橫看成嶺側(cè)成峰 繁簡表里話不同
——導(dǎo)數(shù)問題中確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的兩種原則

☉山東省臨沂第十八中學(xué) 王曉明 毛錦瑞

關(guān)于含參函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的有關(guān)問題，一直是近幾年的高考和各地的高考模擬試題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，如何高效快速地確定出問題中的參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，一直是令高三學(xué)生和教師頭疼的問題.本人在對近幾年的高考題及模擬題進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，給出問題中參數(shù)的兩種分類標(biāo)準(zhǔn)，并通過對比兩種求解方法的效率差異，為考生提供更優(yōu)化、更高效的解題思路.

一、常規(guī)原則

以討論導(dǎo)數(shù)方程f′（x）=0的實(shí)數(shù)根的有無，以及實(shí)數(shù)根相對于定義域的位置為依據(jù).這是老師和同學(xué)們采用最多的處理方法.其缺點(diǎn)是有時(shí)解題過程過于煩瑣，解題效率較低.

現(xiàn)通過下面的例題加以佐證：

例題 討論函數(shù)f（x）=x--alnx（a∈R）在區(qū)間［2，4］上的單調(diào)性.

分析：以導(dǎo)數(shù)方程f（′x）=0是否有實(shí)數(shù)根，以及實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi)為依據(jù)對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

解法一：因?yàn)橛沢（x）=x2-ax+2.

（1）當(dāng)Δ≤0，即a2-8≤0時(shí)，可得-2≤a≤2，此時(shí)g（x）≥0，即不等式f（′x）≥0在區(qū)間［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)Δ＞0，即a2-8＞0時(shí)，可得a＜-2或a＞2，此時(shí)f（′x）=0有實(shí)數(shù)根.

令f′（x）=0，即g（x）=x2-ax+2=0，設(shè)其兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x1＜x2，故有

（x1-4）+（x2-4）=x1+x2-8=a-8. ④

當(dāng)a＜-2時(shí)，由①式＞0且②式＜0可知x1-2＜0，x2-2＜0，即x1＜x2＜2＜4.

故當(dāng)x∈［2，4］時(shí)，g（x）＞0恒成立，即不等式f（′x）＞0在［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調(diào)遞增.

當(dāng)a＞2時(shí)：

（i）當(dāng)2＜a≤3時(shí)，①式≥0且②式＜0可知x1＜x2≤2＜4.所以當(dāng)x∈［2，4］時(shí)，g（x）≥0恒成立，即不等式f（′x）≥0在［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調(diào)遞增.

（ii）當(dāng)3＜a＜時(shí)，由①式＜0，③式＞0，④式＜0，可知x1＜2＜x2＜4.所以當(dāng)x∈［2，x2）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，即（fx）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，4］時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，即（fx）單調(diào)遞增.

（iii）當(dāng)a≥時(shí)，由①式＜0，③式≤0，可知x＜2＜4≤1x2.所以當(dāng)x∈［2，4］時(shí)，g（x）≤0恒成立，即不等式f（′x）≤0在［2，4］上恒成立，即（fx）在［2，4］上單調(diào)遞減.

綜上所述：

當(dāng)a≤3時(shí)，函數(shù)（fx）在區(qū)間［2，4］上單調(diào)遞增；

二、優(yōu)化原則

通過高中教材對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道導(dǎo)數(shù)方程f′（x0）=0的實(shí)根x0并不一定是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，只有其為變號實(shí)根才是極值點(diǎn)，非變號實(shí)根不是極值點(diǎn).我們可以得出以下原理：

①函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)（即函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)性不唯一）；?函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)；?導(dǎo)數(shù)方程f′（x）=0，分離參數(shù)后等價(jià)方程m=g（x）有變號實(shí)根，即若函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋踑，b］，則m∈（a，b），或a＜m＜b.

②函數(shù)f（x）有單調(diào)性（即函數(shù)在給定區(qū)間上具有同一單調(diào)性）；?函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；?導(dǎo)數(shù)方程f′（x）=0，分離參數(shù)后等價(jià)方程m=g（x）無變號實(shí)根，即若函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋踑，b］，則m≤a或m≥b.

下面利用這個(gè)原理重新求解例1.

分析：利用導(dǎo)數(shù)方程f′（x0）=0，分離參數(shù)得到方程a=，求出函數(shù)g（x）的值域，從而確定出參數(shù)a的分類討論標(biāo)準(zhǔn).

由題意可得f′（x）=0，即x2-ax+2=0，可得ax=x2+2，即，下面求取函數(shù)g（x）的值域.因?yàn)間′（x）＞0在區(qū)間［2，4］上恒成立，故函數(shù)g（x）在區(qū)間［2，4］上單調(diào)遞增.

故g（x）=g（2）=3，g（x）=g（4）=，所以函數(shù)g（x）minmax的值域?yàn)?[3，].下面對（fx）在［2，4］上的單調(diào)性進(jìn)行討論即可.

③當(dāng)3＜a＜時(shí)，f′（x）=，令f′（x）=0，即x2-ax+2=0，因?yàn)棣?a2-4＞0，可得上單調(diào)遞增，故可得2＜x2＜4.所以當(dāng)x∈［2，x2）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，4］時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增.

綜上所述：同解法一.

對比以上兩種解法，運(yùn)用常規(guī)原則的解法一雖能解決問題，但求解的過程較為復(fù)雜，分類層次零散繁雜.求解的重點(diǎn)同時(shí)也是難點(diǎn)的是判斷f′（x）的變號實(shí)根是否存在，以及這些實(shí)根與所給定義域的位置關(guān)系，需要理順的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜（常常需要二次整合），可謂入題容易出題難！運(yùn)用優(yōu)化原則的解法二，只需在解題之前通過對f′（x）=0進(jìn)行分離參數(shù)后獲得分離函數(shù)的值域即可獲得參數(shù)確定的分類標(biāo)準(zhǔn)，相較于常規(guī)原則，它在參數(shù)分類整合方面具有“化腐朽為神奇”的優(yōu)勢，使得此類難點(diǎn)題目的求解思路更易尋求，求解過程更為高效.

通過利用上面的兩種原則同解一道題目，讓考生了解此類問題求解的不同視角所帶來的不同效果，也啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)學(xué)會融匯貫通，一題多解，逐步增強(qiáng)自己的解題能力.正所謂：橫看成嶺側(cè)成峰，繁簡表里大不同.

現(xiàn)提供以下試題以供讀者體驗(yàn)求解使用：

例題1討論函數(shù)（fx）=alnx+-2x（a≥0）的單調(diào)性.

答案：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

例題2設(shè)函數(shù)（fx）=alnx+，其中a為常數(shù).

（1）若a=0，求曲線y=（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

答案：（1）略.