三階單位上三角非負(fù)矩陣

駱莉芳 陳益智 陳燕梅

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006;2.惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,廣東 惠州 516007)

1 引言

由于上三角非負(fù)矩陣的行列式很容易計算得出,也可以化為Normal Hermite形式,所以上三角非負(fù)矩陣從而被廣泛地研究,其相關(guān)研究成果讀者可參考文獻(xiàn)[1-8].在上三角非負(fù)矩陣的研究中,單位上三角非負(fù)矩陣已成為其研究的一個重要對象,能否將其分解成一些原子矩陣的乘積,并且在求得其最小的原子因式分解長度中起著非常重要的作用[1].關(guān)于非負(fù)矩陣因式分解的問題最早是文獻(xiàn)[2]在1963年開始研究的.文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4-5]分別研究了矩陣半群的因式分解問題.文獻(xiàn)[6]把矩陣的因式分解理論應(yīng)用到了整數(shù)值矩陣半群中,給出了這類矩陣的一些重要性質(zhì),并探討了這類矩陣在什么意義下是可以唯一分解的,同時他們還提出了6個公開問題,有待進一步的解決.文獻(xiàn)[7-8]主要研究三階及n階上三角非負(fù)矩陣半群的分解,并且部分解決了文獻(xiàn)[6]中的公開問題1-問題4.本文將繼續(xù)探究三階上三角非負(fù)矩陣.

類似于文獻(xiàn)[6-7],下面對本文所涉及到的預(yù)備知識進行介紹.

設(shè)N是一個正整數(shù)集,N0=N∪{0},用T3(N0)表示N0上的由所有行列式大于零的3階上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群.對于本文出現(xiàn)而未提及的概念及術(shù)語,讀者可參考文獻(xiàn)[6-8].

定義 1.1[1]若S是一個含單位矩陣I的矩陣半群.對于A∈S,

(1)若存在B∈S使得AB=BA=I成立,則稱A為S的一個單位.

(2)若A不是S的單位,由A=BC可推出B或C是S上的一個單位，則稱A為S的一個原子.

(3)若S上的每個非單位元素都可以分解成S上一些原子的乘積,則將S稱為原子半群.

定義 1.2[1]如果S是一個原子半群,A為S上任意的非單位元素.記

為A的原子因式分解長度集,用它來表示A在S中可以有限分解成一系列原子矩陣的乘積形式的一切可能的分解長度的集合.記l(A)=min{T(A)}表示A的最小的原子因式分解長度.

2 三階單位上三角非負(fù)矩陣

2.1 最小的原子因式分解長度

引理 2.1[1]設(shè)S為T3(N0)中所有單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則任意的A∈S是原子當(dāng)且僅當(dāng)A=Xij=I3+Eij(1

借助上述引理,下面將介紹本文最主要的結(jié)果,即

定理 2.1記S為T3(N0)中所有三階單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則對任意的

(1)當(dāng)c≤ab時,有l(wèi)(A)=a+b;(2)當(dāng)c>ab時,有l(wèi)(A)=a+b+c?ab.

證明由單位上三角非負(fù)矩陣的原子因式分解中原子矩陣類型是X12或X13或X23知,

從而X12和X13的乘積可以交換,X23和X13的乘積也可以交換,而X12和X13的乘積不可以交換.于是,A的任一因式分解必具有如下分解形式:

其中,c′,ai,bi∈N0,i=1,2,···,m. 這里,

注意到A的原子因式分解長度為

從而0≤c且c′∈N0,那么根據(jù)最小數(shù)原理可得,c′的最小值是存在的.因此,若要計算l(A),只需計算出c′的最小值便可.即若存在一組特解使得c′取得最小值,記該最小值為m,則可得到

由于對于任意的A∈S,其上三角元素a,b,c之間僅包含了下列三種數(shù)量關(guān)系,即c=ab或c>ab或c

(I)當(dāng)c=ab時,在(2)式中可取一組特解使得c′=0.而 0≤c′≤c,則c′的最小值為m=0.從而得到A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

(II)當(dāng)c>ab時,由于

則c?ab≤c′≤c.從而在(2)式中可取一組特解使得c′=c?ab.則c′的最小值為m=c?ab,則A的最小原子因式分解長度為

(III)當(dāng)c0.從而a≥1且b≥1.由于c

情形1當(dāng)c

(i)當(dāng)a≥b時,有a≥c,在(2)式中可取一組特解

使得c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

(ii)當(dāng)a

使c′=0,則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

所以當(dāng)c

情形 2當(dāng) max{a,b}1且a>1.則

(i)當(dāng)a≥b時,在(2)式中可取一組特解

其中,i∈{2,3,···,k?1,k+1,k+2,···,b?1},且 []表示取整符號.使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為

(ii)當(dāng)a

其中,i∈{2,3,···,k,k+2,···,a?1},使得c′=0.則c′的最小值為m=0,從而A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b.

所以當(dāng)max{a,b}

綜上所述,對任意單位上三角非負(fù)矩陣A,當(dāng)c≤ab,有l(wèi)(A)=a+b;當(dāng)c>ab時,有

注2.1文獻(xiàn)[8]中只是得出部分單位上三角非負(fù)矩陣的最小原子因式分解長度,而本文中的定理2.1針對T3(N0)中的單位上三角矩陣半群中的任意矩陣A,都給出了計算A的最小原子因式分解長度l(A)的公式,并且證明方法也不同于文獻(xiàn)[8],從而完善了文獻(xiàn)[8]中相應(yīng)的結(jié)論.

特別地,在定理2.1的證明過程中,若將各情形下的特解代入分解式(1)中,便可得到全部的單位上三角非負(fù)矩陣A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解.

定理 2.2記S為T3(N0)中所有三階單位上三角非負(fù)矩陣所構(gòu)成的矩陣半群,則對于任意的

(1)當(dāng)c=ab時,A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(2)當(dāng)c>ab時,A的最小原子因式分解長度為l(A)=a+b+c?ab,且A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(3)當(dāng)c

(i)若a≥b,則A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

(ii)若a

(4)當(dāng)max{a,b}

(i)若a≥b,則A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

其中

(ii)若a

其中

注 2.2定理2.2分情形詳細(xì)探討了三階單位上三角非負(fù)矩陣A具有最小原子因式分解長度的其中一種分解.

2.2 應(yīng)用舉例

對于任意的三階單位上三角非負(fù)矩陣下面將針對定理2.1中的其中一個情形,即max{a,b}

例2.1設(shè)由于a=3,b=2,c=5,根據(jù)定理2.1,得到max{a,b}b,則根據(jù)(7)式可得A的其中一個具有最小的原子因式分解長度的分解為:

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