☉江蘇省海門中學 鄧 杰
我們知道,數(shù)學解題的關(guān)鍵是善于挖掘已知條件的“內(nèi)涵”,即所謂的隱含條件,并為我所用.在某些解析幾何問題中,雖然表面上已知條件看似與圓無關(guān),但深挖下去,圓便會“浮出水面”,這個“隱圓”,能幫助我們打開解題思路,直達成功彼岸.
例1 已知點A(-1,4),B(5,-4)和直線l:x+y-7=0.設(shè)P(x0,y0)是直線l上的一個點.若以P為頂點的張角∠APB為鈍角,則x0的取值范圍是______.
解析:若AB為圓的直徑,P(P?AB)為圓內(nèi)一點,則張角∠APB為鈍角.于是本題可轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題.本題中的“隱圓”就是點A(-1,4),B(5,-4)為直徑的圓C:(x-2)2+y2=25,因為以P為頂點的張角∠APB為鈍角,所以P(x0,y0)位于圓C內(nèi),于是有(x0-2)2+y02<25,即(x0-2)2+(7-x0)2<25,解得2<x0<7.
所以x0的取值范圍是取值范圍是(2,7).
評注:以P為頂點的張角∠APB為直角時,P在以AB為直徑的圓上;以P為頂點的張角∠APB為銳角時,P在以AB為直徑的圓外.
例2 在平面直角坐標系xOy中,直線ax+by+c=0被圓O:x2+y2=16截得的弦的中點為M,且滿足a+2b-c=0,則|OM|的最大值是______.
解析:求解本題的關(guān)鍵是找到點M的軌跡方程.
由直線l:ax+by+c=0,且滿足a+2b-c=0知,直線l恒過定點P(-1,-2).
又M為圓O:x2+y2=16截得的弦的中點,于是由圓的垂徑定理得OM⊥l,且垂足為M,所以點M的軌跡方程就是以O(shè)P為直徑的圓,當M與P重合時,|OM|的最大值就是這個“隱圓”的直徑OP=.
故|OM|的最大值是.
評注:從本例可以看出,有時“隱圓”會隱藏在題中欲求點的軌跡中,求出了這個圓方程,原問題就迎刃而解了.
例3 若圓(x-a)2+(y+2)2=4上總存在兩個點到原點的距離為1,則實數(shù)a的取值范圍是______.
解析:到原點的距離為1的圖形是以原點為圓心半徑為1的圓,即x2+y2=1,這就是本題的“隱圓”存在兩個點滿足題意,即兩圓有兩個交點.
因為兩圓的圓心距d=,又兩圓相交,故有|r1-r2|<d<r1+r2,即1<3?-<a<
故實數(shù)a的取值范圍是[-,].
評注:從本題對的解答過程中可以看出,本題本質(zhì)上是在考查我們圓與圓的位置關(guān)系,但必須先識破題中的“隱圓”.
例4 若點A(1,0)和點B(4,0)到直線l的距離依次為1和2,則這樣的直線有______條.
解析:如圖1,分別以A,B為圓心,1,2為半徑作圓.依題意知,直線l是圓A的切線,A到l的距離為1,直線l也是圓B的切線,B到l的距離為2,所以直線l是兩圓的公切線,共3條(2條外公切線,1條內(nèi)公切線).
故滿足題意的直線有3條.
評注:本題已知條件中雖然沒有直接出現(xiàn)圓,但由題意并數(shù)形結(jié)合,把原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題.
圖1
例5 (1)在平面直角坐標系xOy中,設(shè)點A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在點P,使得PA=PB,PC=PD,則實數(shù)a的取值范圍是______.
(2)在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點M,使MA=2MO,則圓心C的橫坐標a的取值范圍為______.
解析:(1)設(shè)P(x,y),則整理得(x-5)2+y2=8,即動點P在以(5,0)為圓心,2為半徑的圓上運動.
