指數(shù)保費(fèi)原理下似然比方法的信度估計(jì)

靳艷樹(shù) 吳黎軍

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830046）

1 引言

信度理論是一種經(jīng)驗(yàn)估費(fèi)模型，是非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，其保費(fèi)定價(jià)的基本方法是根據(jù)投保人或保單組合的歷史索賠經(jīng)歷來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)。信度的概念最早起源于Mowbray[1]和Whitney[2]，并且提出了計(jì)算保費(fèi)的公式：

上述的保費(fèi)是假設(shè)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布族并且已知先驗(yàn)信息。如果在實(shí)際運(yùn)用中不能滿(mǎn)足上述條件，那么上式將不再適用。因此，1938年Buhlmann[3]提出了一種無(wú)分布的信度模型。他將樣本的過(guò)去索賠數(shù)據(jù)限定在線(xiàn)性函數(shù)類(lèi)中，在Bayes[4]框架下利用最小二乘法得到了信度保費(fèi)的估計(jì)為：其中，Z為信度因子，是整體均值為樣本均值，從而建立了無(wú)分布的信度理論，為信度理論的發(fā)展奠定了統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。該模型被稱(chēng)為經(jīng)典信度理論，20世紀(jì)60年代以來(lái)在精算領(lǐng)域被廣泛關(guān)注。有關(guān)信度理論的詳細(xì)介紹可以參考文獻(xiàn)[4]。

但是，在大部分的經(jīng)典信度理論中，因?yàn)槲覀円话闶怯闷椒綋p失函數(shù)來(lái)刻畫(huà)保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)之間的相關(guān)程度，然而在平方損失函數(shù)下得到的保費(fèi)是凈保費(fèi)，不具有正的安全負(fù)荷性。在破產(chǎn)理論中我們已經(jīng)證明，若保險(xiǎn)公司僅收取純保費(fèi)，則最終會(huì)導(dǎo)致破產(chǎn)。相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)Asmussen[5]。因此保險(xiǎn)公司為了避免破產(chǎn)，就需要選擇合適的保費(fèi)原理來(lái)制定保費(fèi)。很多學(xué)者將經(jīng)典的信度理論中的平方損失函數(shù)修改為其他損失函數(shù)。例如Esscher將平方損失函數(shù)指數(shù)加權(quán)損失函數(shù)，從而得到了Esscher保費(fèi)原理下的保費(fèi)估計(jì)。隨后，Heilmann[6]給出了在廣義加權(quán)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)，Gomez-Deuiz[7]則建立了在平衡損失函數(shù)下的信度計(jì)，Weng等[8]則在指數(shù)損失函數(shù)下得到了相應(yīng)的指數(shù)保費(fèi)原理下的保費(fèi)估計(jì)，PayandehNajfabad[9]得出了在熵?fù)p失函數(shù)下的信度模型，從而得出了最大熵原理下的信度保費(fèi)，而趙珍[10]利用最大熵方法得出了在最大熵方法下的信度形式，胡瑩瑩[11]則在此基礎(chǔ)之上得出了相對(duì)熵下的信度表達(dá)。

盡管通過(guò)修改損失函數(shù)可以得到不同的保費(fèi)原理，但是上述保費(fèi)原理下的信度估計(jì)中均涉及到復(fù)雜的參數(shù)，往往在實(shí)際操作中參數(shù)估計(jì)很難實(shí)現(xiàn)，而指數(shù)保費(fèi)原理因有著簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式和許多良好的保費(fèi)原理性質(zhì)從而在實(shí)際保險(xiǎn)中得到廣泛運(yùn)用。指數(shù)函數(shù)，如(2)式所示:

另一方面，保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)的時(shí)候，往往希望下一年的保費(fèi)與某個(gè)目標(biāo)保費(fèi)相差較小。此時(shí)利用經(jīng)典的信度模型來(lái)制定保費(fèi)，若前n年中存在著大額索賠則會(huì)使得下一年的保費(fèi)比今年的保費(fèi)增長(zhǎng)很多，以至于投保人無(wú)法接受。因此，我們選取平衡損失函數(shù)來(lái)對(duì)這種差別進(jìn)行懲罰。如此，既可以反應(yīng)擬合優(yōu)度，又可以反應(yīng)目標(biāo)保費(fèi)。

設(shè)第i種風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)保費(fèi)為δ0(X),δ0(X)可能是上一年的保費(fèi)或保險(xiǎn)公司的認(rèn)可的某個(gè)保費(fèi)，也可能和前n年的索賠數(shù)據(jù)有關(guān)或是常數(shù)。下面我們給出平衡損失函數(shù)的定義為：

其中，R是給定的權(quán)重，并且R∈[0,1]反應(yīng)目標(biāo)保費(fèi)和擬合優(yōu)度重要性的不同。(3)給出的平衡損失函數(shù)與實(shí)際較為符合，且包含了平方損失函數(shù)(R=0)。這類(lèi)損失函數(shù)在近些年來(lái)得到了廣泛的研究。文章在已有的研究基礎(chǔ)上，在指數(shù)保費(fèi)原理下利用似然比方法得出了相應(yīng)信度保費(fèi)估計(jì)，從而推廣了經(jīng)典的信度理論。

2 指數(shù)保費(fèi)原理

定義2.1：若取損失函數(shù)(1)式，則指數(shù)保費(fèi)P為：

記H為保費(fèi)，以下是指數(shù)保費(fèi)原理的一些性質(zhì)，具體內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[6]。

性質(zhì)1(正安全負(fù)荷性)：對(duì)任意的X和a＞ 0，有H(X)＞E(X).

