基于MPC的重型液罐車側(cè)向穩(wěn)定性控制仿真

于志新, 程新新, 李 杰, 李紹松

(1.長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012;2長春工業(yè)大學(xué) 汽車工程研究院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

我國公路運(yùn)輸線四通八達(dá)，各種油品、危化品主要依靠半掛液罐車運(yùn)輸，液罐車具有裝載量大、運(yùn)輸成本低的特點(diǎn)，逐漸成為公路運(yùn)輸?shù)闹黧w。因其具有載量大、重心高、輪距相對(duì)較小等特點(diǎn)，并且在轉(zhuǎn)向或變道過程中罐內(nèi)液體易受激勵(lì)產(chǎn)生晃動(dòng)，與車體的耦合運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致車輛發(fā)生側(cè)傾失穩(wěn)，這在道路運(yùn)輸是極其危險(xiǎn)的狀況。國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)罐車側(cè)傾問題在罐內(nèi)液體晃動(dòng)分析和罐內(nèi)結(jié)構(gòu)優(yōu)化上做了大量研究[1-6]，但液體的晃動(dòng)對(duì)整車的側(cè)向穩(wěn)定性分析相對(duì)較少。因此，通過對(duì)罐車實(shí)施主動(dòng)安全控制，提高液罐車的穩(wěn)定性是一種更適用和高效的方法[7-11]。

1 液體晃動(dòng)分析

以某專用汽車制造廠生產(chǎn)的44 m3半掛液罐車為分析對(duì)象，考慮到罐體長度相對(duì)較長,忽略罐車兩端封頭以及內(nèi)部附加結(jié)構(gòu)影響，并且罐車在平直路面上轉(zhuǎn)彎或避障時(shí)，罐體內(nèi)的軸向運(yùn)動(dòng)視為不變，因此選取單位長度上罐體進(jìn)行建模分析，并作如下假設(shè)：

1)液體為理想不可壓縮的；

2)不考慮罐內(nèi)氣體的影響；

3)不考慮罐體的變形。

罐內(nèi)液體坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 罐內(nèi)液體坐標(biāo)系

圖中：x----車輛行駛方向;

y----駕駛員左側(cè);

z----豎直向上;

Ω----流體域;

Σ----罐體濕表面;

S----自由面液度;

h0----液面到x軸距離;

θ0----自由液面和罐體交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線同z負(fù)半軸的夾角。

液體在罐內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程滿足以下三個(gè)條件：

1)在Ω內(nèi)連續(xù)；

2)在Σ內(nèi)不可滲透；

3)在S上滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件。

得到以下方程：

(1)

流體勢(shì)函數(shù)分解為液體隨罐體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的剛性分量φu(r,θ,t)以及液體晃動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)壓力分量φs(r,θ,t)兩個(gè)子函數(shù)和的形式[12]：

φ=φs(r,θ,t)+φu(r,θ,t)

(2)

其中,φu(r,θ,t)和φs(r,θ,t)都滿足式(1)，可以得到

液體自由晃動(dòng)時(shí)，令

φ=iσΦ(r,θ)eiσt

η=H(r,θ)eiσt

則式(1)可化為：

(3)

式中:Φ----晃動(dòng)模態(tài)函數(shù);

H----波高模態(tài)函數(shù)；

ω----液體自由晃動(dòng)特征頻率。

運(yùn)用Galerkin法求出上式中的ω和Φ。

當(dāng)罐體中的液體被動(dòng)晃動(dòng)時(shí)，自由晃動(dòng)模型同樣適用于受迫晃動(dòng)。

令φ、η為自由晃動(dòng)特征模態(tài)Φ、H的線性組合，即：

(4)

式中:qi(t)----廣義坐標(biāo)。

將式(4)代入式(1)中，并消去η得

(5)

對(duì)上式同乘ρHi，然后在S上作積分，便可得到以下的積分形式：

(6)

其中

液體晃動(dòng)時(shí)，前面已假設(shè)液體為理想的不可壓縮的流體，忽略了液體之間的相互作用力。但實(shí)際上液體之間還有一定的阻尼作用，且無法忽略，于是為簡(jiǎn)化計(jì)算，可在方程中加入比例阻尼項(xiàng)，即：

C=?0M+?1K

(7)

其中,?0，?1為常數(shù)。式(6)變?yōu)?/p>

(8)

滿足精度要求的條件下，截取式(8)一定階數(shù)的近似計(jì)算。求解qi(t),即可得到

(9)

