輪軌黏著下計(jì)及齒輪嚙合特性的機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振

王 燕， 劉建新， 李 淼， 李奕璠， 蔡久鳳(. 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 成都 600; . 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 600;. 中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司， 湖南 株洲 400)

齒輪嚙合過程中，由于內(nèi)部嚙合剛度和傳遞誤差的動(dòng)態(tài)變化以及齒側(cè)間隙的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性動(dòng)力學(xué)特性。該特性得到了國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注,并開展了大量的研究[1-6]。而齒輪作為機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件之一，其動(dòng)力學(xué)特性不僅影響著機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)性能，也影響著機(jī)車的動(dòng)力傳輸和走行部的運(yùn)行安全[7]。但是，目前針對計(jì)及齒輪嚙合特性的機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)研究工作仍較為少見。此外，機(jī)車服役過程中，由于輪軌黏著的獨(dú)特性，使得機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的外部激勵(lì)具有一定的特殊性。

基于此，本文建立了輪軌黏著下計(jì)及齒輪嚙合靜傳遞誤差、時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙在內(nèi)的機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型及方程，采用多尺度法進(jìn)行求解，獲得了系統(tǒng)在內(nèi)部齒輪嚙合動(dòng)態(tài)激勵(lì)和外部輪軌黏著力共同作用下的系統(tǒng)主共振的頻率響應(yīng)方程。并開展了實(shí)例研究，分析了系統(tǒng)參數(shù)變化對主共振頻率響應(yīng)曲線的影響，仿真了不同蠕滑率下輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化對機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振響應(yīng)的影響?？蔀檩嗆夝ぶ掠?jì)及齒輪嚙合特性的機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振問題提供參考依據(jù)。

1 機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析模型

機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析模型如圖1所示：其中，符號(hào)Ii、Ri、θi、Ti分別為主動(dòng)(i=1)、被動(dòng)(i=2)齒輪端上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、基圓半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)角位移和施加的力矩；km(t)、cm分別為齒輪嚙合剛度與阻尼；b為齒側(cè)間隙的一半；e(t)為齒輪靜傳遞誤差。

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)圖1所示的動(dòng)力學(xué)分析模型，建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程

km(t)R1f(Δx)=T1，

km(t)R2f(Δx)=-T2

(1)

式中：Δx=R1θ1-R2θ2-e(t)；f(Δx)為齒側(cè)間隙函數(shù)。

整理式(1)后得到

(2)

式中：me=I1I2/(I1R22+I2R12)；fm=I1R2R/(I1R22+I2R12)；F0=I2R1T1/(I1R22+I2R12)；R為車輪滾動(dòng)圓半徑；Fu為輪軌黏著力。

式(2)包含了系統(tǒng)在力矩平衡狀態(tài)下的相對位移Δx0。因此，設(shè)靜平衡位置處的輪軌黏著力為Fu0，并令x=Δx-Δx0，整理式(2)后，得到

(3)

式中：靜平衡位置處的靜態(tài)載荷F1=F0+fmFu0。

1.2 齒輪嚙合的內(nèi)部激勵(lì)

1.2.1 齒輪時(shí)變嚙合剛度

本文采用勢能原理求解齒輪時(shí)變嚙合剛度，因此，先將齒輪時(shí)變嚙合剛度表示為關(guān)于主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ1(單位°)的傅里葉級數(shù)的形式

(4)

式中:k0為平均嚙合剛度；kj為各階諧波項(xiàng)的幅值；φj為相位角；wn=2π/T，T=360/Z1，Z1為主動(dòng)齒輪齒數(shù)。

進(jìn)而通過變換得到km(t)關(guān)于時(shí)間的傅里葉級數(shù)形式

(5)

式中:we=2πZ1n1/60，n1為主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)速,r/min。

1.2.2 齒輪靜傳遞誤差

齒輪靜傳遞誤差e(t)采用余弦函數(shù)表示為[8]

e(t)=e0+ercos(wet+φ)

(6)

式中:e0、er分別為齒輪靜傳遞誤差的常數(shù)項(xiàng)和諧波項(xiàng)的幅值；φ為相位角。

1.2.3 齒側(cè)間隙

選定齒側(cè)間隙的一半b為特征尺寸，將齒側(cè)間隙函數(shù)f(Δx)采用3次多項(xiàng)式表示為

f(Δx)/b=a1(Δx/b)+a3(Δx/b)3

(7)

式中:a1=0.167;a3=0.064。

1.3 輪軌黏著力

采用文獻(xiàn)[9]中簡化的輪軌黏著特性曲線，如圖2所示。

圖2中，um為最大黏著系數(shù)，sm為最大黏著系數(shù)對應(yīng)的蠕滑率；ku為黏著特性曲線在AB段的斜率。OA段時(shí)，黏著系數(shù)處于黏著段；AB段時(shí)，黏著系數(shù)處于滑動(dòng)段。

