具不變主對(duì)角線元矩陣新的特征值包含集

李靜,李耀堂

(云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言

矩陣的特征值定位在許多科學(xué)和工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1-4],是矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用的重要研究?jī)?nèi)容.在文獻(xiàn)[5]中作者通過(guò)考慮矩陣的結(jié)構(gòu),給出了一些特殊矩陣類的特征值包含區(qū)域,特別是對(duì)具不變主對(duì)角線元矩陣,即

給出了如下的Gersgorin圓盤(pán)集ΓR(A)和Brauer卵型集K(A):

其中

此外,作者還給出了具不變主對(duì)角線元矩陣的如下新的特征值包含區(qū)域.

定理 1.1[5]設(shè)則

其中

(A20)ij為矩陣A20的第(i,j)元素.

文獻(xiàn)[6]中給出具不變主對(duì)角線元矩陣非奇異的一個(gè)充分條件,由此得到具不變主對(duì)角線元矩陣的另一個(gè)特征值包含集.

定理1.2[6]設(shè)則

其中

文獻(xiàn)[6]中證明了

對(duì)于矩陣特征值定位問(wèn)題,人們總是希望能用盡可能少的計(jì)算量得到盡可能精確的特征值包含區(qū)域,但目前得到的結(jié)果仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到人們的期望,因此有必要繼續(xù)對(duì)其進(jìn)行探討和研究.本文將繼續(xù)研究文獻(xiàn)[6]中給出的具不變主對(duì)角線元矩陣非奇異的充分條件,期望能由此得到新的特征值定位集.

2 具不變主對(duì)角線元矩陣新的特征值包含集

為下文敘述和證明方便,首先給出一些定義和定理.

定義2.1[7]設(shè)A=[aij]∈Cn×n(n≥2),S是N的非空真子集,為S的補(bǔ)集.若

則稱A為S-嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(簡(jiǎn)稱為S-SDD矩陣).

定理 2.1[7]設(shè)A=[aij]∈Cn×n(n≥2)為S-SDD矩陣,則A是非奇異的.

定理2.2[7]設(shè)A=[aij]∈Cn×n(n≥2),S是N的非空真子集,則

其中

定理2.3[6]設(shè)是N的非空真子集若

其中則A是非奇異的.

定理2.4設(shè)是N的非空真子集,則

其中對(duì)任意的

下面我們比較定理2.3和定理1.1的結(jié)論.

定理2.5設(shè)是N的非空真子集,則

3 Toeplitz矩陣的特征值包含集

在第二節(jié)中得到具不變主對(duì)角線元矩陣新的特征值包含集,而Toeplitz矩陣是一類特殊的具不變主對(duì)角線元矩陣.下面對(duì)Toeplitz矩陣的特征值包含集進(jìn)行討論.為下文敘述方便,先給出一些定義和定理.

定義 3.1[5]設(shè)T=[tij]∈Cn×n(n≥2),如果T具有如下形式:

則稱T為T(mén)oeplitz矩陣.

Toeplitz矩陣類是具不變主對(duì)角線元矩陣類的一個(gè)子類,在諸如信號(hào)處理,微分與積分方程,概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué),馬爾可夫鏈等許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.文獻(xiàn)[5]中給出了Toeplitz矩陣的一個(gè)特征值包含集.

定理 3.1[5]設(shè)T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為T(mén)oeplitz矩陣且tii=t0,?i∈N,則

其中

文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步給出了Toeplitz矩陣的如下特征值包含集.

定理 3.2[8]設(shè)T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為T(mén)oeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N,則

其中

定理 3.3[8]設(shè)T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為T(mén)oeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N.則

其中同定理3.2,

將定理2.4應(yīng)用到Toeplitz矩陣,可以得到如下結(jié)果.

定理 3.4設(shè)T=[tij]∈Cn×n(n≥2)為T(mén)oeplitz矩陣,tii=t0,?i∈N,S是N的非空真子集,

則

其中對(duì)任意的

4 數(shù)值例子

本節(jié)用幾個(gè)數(shù)值例子對(duì)本文所得結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明.

例 4.1考慮下面矩陣(文獻(xiàn)[5]中的A4):

取S={2,4},分別將Gersgorin圓盤(pán)定理,Brauer卵型定理,定理1.1和定理2.4應(yīng)用于矩陣A1,得到A1的特征值包含集ΓR(A1),K(A1),?R(A1)和其包含關(guān)系如圖1所示.圖中星號(hào)表示矩陣A1的特征值,圖形中的區(qū)域從外到內(nèi)依次表示為ΓR(A1),K(A1),?R(A1)和圖1表明,因此更精確的定位了矩陣A1的特征值.

圖1 S(A1)??R(A1)?K(A1)?ΓR(A1)

例 4.2考慮下面矩陣(文獻(xiàn)[5]中的A3)

取S={2,4},分別將定理2.2,定理1.1和定理2.4應(yīng)用于矩陣A2,得到A2的特征值包含集CS(A2),?R(A2)和其關(guān)系如圖2所示.

圖中星號(hào)表示矩陣A2的特征值,圖形中的區(qū)域從外到內(nèi)依次表示為CS(A2),?R(A2)和由圖2知

圖2 S(A2)?CS(A2)

例 4.3考慮例4.1中的矩陣A1(文獻(xiàn) [5]中的A4).取S={2,4},分別將 Gersgorin圓盤(pán)定理,Brauer卵型定理,定理1.1,定理1.2和定理2.4運(yùn)用到矩陣A1,得到A1的特征值包含集其關(guān)系如圖3所示.

圖中星號(hào)表示矩陣A1的特征值,圖形中的區(qū)域從外到內(nèi)依次表示為ΓR(A1),K(A1),圖3表明,因此更精確的定位了矩陣A1的特征值.

圖3 S(A1)?(A1)??R(A1)?K(A1)?ΓR(A1)

例 4.4考慮如下的Toeplitz矩陣(文獻(xiàn)[5]中的Q)

取S={1,4},分別將Gersgorin圓盤(pán)定理,Brauer卵型定理,定理3.1和定理3.4運(yùn)用到特矩陣T上,得到T的征值包含集ΓR(T),K(T),?(T)和S(T),其關(guān)系如圖4所示.

圖中星號(hào)表示矩陣T的特征值,圖形中的區(qū)域從外到內(nèi)依次表示為ΓR(T),K(T),?(T)和圖4表明,因此更精確的定位了矩陣T的特征值.

圖4 S(T)??(T)?K(T)?ΓR(T)

例 4.5考慮例 4.4中的矩陣T.取S={1,4},分別將定理3.1,定理3.2,定理 3.3和定理3.4運(yùn)用到矩陣T上,得到T的特征值包含集其關(guān)系如圖5所示.

圖中星號(hào)表示矩陣T的特征值,圖形中的區(qū)域從外到內(nèi)依次表示為?(T),?1(T),從圖中不難發(fā)現(xiàn)但

圖5 ?2(T)??1(T)??(T),S(T)??(T)

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