思想滲透：讓數(shù)列問題不再困惑

☉江蘇省儀征中學(xué) 張順軍

數(shù)學(xué)思想的形成需要具有一定的數(shù)學(xué)知識積累，還需要有豐富解題方法的融合.恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)思想方法對解決數(shù)學(xué)問題能起到促進(jìn)和深化的作用，同時，對發(fā)散思維、拓寬解題思路都能起到很好的啟迪作用.本文主要從函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等方面進(jìn)行闡述，以供參考.

一、數(shù)列問題中的函數(shù)思想

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖像是由一系列孤立的點(diǎn)所組成的.將數(shù)列{an}的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和Sn表示成n或an的函數(shù)，既有利于理解和掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，又有利于知識間的綜合運(yùn)用.

例1 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=10，S16=112，則S22的值為______.

解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=an2+bn.

因?yàn)镾10=10，S16=112，

所以Sn=n2-9n，

所以S22=222-9×22=286.

又因?yàn)?0，16，22成等差數(shù)列，

解法三：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以

所以S22=222-9×22=286.

二、數(shù)列問題中的方程思想

數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式緊密地聯(lián)系著五個基本量a1，n，d（q），an，Sn，“知三求二”是一類最基本的題型.

例2 已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，并且a3a7=-12，a4+a6=-4，則其前n項(xiàng)的和Sn=______.

解析：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)知a3+a7=a4+a6，

所以a3a7=-12，a3+a7=-4，

所以a3，a7是方程x2+4x-12=0的兩根.

又d＞0，所以a3=-6，a7=2.

所以S10=-10n+n（n-1）=n2-11n.

點(diǎn)評：本題利用了a3+a7=a4+a6這一性質(zhì)構(gòu)造二次方程巧妙地解出a3=-6，a7=2，再利用方程組求得首項(xiàng)與公差的值，從而使問題得到解決.由此可知，在解數(shù)列問題時往往可借助方程的思想與相關(guān)性質(zhì)an+am=ap+aq或an·am=ap·aq（m+n=p+q）找出解題的捷徑.

三、數(shù)列問題中的分類討論思想

數(shù)列中的很多問題，常常需要利用分類討論思想來解決，例如運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，若公比q的取值未知，則需要對q是否為1進(jìn)行分類討論.當(dāng)題中給出Sn求an時，需要分n=1及n≥2進(jìn)行討論.

點(diǎn)評：本題很容易得錯解，此結(jié)果在a=0和a=1時不成立.當(dāng)a=0或a=1時，從第二項(xiàng)起，{an}是常數(shù)列，不適合用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.通過分類討論可以將復(fù)雜問題簡單化，解題時要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定.

四、數(shù)列問題中的化歸與轉(zhuǎn)化思想

在探究一些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到直接求解則較為困難的問題，需要通過變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個相對來說比較容易解決的問題，通過解決新問題達(dá)到解決原問題的目的.例如，已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式時，往往需要通過化歸，轉(zhuǎn)化為兩類特殊數(shù)列問題來解決.

例4 數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥

（1）求b1，b2，b3，b4的值；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn.

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