圖2 簡化的輪軌黏著特性曲線Fig.2 Simplified characteristic curve of wheel-rail adhesion

輪軌黏著系數(shù)u可表示為

(8)

式中:蠕滑率s是與輪對縱向速度v有關(guān)的函數(shù)，用圖1中的符號(hào)可表示為

(9)

參考文獻(xiàn)[10]中的處理方法，將蠕滑率進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，取其一次項(xiàng)后表示為

(10)

式中：w為平衡狀態(tài)下被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；靜平衡位置處的蠕滑率s0=1-v/(wR)。

輪軌黏著力Fu=uQ，其中Q為軸重(單位：N)。輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化值Fu-Fu0可表示為

1) 靜平衡位置處的蠕滑率s0在OA段時(shí)

(11)

2) 靜平衡位置處的蠕滑率s0在AB段時(shí)

(12)

2 方程的無量綱化

將式(11)、式(12)代入式(3)，整理好后得到

(13)

式中：c1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的值如表1所示。其中，c1為輪軌黏著力變化引起的等效阻尼；F2為靜態(tài)載荷的波動(dòng)值；F3為誤差速度項(xiàng)激勵(lì)的系數(shù)。

表1 c1、F2、F3的值Tab.1 The values of c1、F2、F3

令x=by，Δx0=bΔy0(b為特征尺寸)，將式(5)～式(7)代入式(13)，整理后得到無量綱化后的方程為

a3(y+Δy0)3]=f1+f2+f3?sin(?τ+φ)+

f4?2cos(?τ+φ)

(14)

3 系統(tǒng)主共振的頻響方程

cos(?τ+φ-θ)

(15)

令ti=εiτ(i=0,1)，按照多尺度法[11-12]，設(shè)式(15)的近似解為

y=y0(t0,t1)+εy1(t0,t1)

(16)

將式(16)代入式(15)，令等式兩端ε0和ε1的系數(shù)分別相等，得到

(17)

ε1次

(18)

式(17)的解為

(19)

將式(19)代入式(18)，整理可得：

(20)

式中：cc為前面各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。

當(dāng)?≈w1時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生主共振。引入一個(gè)解諧參數(shù)σ=O(1)來表示激勵(lì)頻率?與系統(tǒng)固有頻率w1的接近程度。令?=w1+εσ，消除式(20)中的久期項(xiàng)后得到

(21)

設(shè)A=a(t1)eiβ(t1)/2并代入式(21)，當(dāng)ke2與ke1相比較小時(shí)，分離實(shí)部與虛部，整理后得到

φ-θ)

(22a)

(22b)

式中：γ=σt1-β。

當(dāng)a′=γ′=0時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。由式(22)可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率響應(yīng)方程為

(23)

4 仿真分析

在某型機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，齒輪副的主要計(jì)算參數(shù)為：主動(dòng)齒輪齒數(shù)Z1=32，被動(dòng)齒輪齒數(shù)Z2=75，模數(shù)m=12，壓力角a=22.5°，靜傳遞誤差的常數(shù)項(xiàng)、諧波項(xiàng)分別為e0=0、er=0.108 mm。輪軌黏著特性曲線中，選取um=0.25，sm=0.02，ku=-0.25。

基于勢能原理[13-15]，綜合考慮輪齒彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、赫茲接觸變形、以及輪體變形對應(yīng)的嚙合線上的等效剛度。進(jìn)而獲得齒輪綜合時(shí)變嚙合剛度，并將其展開為傅里葉級數(shù)形式，結(jié)果如圖3所示。其中幅值kj、相位角φj(j=0～4)的值如表2所示。

表2 嚙合剛度各階諧波幅值與相位角Tab.2 Harmonic amplitude and phase angle of mesh stiffness

當(dāng)φ1-φ=π時(shí)，忽略θ的微小變化，仿真得到不同f2、f3、f4、ke1、μ下，系統(tǒng)主共振的頻率響應(yīng)曲線如圖4-圖8所示。

由圖4～圖8可知，隨著無量綱參數(shù)f2的增大，頻響曲線呈現(xiàn)向右平移的趨勢，且幅值有所變化。由此可見，輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化值影響著系統(tǒng)的主共振發(fā)生的頻率和振幅。同時(shí)，系統(tǒng)的非線性特性使得主共振的頻響曲線產(chǎn)生多值情況，且無量綱參數(shù)f3、f4、ke1的減小或μ的增大有利于減小多值區(qū)域的產(chǎn)生。此外，f3、f4、ke1的減小對振幅有一定的抑制作用。所以，誤差速度項(xiàng)激勵(lì)的系數(shù)F3、誤差諧波項(xiàng)的幅值er、一次諧波剛度的比值ke1的減小不僅有利于減小多值區(qū)域的產(chǎn)生，也對振幅有一定的抑制作用。阻尼的增大也有利于減小系統(tǒng)多值區(qū)域的產(chǎn)生。