另一方面,由PC=PD知,動點P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運動,因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y=a+1與圓(x-5)2+y2=8有交點,所以|a+1|≤2.
故實數(shù)a的取值范圍是[-2-1,2-1].
(2)設(shè)C(a,2a-4),則圓方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1.
又設(shè)M(x0,y0),因為MA=2MO,
所以x02+(y0-3)2=4x02+4y02,即x02+(y0+1)2=4.
這說明M既在圓(x-a)2+(y-2a+4)2=1上,又在圓x2+(y+1)2=4上,因而這兩個圓必有交點,即兩圓相交或相切,所以2-1≤≤2+1,解得0≤
評注:公元前3世紀,古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中,曾研究了眾多的平面軌跡問題,其中有如下結(jié)果:到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.如圖2,點A,B為兩定點,動點P滿足|PA|=λ|PB|,則λ=1時,動點P的軌跡為直線;當λ≠1時,動點P的軌跡為圓,后世稱之為阿波羅尼斯圓.這個“隱圓”經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何問題中,值得我們特別關(guān)注.
圖2
例6 已知△ABC的三個頂點A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為⊙H.
(1)若直線l過點C,且被⊙H截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)對于線段BH上的任意一點P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M,N,使得點M是線段PN的中點,求⊙C的半徑r的取值范圍.
解析:(1)線段AB的垂直平分線方程為x=0,線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0,所以外接圓圓心H(0,3),半徑=,⊙H的方程為x2+(y-3)2=10.
設(shè)圓心H到直線l的距離為d,因為直線l被⊙H截得的弦長為2,所以
當直線l垂直于x軸時,顯然符合題意,即x=3為所求;
當直線l不垂直于x軸時,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),
直線l方程為4x-3y-6=0.
綜上,直線l方程為x=3或4x-3y-6=0.
(2)直線BH的方程為3x+y-3=0,設(shè)P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y).
因為點M是點P,N的中點,所以
又M,N都在半徑為r的⊙C上,
因為該關(guān)于x,y的方程組有解,即以(3,2)為圓心r為半徑的圓與以(6-m,4-n)為圓心2r為半徑的圓有公共點,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2.
又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對任意m∈[0,1]成立.
而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域為
又線段BH與圓C無公共點,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2對任意m∈[0,1]成立,即
故⊙C的半徑r的取值范圍為
評注:本題的“隱圓”出現(xiàn)在解題過程中所列出的方程組中,因為兩個方程都是圓的方程,所以方程組有解,就是兩個圓有公共點,于是把圓問題轉(zhuǎn)化為兩個圓的位置關(guān)系問題.
例7 已知⊙O:x2+y2=1和點M(4,2).
(1)過點M向⊙O引切線l,求直線l的方程.
(2)求以點M為圓心,且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程.
(3)設(shè)P為(2)中⊙M上任一點,過點P向⊙O引切線,切點為Q.試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得定值?若存在,請舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由.
解析:(1)設(shè)切線l方程為y-2=k(x-4),易得,所以切線l方程為
(2)圓心到直線y=2x-1的距離為,設(shè)圓的半徑為r,則r2=22+()2=9,所以⊙M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9.
(3)假設(shè)存在這樣的點R(a,b),點P的坐標為(x,y),相應(yīng)的定值為λ,
根據(jù)題意可得λ,即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2).(*)
又點P在圓上,所以(x-4)2+(y-2)2=9,
即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得
8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)].
若系數(shù)對應(yīng)相等,則等式恒成立,
所以可以找到這樣的定點R,使得為定值.如點R的坐標為(2,1)時,比值為;點R的坐標為
評注:本題是一個與阿波羅尼斯圓有關(guān)的探索性問題,具有一定的難度.對于這類含參問題,可首先求出這個含有參數(shù)的“隱圓”方程,再將這個方程看成恒成立的等式,將其轉(zhuǎn)化為方程組問題.解答過程體現(xiàn)了解析幾何問題常用到的等價轉(zhuǎn)化思想和方程思想.J