關(guān)系圖

解析：由題意知道完全反應(yīng)后放出CO2的質(zhì)量為:11 L×2 g/L=22 g。

設(shè)混合物中NaHCO3質(zhì)量為X克，且反應(yīng)產(chǎn)生m克CO2；KHCO3的質(zhì)量為Y克，且反應(yīng)產(chǎn)生n克CO2。

Xgmg

2×84 2×44

得出：m=44X/84

Ygng

2×100 2×44

得出：n=44Y/100

由題意可得到：

X+Y=45

(11)

44Y/100+44X/84=22

(12)

由(11)和(12)解得：

X=26.25

則固體混合物中碳酸氫鈉的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為：

26.25÷45×100%=28.33%

5 根據(jù)公式列方程

5.1 溶解度公式

例7：常溫下，桌面上有兩份等質(zhì)量的A物質(zhì)的水溶液，將第一份溶液蒸發(fā)40 g水，并恢復(fù)到原溫度后，溶液正好飽和；將第二份中在此溫度下加入9 gA物質(zhì)，充分?jǐn)嚢韬笕杂? g固體溶解不了，則A物質(zhì)在該溫度下的溶解度是( )。

A.40 g B.20 g

C.8 g D.無(wú)法確定

解析：由題意知：在該溫度下，當(dāng)40 g水中溶解8 gA物質(zhì)時(shí)形成的溶液就是飽和溶液，則設(shè)A物質(zhì)在該溫度下的溶解度為S，則：

S/100 g=8 g/40 g

得出：S=20 g

5.2 溶液稀釋公式

例8：現(xiàn)有一份630 g的稀硫酸，它的溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為28%，密度為1.2 g/cm3。若要在實(shí)驗(yàn)室用溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為98%來(lái)配置，則需要98%的濃硫酸多少克？

解析：在溶液稀釋的過程中溶質(zhì)的質(zhì)量不會(huì)發(fā)生改變，設(shè)需要98%的濃硫酸m克，則：

mg×98%=630 g×1.2 g/m3×28%

解得：m=216

5.3 元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)公式

例9：王伯伯買來(lái)一批硝酸銨(NH4NO3)化肥，化肥袋子上標(biāo)有總含氮量為33%(除硝酸銨外其他雜質(zhì)不含氮元素)，已知化肥中硝酸銨含量大于94%的為優(yōu)質(zhì)化肥，請(qǐng)你幫王伯伯判斷下他購(gòu)買的化肥是否屬于優(yōu)質(zhì)化肥。

解析：混合物中某元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為：元素在化合物中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)×化合物在混合物中的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，設(shè)化肥中硝酸銨的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為W，則：

W×(14×2)÷(14×2+4+16×3)×100%=33%

解得：W=94.3%

所以，王伯伯買的是優(yōu)質(zhì)化肥。

6 根據(jù)題中條件列方程

例10：如圖6所示電路中，電源電壓恒定不變，已知燈泡L的電阻為RL=8 Ω，正常發(fā)光時(shí)燈泡兩端電壓為4 V，燈的電阻不隨溫度的變化而變化。當(dāng)開關(guān)S斷開時(shí)，燈泡正常發(fā)光，電流表示數(shù)為0.5 A，電壓表V1與V2的示數(shù)之比為6∶7；當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，電流表示數(shù)改變了0.4 A。求：

圖6 電路圖

(1)電源電壓。

(2)電阻R1的值(要求畫出等效電路圖)

解析：根據(jù)題意，畫出等效電路圖。當(dāng)S斷開時(shí)，等效電路如圖7所示。

圖7 開關(guān)斷開時(shí)等效電路圖

(13)

U2=I1(R1+RL)

(14)

U源=I1(R1+R2+RL)

(15)

根據(jù)(13)～(15)，由電壓表V1與V2的示數(shù)之比為6∶7可以得到：

6R1-7R2=8

(16)

當(dāng)S閉合時(shí)，等效電路如圖8所示。

I2=0.5 A+0.4 A=0.9 A

U源=I2(R1+R2)

因?yàn)閁源不變，則

R1+R2=10

(17)

圖8 開關(guān)閉合時(shí)等效電路圖

由(16)和(17)得到：

R1=6 Ω

R2=4 Ω

U源=9V

7 結(jié)語(yǔ)

把方程思想應(yīng)用到解題教學(xué)中，一些學(xué)生較難理解的問題可以得到很好的解決。當(dāng)然除了文中總結(jié)出的幾種題型外，方程思想還可以應(yīng)用到初中教學(xué)中的其他地方。同時(shí)除了方程思想外，數(shù)學(xué)里的很多解題方法都可以和習(xí)題解題進(jìn)行很好的融合，充分體現(xiàn)新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)的各學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)融合和滲透的精神。