圖4 不同f2時(shí)的頻響曲線Fig.4 Frequency response curve with different f2

圖5 不同f3時(shí)的頻響曲線Fig.5 Frequency response curve with different f3

圖6 不同f4時(shí)的頻響曲線Fig.6 Frequency response curve with different f4

圖7 不同ke1時(shí)的頻響曲線Fig.7 Frequency response curve with different ke1

圖8 不同μ時(shí)的頻響曲線Fig.8 Frequency response curve with different μ

設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：y(0)=dy(0)/dτ=0。當(dāng)?=w1，不計(jì)齒輪嚙合阻尼cm，靜平衡位置處的蠕滑率s0分別為0.012、0.035，得到考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化時(shí)機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振時(shí)的時(shí)域響應(yīng)、頻譜圖、相平面圖和輪軌黏著系數(shù)的變化曲線分別如圖9、圖11所示。當(dāng)靜平衡位置處的蠕滑率s0分別為0.012、0.035，輪軌黏著力為恒值時(shí)，得到機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振的時(shí)域響應(yīng)、頻譜圖和相平面圖分別如圖10、圖12所示。

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)圖9 s0=0.012，輪軌黏著力變化時(shí)Fig.9 The results when s0=0.012 considerating the change of wheel-rail adhesion force

對比圖9和圖10可知，當(dāng)s0=0.012時(shí)，靜平衡位置處的黏著系數(shù)處于黏著段。在無量綱時(shí)間[2 000～2 500]范圍內(nèi),考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化時(shí)主共振位移的最大值較輪軌黏著力為恒值時(shí)減小了約35.35%。且考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化與否對系統(tǒng)振動(dòng)的頻譜圖和相軌跡具有巨大影響。

對比圖11和圖12可知，當(dāng)s0=0.035時(shí)，靜平衡位置處的黏著系數(shù)處于滑動(dòng)段。在無量綱時(shí)間[2 000～2 500]范圍內(nèi),考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化時(shí)主共振位移的最大值較輪軌黏著力為恒值時(shí)增大了約115.55%。且考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化與否時(shí)，兩者的頻譜圖和相軌跡存在較大差異。

(10a)

(10b)

(10c)圖10 s0=0.012，輪軌黏著力為恒值Fig.10 The results when s0=0.012 and wheel-rail adhesion force is a constant

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)圖11 s0=0.035，輪軌黏著力變化時(shí)Fig.11 The results when s0=0.035 considerating the change of wheel-rail adhesion force

(12a)

(12b)

(12c)圖12 s0=0.035，輪軌黏著力為恒值Fig.12 The results when s0=0.035 and wheel-rail adhesion force is a constant

5 結(jié) 論

本文考慮了機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部齒輪嚙合的靜傳遞誤差、時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙，建立了內(nèi)部齒輪嚙合動(dòng)態(tài)激勵(lì)和外部輪軌黏著力激勵(lì)共同作用下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型及方程，采用解析法和數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，研究了機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振時(shí)的振動(dòng)特性，通過分析得出以下結(jié)論：

(1) 采用解析法—多尺度法進(jìn)行求解，獲得了輪軌黏著下計(jì)及齒輪嚙合特性的機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振時(shí)的頻率響應(yīng)方程，可為系統(tǒng)主共振的頻響特性提供理論依據(jù)。

(2) 通過數(shù)值仿真系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)主共振頻響曲線的影響得知：輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化值會(huì)影響系統(tǒng)主共振產(chǎn)生的頻率和幅值；系統(tǒng)的非線性特性使得主共振的頻響曲線產(chǎn)生多值情況，且誤差速度項(xiàng)激勵(lì)的系數(shù)F3、誤差諧波項(xiàng)的幅值er、一次諧波剛度的比值ke1的減小或阻尼的增大有利于減小多值區(qū)域的產(chǎn)生，同時(shí)，F(xiàn)3、er、ke1的減小對振幅有一定的抑制作用。

(3) 通過數(shù)值仿真不同黏著系數(shù)s0下系統(tǒng)主共振的振動(dòng)響應(yīng)(不計(jì)齒輪嚙合阻尼時(shí))得知：在無量綱時(shí)間[2 000～2 500]范圍內(nèi)，當(dāng)s0=0.012，考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化時(shí)位移的最大值較輪軌黏著力為恒值時(shí)減小了約35.35%；當(dāng)s0=0.035，考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化時(shí)位移的最大值較輪軌黏著力為恒值時(shí)增大了約115.55%；且兩種情況下，考慮輪軌黏著力的動(dòng)態(tài)變化與否對系統(tǒng)振動(dòng)的頻譜圖和相軌跡具有較大影響。

參 考 文 獻(xiàn)

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