解析幾何中的“隱圓”問題

☉江蘇省海門中學 鄧 杰

我們知道，數(shù)學解題的關(guān)鍵是善于挖掘已知條件的“內(nèi)涵”，即所謂的隱含條件，并為我所用.在某些解析幾何問題中，雖然表面上已知條件看似與圓無關(guān)，但深挖下去，圓便會“浮出水面”，這個“隱圓”，能幫助我們打開解題思路，直達成功彼岸.

一、當張角為鈍角時

例1 已知點A（-1，4），B（5，-4）和直線l：x+y-7=0.設(shè)P（x0，y0）是直線l上的一個點.若以P為頂點的張角∠APB為鈍角，則x0的取值范圍是______.

解析：若AB為圓的直徑，P（P?AB）為圓內(nèi)一點，則張角∠APB為鈍角.于是本題可轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題.本題中的“隱圓”就是點A（-1，4），B（5，-4）為直徑的圓C：（x-2）2+y2=25，因為以P為頂點的張角∠APB為鈍角，所以P（x0，y0）位于圓C內(nèi)，于是有（x0-2）2+y02＜25，即（x0-2）2+（7-x0）2＜25，解得2＜x0＜7.

所以x0的取值范圍是取值范圍是（2，7）.

評注：以P為頂點的張角∠APB為直角時，P在以AB為直徑的圓上；以P為頂點的張角∠APB為銳角時，P在以AB為直徑的圓外.

二、當題中關(guān)鍵點的軌跡可求時

例2 在平面直角坐標系xOy中，直線ax+by+c=0被圓O：x2+y2=16截得的弦的中點為M，且滿足a+2b-c=0，則|OM|的最大值是______.

解析：求解本題的關(guān)鍵是找到點M的軌跡方程.

由直線l：ax+by+c=0，且滿足a+2b-c=0知，直線l恒過定點P（-1，-2）.

又M為圓O：x2+y2=16截得的弦的中點，于是由圓的垂徑定理得OM⊥l，且垂足為M，所以點M的軌跡方程就是以O(shè)P為直徑的圓，當M與P重合時,|OM|的最大值就是這個“隱圓”的直徑OP=.

故|OM|的最大值是.

評注：從本例可以看出，有時“隱圓”會隱藏在題中欲求點的軌跡中，求出了這個圓方程，原問題就迎刃而解了.

三、當存在兩點到已知點距離都等于某個值時

例3 若圓（x-a）2+（y+2）2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是______.

解析：到原點的距離為1的圖形是以原點為圓心半徑為1的圓，即x2+y2=1，這就是本題的“隱圓”存在兩個點滿足題意，即兩圓有兩個交點.

因為兩圓的圓心距d=，又兩圓相交，故有|r1-r2|＜d＜r1+r2，即1＜3?-＜a＜

故實數(shù)a的取值范圍是［-，］.

評注：從本題對的解答過程中可以看出，本題本質(zhì)上是在考查我們圓與圓的位置關(guān)系，但必須先識破題中的“隱圓”.

四、當兩個定點到某直線的距離分別確定時

例4 若點A（1，0）和點B（4，0）到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有______條.

解析：如圖1，分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓.依題意知，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條（2條外公切線，1條內(nèi)公切線）.

故滿足題意的直線有3條.

評注：本題已知條件中雖然沒有直接出現(xiàn)圓，但由題意并數(shù)形結(jié)合，把原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題.

圖1

五、當動點到兩個定點的距離之比為定值時

例5 （1）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2），若存在點P，使得PA=PB，PC=PD，則實數(shù)a的取值范圍是______.

（2）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為______.

解析：（1）設(shè)P（x，y），則整理得（x-5）2+y2=8，即動點P在以（5，0）為圓心，2為半徑的圓上運動.

另一方面，由PC=PD知，動點P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y=a+1與圓（x-5）2+y2=8有交點，所以|a+1|≤2.

故實數(shù)a的取值范圍是［-2-1，2-1］.

（2）設(shè)C（a，2a-4），則圓方程為（x-a）2+（y-2a+4）2=1.

又設(shè)M（x0，y0），因為MA=2MO，

所以x02+（y0-3）2=4x02+4y02，即x02+（y0+1）2=4.

這說明M既在圓（x-a）2+（y-2a+4）2=1上，又在圓x2+（y+1）2=4上，因而這兩個圓必有交點，即兩圓相交或相切，所以2-1≤≤2+1，解得0≤

評注：公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.如圖2，點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|=λ|PB|，則λ=1時，動點P的軌跡為直線；當λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.這個“隱圓”經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何問題中，值得我們特別關(guān)注.

圖2

六、當含參二元二次方程組有解時

例6 已知△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為⊙H.

（1）若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程；

（2）對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍.

解析：（1）線段AB的垂直平分線方程為x=0，線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0，所以外接圓圓心H（0，3），半徑=，⊙H的方程為x2+（y-3）2=10.

設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被⊙H截得的弦長為2，所以

當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x=3為所求；

當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y-2=k（x-3），

直線l方程為4x-3y-6=0.

綜上，直線l方程為x=3或4x-3y-6=0.

（2）直線BH的方程為3x+y-3=0，設(shè)P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）.

因為點M是點P，N的中點，所以

又M，N都在半徑為r的⊙C上，

因為該關(guān)于x，y的方程組有解，即以（3，2）為圓心r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心2r為半徑的圓有公共點，所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（r+2r）2.

又3m+n-3=0，所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對任意m∈［0，1］成立.

而f（m）=10m2-12m+10在［0，1］上的值域為

又線段BH與圓C無公共點，所以（m-3）2+（3-3m-2）2＞r2對任意m∈［0，1］成立，即

故⊙C的半徑r的取值范圍為

評注：本題的“隱圓”出現(xiàn)在解題過程中所列出的方程組中，因為兩個方程都是圓的方程，所以方程組有解，就是兩個圓有公共點，于是把圓問題轉(zhuǎn)化為兩個圓的位置關(guān)系問題.

七、當題中出現(xiàn)線段之比為未知的定值時

例7 已知⊙O：x2+y2=1和點M（4，2）.

（1）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程.

（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程.

（3）設(shè)P為（2）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）設(shè)切線l方程為y-2=k（x-4），易得，所以切線l方程為

（2）圓心到直線y=2x-1的距離為，設(shè)圓的半徑為r，則r2=22+（）2=9，所以⊙M的方程為（x-4）2+（y-2）2=9.

（3）假設(shè)存在這樣的點R（a，b），點P的坐標為（x，y），相應(yīng)的定值為λ，

根據(jù)題意可得λ，即x2+y2-1=λ2（x2+y2-2ax-2by+a2+b2）.（*）

又點P在圓上，所以（x-4）2+（y-2）2=9，

即x2+y2=8x+4y-11，代入（*）式得

8x+4y-12=λ2［（8-2a）x+（4-2b）y+（a2+b2-11）］.

若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，

所以可以找到這樣的定點R，使得為定值.如點R的坐標為（2，1）時，比值為；點R的坐標為

評注：本題是一個與阿波羅尼斯圓有關(guān)的探索性問題，具有一定的難度.對于這類含參問題，可首先求出這個含有參數(shù)的“隱圓”方程，再將這個方程看成恒成立的等式，將其轉(zhuǎn)化為方程組問題.解答過程體現(xiàn)了解析幾何問題常用到的等價轉(zhuǎn)化思想和方程思想.J