2 液體側(cè)向晃動(dòng)力影響分析

2.1 側(cè)向晃動(dòng)受力分析

液體之間存在流體力和流體勢(shì)，根據(jù)兩者之間函數(shù)關(guān)系可解出與液體對(duì)罐車內(nèi)壁上的力。流體壓強(qiáng)為:

式中：z′----自由液面到所求點(diǎn)的垂直距離。

對(duì)單位長度上的靜、動(dòng)壓力在罐體長度上積分得到罐體的慣性力Fu、動(dòng)壓力Fs:

(10)

則作用在罐體上的側(cè)向合力為：

(11)

其中

Gi=ρ21-iR1-iZiL

2.2 充液比對(duì)液體晃動(dòng)的影響

液罐車罐內(nèi)液體與罐體參數(shù)如下：

1)液體密度:ρ=580 kg/m3;

2)罐體半徑：R=1.5 m;

3)罐體長度:L=12 m。

充液比λ為液體高度與罐體半徑的比，截取式(8)的前四階，計(jì)算出在不同充液比下罐體受液體慣性作用力Fu、液體晃動(dòng)作用力Fs以及兩者的合力Fh。側(cè)向受力隨充液比的變化如圖2所示。

圖2 側(cè)向受力隨充液比的變化圖

由圖2可知，在λ∈[0,1]內(nèi)，充液比與慣性力之間呈線性關(guān)系，逐漸升高。慣性力在λ=1時(shí)達(dá)到最大值；在圖中晃動(dòng)力如同慣性力一樣呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)；而二者的合力在充液比小時(shí)與晃動(dòng)力表現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì)，并在充液比λ=1.5時(shí)，因慣性力作用越來越明顯，合力反而表現(xiàn)出不減反增的趨勢(shì)，但未超過晃動(dòng)最為劇烈時(shí)的最大值。

2.3 側(cè)向加速度對(duì)液體晃動(dòng)的影響

液罐車側(cè)向受力不僅受充液比的影響，而且還受側(cè)向加速度的影響。在此選取充液比λ=1，以埃爾森特羅EI地震波為激勵(lì)，計(jì)算液罐車受到的慣性力矩、晃動(dòng)力矩和合力矩。側(cè)向加速度激勵(lì)如圖3所示。

圖3 側(cè)向加速度激勵(lì)圖

液罐車所受到的慣性力矩、晃動(dòng)力矩和合力矩如圖4所示。

從圖4中可知,在λ=1條件下，慣性力矩與晃動(dòng)力矩的幅值相同時(shí)，罐體受到劇烈的晃動(dòng)，此時(shí)罐體極易表現(xiàn)出側(cè)向不穩(wěn)定，有側(cè)翻的危險(xiǎn)。

(a) 慣性力矩

(b) 晃動(dòng)力矩

(c) 合力矩

但由于慣性力矩和晃動(dòng)力矩的相位不同，即兩者之間的相互作用并不是代數(shù)相加，它在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中與很多因素相關(guān)。因此,在實(shí)際的運(yùn)動(dòng)過程中應(yīng)盡量避免在此類工況下行駛。

3 液體晃動(dòng)對(duì)車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

由于液罐車質(zhì)量和體積較大，若進(jìn)行實(shí)車實(shí)驗(yàn)危險(xiǎn)過大。在此應(yīng)用仿真方法分析液體晃動(dòng)對(duì)液罐車穩(wěn)定性的影響。對(duì)比相同的工況下，罐內(nèi)等質(zhì)量的固體與液體的運(yùn)動(dòng)分別對(duì)液罐車穩(wěn)定性的影響。液體晃動(dòng)對(duì)罐車穩(wěn)定性影響流程如圖5所示。

圖5 液體晃動(dòng)對(duì)罐車穩(wěn)定性影響流程圖

仿真液罐車的幾個(gè)重要參數(shù)：

1)充液比λ=1；

2)車速v=40 km/h；

3)角階躍輸入方向盤轉(zhuǎn)角如圖6所示。

圖6 角階躍輸入方向盤轉(zhuǎn)角

分別對(duì)一定質(zhì)量的液體和等效質(zhì)量的固體進(jìn)行仿真，可得到穩(wěn)定性仿真曲線如圖7所示。

圖7表明，在角階躍輸入下，與等效質(zhì)量的固體相比，液體對(duì)液罐車穩(wěn)定性的影響最大。這是因?yàn)橐后w的晃動(dòng)增加了整體受力的不均勻，使得整車動(dòng)力穩(wěn)定性變差。