性質(zhì)2(平移不變性)：對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X及常數(shù)c＞0，有

性質(zhì)3(獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)可加性)：對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X和Y，且X,Y相互獨(dú)立，有

性質(zhì)4(次可加性)：對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X,Y,則有H(X+Y)≤H(X)+H(Y).

基本假設(shè)與符號(hào)設(shè)定：

在經(jīng)典的信度理論中,我們一般假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ,X1,…,Xn為前n年的歷史索賠額,假定Θ為隨機(jī)變量。模型基本假設(shè)如下：

假設(shè)3.1：在Θ給定時(shí)，X1,…,Xn之間獨(dú)立同分布且

假設(shè)3.2：

定義3.1：設(shè)X為隨機(jī)變量，在給定樣本觀(guān)測(cè)值X1,X2,…,Xn的情況下，X的概率分布為P(X=Xi)=Pi.記R為似然比

定義3.2：假設(shè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn，相應(yīng)的概率分別為:p1,p2,…,pn,滿(mǎn)足的約束條件是g1(?),g2(?),…,gm(?),并且

則滿(mǎn)足以上條件的拉格朗日方程是：

事實(shí)上，通過(guò)最大化拉格朗日方程L可以求出p1,p2,…,pn.

由定義可看出，統(tǒng)計(jì)矩約束數(shù)目越多，說(shuō)明已知信息越繁多，所解決問(wèn)題的不確定程度就會(huì)越小。因此，我們根據(jù)似然比方法求得的概率分布，將是在服從統(tǒng)計(jì)矩約束條件下，使得似然比函數(shù)到達(dá)最大的一種概率分布。

3 指數(shù)保費(fèi)原理下似然比方法的信度估計(jì)

在指數(shù)保費(fèi)原理下，運(yùn)用似然比方法可得到下面的信度保費(fèi)。

定理4.1：假設(shè)保單組合同前n年的索賠數(shù)據(jù)是X1,X2,…,Xn，并且E(eaXi)=μ則未來(lái)索賠X_{n+1}的最佳線(xiàn)性非齊次估計(jì)為：

從而未來(lái)索賠Xn+1在指數(shù)保費(fèi)原理下的最佳線(xiàn)性非齊次估計(jì)為：

滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

(i)期望損失達(dá)到最小;

(ii)似然比函數(shù)最大.

則在指數(shù)保費(fèi)原理下最終的信度保費(fèi)估計(jì)形式為：

證明：我們首先解決下面最優(yōu)化問(wèn)題：

值得注意的是,給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)θ,假設(shè)Xi(i=1,…,n)獨(dú)立同分布。則在平方損失函數(shù)下,Bayes可以表示成線(xiàn)性信度公式的形式。Payandeh(2012)［12］將這種情況做了推廣:當(dāng)索賠服從對(duì)數(shù)凸分布時(shí),運(yùn)用最大熵的方法也可以把Bayes保費(fèi)表示成線(xiàn)性信度公式的形式。

文章與 Payandeh(2012)［13］的不同之處在于:一方面,Payandeh是在凈保費(fèi)原理下得到的,而凈保費(fèi)不具有正的安全負(fù)荷性。文章是在指數(shù)保費(fèi)原理下得到的信度估計(jì)次。因此，符合實(shí)際情況。Payandeh假設(shè)索賠Xi(i=1,…,n)服從對(duì)數(shù)凸分布,從而得出Bayes保費(fèi)的線(xiàn)性表達(dá)形式,而文章在只假設(shè)索賠具有相同的期望,在經(jīng)典信度理論的基礎(chǔ)上結(jié)合似然比方法得出最優(yōu)保費(fèi)X?n+1的線(xiàn)性信度表達(dá)形式。

另一方面，經(jīng)典的信度理論是在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)θ,索賠Xi(i=1,…,n)之間獨(dú)立同分布的條件下運(yùn)用最小化期望損失的方法得到的，并且得到的權(quán)重系數(shù)是相等的。如果在Xi(i=1,…,n)具有相同期望的分布假設(shè)下,運(yùn)用最小化期望損失函數(shù)的方法是計(jì)算不出權(quán)重系數(shù)αi(i=1,…,n)的。因此，文章運(yùn)用最大化熵的方法對(duì)其進(jìn)行了二次優(yōu)化,從而求出權(quán)重系數(shù)αi(i=1,…,n)。

推論2：

齊次遞歸保費(fèi)的最終保費(fèi)形式為

由引理1可知在指數(shù)保費(fèi)原理下的最終保費(fèi)估計(jì)為

證明：

故推論2得證。

又α+β=1且α＞0，β＞0.從而0＜β＜1。

此推論表明年份較近的索賠比年份較遠(yuǎn)的索賠賦予更大的權(quán)重在實(shí)際運(yùn)用中合理。

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