橢圓的光學(xué)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

☉山東省東營市河口區(qū)第一中學(xué) 王皓瑜

人教B版新課標(biāo)教材在數(shù)學(xué)與文化欄目中提及了橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波，經(jīng)過橢圓反射后都集中到橢圓的另一焦點上.重慶師范大學(xué)的李健與童莉老師在《數(shù)學(xué)通報》2012年第10期談及了“橢圓光學(xué)性質(zhì)”的古今三種證明方法及思考，山東萊蕪五中的劉峰老師也在《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2006年第7期介紹了光學(xué)性質(zhì)與竊聽者的故事，作為一名高中學(xué)生讀后很受啟發(fā)，橢圓的光學(xué)性質(zhì)不僅可以按照劉峰老師所述，進(jìn)行相關(guān)建筑的設(shè)計與原理解釋，在實際的圓錐曲線計算中也有很好的功用，很容易把繁雜的數(shù)據(jù)運(yùn)算進(jìn)行簡化，特摘錄一道高考真題，與各位讀者共研.

命題（橢圓的光學(xué)性質(zhì)）：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波，經(jīng)過橢圓反射后都集中到橢圓的另一焦點上.

說明：讀者可參看李健與童莉老師提供的證法，此處提供一種向量證法.

證明：如圖1，設(shè)P（x0，y0），則過P點的切線=1，直線l的法線交x軸于Q，直線l的法向量為

圖1

所以∠F1PQ=∠F2PQ，即過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點.

題目 （2013年山東高考理22）橢圓b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.

（1）求橢圓C的方程；

（2）P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1與PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1與PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值.

標(biāo)準(zhǔn)答案給出的解法：

答案分析：本題考查了圓錐曲線中的標(biāo)準(zhǔn)方程、范圍、定值等問題，是高考的熱點與難點.標(biāo)準(zhǔn)答案呈現(xiàn)的是多數(shù)考生采用的傳統(tǒng)的解題思路，題目能很好地考查考生對解析幾何整體與全面的認(rèn)識，同時本題的第2，3問也在試探性地考查考生對橢圓常見光學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識程度，本題如果活用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，能很好地簡化運(yùn)算，減少答案的書寫長度，節(jié)省寶貴的考試時間.

簡潔解法：（1）同標(biāo)準(zhǔn)答案，+y2=1（.過程略）

（2）方程+y2=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得+2y·y′=0，并設(shè)P（x，y），所

圖2

00以切線斜率k=-，則P（x，y）處00的法線方程y-y=（x-x），令y=0，則m=x，x∈0000（-2，2），所以m∈ （-，）.

說明：①本例中可以理解成入射光線F1P被橢圓反射，反射光線為PF2，PM正好為法線，如圖2，求m的取值范圍轉(zhuǎn)化為求法線橫截距范圍問題；

②采用標(biāo)準(zhǔn)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)的方法獲取切線與法線斜率，順利寫出法線方程，可以大大簡化運(yùn)算.

（3）同標(biāo)準(zhǔn)答案，設(shè)P（x0，y0），所以k=-

說明：①過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，則直線l就是橢圓的切線；

②直線PF1與PF2的斜率分別為k1，k2， 可以沿用求導(dǎo)的方法獲取切線斜率.

解后反思：①本題直接考查橢圓的光學(xué)性質(zhì)：當(dāng)一束光線從橢圓一個焦點出發(fā)，經(jīng)橢圓反射后，射向另一焦點.即橢圓上任一點P處的法線正好是∠F2PF1的角平分線.對考生有一定的引導(dǎo)作用，學(xué)習(xí)橢圓應(yīng)該關(guān)注橢圓常見的幾何性質(zhì)，比如圓與橢圓之間的仿射變換，采用橢圓離心角表達(dá)的橢圓的參數(shù)方程及意義等.

②關(guān)于角平分線及角平分線定理一直在高考命題中出現(xiàn)較少，在人教B版教材模塊5正弦定理部分以例題形式給出，應(yīng)該引起考生的重視，本例在重視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)基礎(chǔ)上，也可以采用橢圓的焦半徑公式求解

圖3

訓(xùn)練題：橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，如圖3，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是（ ）.

A.4a B.2（a-c）

C.2（a+c） D.以上答案均有可能

解析:按小球的運(yùn)行路徑分三種情況：

（1）A-C-A，此時小球經(jīng)過的路程為2（a-c）；

（2）A-B-D-B-A，此時小球經(jīng)過的路程為2（a+c）；

（3）A-P-B-Q-A，此時小球經(jīng)過的路程為4a，故選D.

1.李健，童莉.“橢圓光學(xué)性質(zhì)”的古今三種證明方法及思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（10）.

2.劉峰.橢圓的光學(xué)性質(zhì)與竊聽者的故事［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2006（7）.F