(a) 側(cè)傾角

(b) 橫擺角速度

(c) 側(cè)向加速度

4 半掛液罐車動(dòng)力學(xué)模型

考慮整車的側(cè)向、橫擺運(yùn)動(dòng)及側(cè)傾運(yùn)動(dòng),采用三自由度車輛簡(jiǎn)化模型，如圖8所示。

(a) 橫擺

牽引車運(yùn)動(dòng)方程

(12)

(13)

(14)

半掛車運(yùn)動(dòng)方程

(15)

(16)

(17)

兩剛體運(yùn)動(dòng)約束方程

(18)

文中采用線性輪胎模型，則有：

(19)

式中：m1,m2----分別為牽引車、半掛車質(zhì)量;

β1,β2----分別為牽引車、半掛車的質(zhì)心側(cè)偏角;

ψ1,ψ2----分別為牽引車、半掛車的質(zhì)心橫擺角;

m1s,m2s----分別為牽引車和半掛車的簧載質(zhì)量;

Fi----第i輪的側(cè)向力;

F4----半掛車對(duì)牽引車的作用力;

Φ1,Φ2----分別為牽引車、半掛車簧載質(zhì)量側(cè)傾角;

I1xx,I2xx----分別為牽引車、半掛車簧載質(zhì)量側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

I1zz,I2zz----分別為牽引車、半掛車橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

u1,u2----分別為牽引車、半掛車行駛車速;

kr1,kr2----分別為牽引車、半掛車側(cè)傾剛度;

c1,c2----分別為牽引車、半掛車側(cè)傾角阻尼;

k12----第五輪側(cè)傾剛度;

h1c,h2c----分別為牽引車、半掛車質(zhì)心高度;

h1,h2----分別為牽引車、半掛車質(zhì)心到各自側(cè)傾軸線的距離;

Γ----鉸接角;

a,b,c----分別為牽引車重心到前軸、后軸、鉸接點(diǎn)的距離;

d,e----分別為半掛車重心到后軸、前軸的距離。

5 集成模型預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

實(shí)際的期望質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度可以作為模型預(yù)測(cè)控制器的輸入，該控制器的輸出為附加的橫擺力矩和前輪轉(zhuǎn)角。

為了獲得側(cè)向穩(wěn)定性，實(shí)際的橫擺角速度應(yīng)接近期望的橫擺角速度。文中設(shè)計(jì)了三自由度整車模型。整車模型狀態(tài)空間方程如下:

(20)

則有：

實(shí)際中為保證側(cè)向和側(cè)傾的穩(wěn)定性，橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角都應(yīng)當(dāng)被限制在穩(wěn)定閾值內(nèi)。期望的橫擺角速度可通過穩(wěn)定參考模型得到：

(21)

式中：

此外，期望的橫擺角速度應(yīng)受到路面附著系數(shù)的約束：

(22)

穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時(shí)，文中假設(shè)牽引車與掛車期望的橫擺角速度相同，即

ψ1ref=ψ2ref

為了阻止轉(zhuǎn)向過程中整車的側(cè)傾，期望的質(zhì)心側(cè)偏角可選為零，即

β1ref=β2ref=0

整車狀態(tài)空間模型離散化得到如下簡(jiǎn)約模型：

x(k+1)=F(x(k),u(k))

y(k)=Gx(k)

(23)

在k時(shí)刻的車輛狀態(tài)，依據(jù)上述公式可以預(yù)測(cè)接下來Np步的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，表述如下：

x(k+Np)=F(x(k),u(k),u(k+1),…,

u(k+Nu),…,u(k+Np-1))

式中:Nu----控制時(shí)域;

Np----預(yù)測(cè)時(shí)域。

由文獻(xiàn)[13]可知，前輪主動(dòng)轉(zhuǎn)向電機(jī)的控制周期為10～30 ms，沒有ABS的液壓制動(dòng)系統(tǒng)的移動(dòng)周期為20～50 ms，考慮到采樣周期應(yīng)同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件，即文中采用的采樣時(shí)間Ts=20 ms，當(dāng)采樣時(shí)間超過控制時(shí)域，假設(shè)控制輸入到預(yù)測(cè)時(shí)域之間保持不變，即為：

u(k+Nu-1)=u(k+Nu)=

u(k+Nu+1)=

…=

u(k+Np-1)

在k時(shí)刻的最優(yōu)控制序列U(k)和響應(yīng)的預(yù)測(cè)輸出為：

其中,y(k+i|k),i=1,2,…,Np，可由式(23)得出。

考慮到控制的要求為實(shí)際橫擺角速度與期望橫擺角速度相匹配。期望橫擺角速度公式如下：

控制罐車穩(wěn)定性所需要的額外橫擺力矩是由執(zhí)行器(制動(dòng)器的差動(dòng)制動(dòng))而來，為了防止罐車側(cè)翻，該額外橫擺力矩應(yīng)有如下約束：

(24)

此外由于汽車結(jié)構(gòu)的限制，罐車的前輪轉(zhuǎn)向角度也有一定的約束范圍：

δmin≤δ(k)≤δmax

(25)

當(dāng)罐車進(jìn)入彎道或變道時(shí)，其實(shí)際橫擺角速度應(yīng)很快與期望的橫擺角速度匹配，于是使目標(biāo)函數(shù)J1=‖(Y(k+1|k)-R(k+1))‖2值最小。此外,為了使輸入平穩(wěn)順滑，目標(biāo)函數(shù)J2=‖U(k)‖2值也應(yīng)最小。于是聯(lián)立J1，J2就可得到整車控制的目標(biāo)函數(shù)：

J(Y(k),U(k),Nu,Np)=‖Qy(Y(k+1|k)-R(k+1))‖2+‖QuU(k)‖2

(26)

式中：Qy,Qu----權(quán)重矩陣。

為了得到上述目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，就要基于約束條件式(24)、式(25)求解。

當(dāng)?shù)玫阶顑?yōu)控制序列U(k)，選取k時(shí)刻最優(yōu)控制序列中的第一個(gè)值作為k+1時(shí)刻的輸入。然后整個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域向前移動(dòng)一個(gè)間隔，在重復(fù)滾動(dòng)優(yōu)化得到此后的最優(yōu)控制值。模型控制框圖如圖9所示。

圖9 液罐車穩(wěn)定性控制框圖

6 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證控制策略的有效性，選擇極限條件下的魚鉤工況進(jìn)行仿真，在該工況下，液罐車的失穩(wěn)基本表現(xiàn)為側(cè)翻事故。針對(duì)液體晃動(dòng)降低液罐車行駛穩(wěn)定性，以三自由度半掛液罐車為參考模型，采用模型預(yù)測(cè)控制計(jì)算出最優(yōu)的附加橫擺力矩，制定差動(dòng)制動(dòng)的控制方案來分配附加橫擺力矩，經(jīng)仿真分析對(duì)比得出液罐車側(cè)傾角、橫擺角速度、側(cè)向加速度曲線如圖10所示。

(a) 方向盤角輸入

(b) 側(cè)傾角

(c) 橫擺角速度

(d) 側(cè)向加速度

由圖(10)可以看出，未施加控制的半掛液罐車側(cè)傾角會(huì)出現(xiàn)急劇的變化，側(cè)向加速度超過重型車輛的側(cè)翻閾值0.4 g，施加控制的液罐車側(cè)向加速度穩(wěn)定在0.3 g內(nèi)，未施加控制的液罐車比有控制的側(cè)向加速和橫擺角速度跳動(dòng)的幅度范圍更大。在7.5 s時(shí)未施加控制的液罐車側(cè)傾角發(fā)散，此時(shí)車輛已經(jīng)發(fā)生側(cè)翻，而施加控制后液罐車側(cè)傾角收斂，始終在穩(wěn)定閾值內(nèi)。

7 結(jié) 語

1)根據(jù)勢(shì)流理論建立了液罐車罐體內(nèi)液體的運(yùn)動(dòng)方程，分析了液體晃動(dòng)特性和影響因素。在λ=1時(shí)，液體晃動(dòng)最劇烈。

2)為研究液體晃動(dòng)對(duì)液罐車穩(wěn)定性的影響，在角階躍輸入下進(jìn)行裝載固液貨物對(duì)比仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)表明，與裝載固體貨物相比，液罐車的側(cè)傾角和橫擺角出現(xiàn)較大的變化，液體的晃動(dòng)對(duì)整車穩(wěn)定性影響較大。

3)在極限工況下仿真分析結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的模型預(yù)測(cè)控制策略能夠有效地提高車輛行駛穩(wěn)定性。

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