一種非線性能量阱的構建及瞬態(tài)特征分析

劉海平， 王耀兵 (1. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；2. 空間智能機器人系統(tǒng)技術與應用北京市重點實驗室，北京 100094)

傳統(tǒng)的吸振技術主要通過將線性動力吸振器或者調(diào)諧質(zhì)量阻尼器與主振結構連接實現(xiàn)。當主振系受簡諧激勵時，通過調(diào)整線性動力吸振器的固有頻率與簡諧激勵頻率一致即可實現(xiàn)有效抑振[1-5]。實際中，任何激勵載荷都不可能僅由單一頻率組成，而線性動力吸振器窄帶頻率保持特性極大限制了其在工程中的應用。

非線性動力吸振器由于其寬頻特征被認為是替代線性動力吸振器的有效方法之一[6-11]。近年，非線性能量阱作為一類新型非線性動力吸振器得到廣泛的關注與研究[12-14]。相比而言，非線性能量阱與常規(guī)非線性動力吸振器最大的區(qū)別在于缺少線性剛度項。然而，實際中構建純立方剛度非線性能量阱困難極大，只能盡量減小線性剛度的影響。

衛(wèi)星在地面發(fā)射階段，受到來自運載火箭點火及火工連接裝置爆炸解鎖瞬間產(chǎn)生的沖擊載荷的影響，對星載電子設備構成極大威脅[15-17]。本文以抑制主動發(fā)射段，衛(wèi)星結構板上星載設備受到來自運載火箭瞬態(tài)載荷的影響為目標，探索采用單根歐拉梁構建具有實用價值的非線性能量阱。通過建立安裝非線性能量阱的系統(tǒng)動力學模型，對非線性能量阱發(fā)生靶能量傳遞的閾值特征，以及不同初始輸入能量下非線性能量阱和線性主振系的響應特征和能量遷移特征進行了計算研究。相關理論成果可用于指導后續(xù)的實驗驗證并為工程應用奠定基礎。

1 非線性能量阱構建

非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink)因其在一定輸入能量下可發(fā)生單向不可逆的靶能量傳遞而被廣泛關注。目前，大部分相關研究利用立方剛度元件構建非線性能量肼，其特點主要表現(xiàn)為小質(zhì)量、線性剛度為零、弱阻尼和純立方剛度(本質(zhì)非線性剛度)。按照如上標準，構建一個純立方剛度的非線性系統(tǒng)難度較大，實際設計中只能盡可能將線性剛度項減小、立方剛度彈性元件不承載、減少各部分結構可能引入的阻尼。

本文考慮采用單根歐拉梁作為非線性剛度元件，兩端固支；在歐拉梁中間位置連接吸振子，使用導軌支承吸振子質(zhì)量并約束其運動方向；為了減小歐拉梁線性剛度的影響，可通過調(diào)整兩端的壓縮量使其產(chǎn)生屈曲變形，如圖1所示。為了證明以上所提非線性能量阱的設計方案合理可行，以下對其力學特性進行分析研究。

圖1 非線性能量阱結構示意圖Fig.1 Schematic of the nonlinear energy sink

單根歐拉梁受端部壓縮載荷作用的變形，如圖2所示。其中，單根梁兩端施加的壓縮載荷可以由變形勢能得到。

圖2 單根歐拉梁變形示意圖Fig.2 Schematic of a single Euler beam under force

由圖2可知，在壓縮載荷P作用下，單根梁縱向受載變形量為ux。其中，l0為未受載單根梁自由長度，lc為受載變形梁的長度。單根梁內(nèi)儲存的勢能為

(1)

式中：A為矩形截面梁的截面面積；E為材料楊氏模量。

兩端固支受載變形梁的橫向變形滿足第1階模態(tài)振型的形函數(shù)

(2)

式中：uy為單根梁中點的橫向載荷Ft作用下的位移；x為單根梁沿縱軸方向的長度。

受載變形梁在橫向載荷作用下的長度減小量等于受載變形梁的弧長變化量。利用弧長公式，得到

(3)

根據(jù)文獻[18]給出的近似計算方法，由弧長公式(3)可化簡得到弧長表達式

?

(4)

綜合式(3)和式(4)，滿足近似計算的條件是πuy/lcsin(2πx/lc)≈0，即：x≈lc(ux<

由受載變形梁在橫向載荷作用下的弧長公式(4)減去受載變形梁的長度lc，可以得到單根梁的長度變形量。結合未受橫向載荷Ft作用，受壓縮載荷變形梁的勢能公式(1)，得到單根梁內(nèi)儲存勢能的變化量為

(5)

單根梁橫向受載產(chǎn)生的彎曲勢能

(6)

式中：I為矩形截面梁的截面慣性矩；I=bt3/12。

對式(6)積分，得到單根梁的彎曲勢能為

(7)

橫向載荷Ft沿橫向位移uy做功等于受載變形梁在變形過程中的勢能變化量

(8)

由式(8)發(fā)現(xiàn)，變形梁橫向力Ft由線性和非線性兩部分組成，引入?yún)?shù)k1和k3分別為線性剛度和立方剛度代入式(8)，得到

(9)

式中：

(10)

為了驗證以上設計方案是否滿足非線性能量阱要求的線性剛度近似為零和近似純立方剛度特征。選擇初始設計參數(shù)為：單根梁未變形長度l0=100×10-3m，初始壓縮量ux=0，材料彈性模量E=210 GPa，矩形截面厚度t=1×10-4m，矩形截面寬度b=5×10-3m。將初始參數(shù)代入式(9)和式(10)，得到力-位移曲線，如圖3所示。另外，圖3還給出式(9)僅保留立方剛度項對應的橫向力-位移關系曲線?？梢姡€性剛度對單根歐拉梁輸出剛度影響較小，兩條曲線幾乎一致。對應以上設計參數(shù)的剛度分別為：k1=17.05 N/m，k3=1.28×109N/m3；顯然相比于立方剛度項，線性剛度的影響幾乎可以忽略不計。綜上所述，基于單根歐拉梁可成功構建具備近似純立方剛度的非線性能量阱。

圖3 單根歐拉梁橫向力-位移關系曲線Fig.3 Relationship between horizontal force and displacement of a single Euler beam

2 安裝非線性能量阱系統(tǒng)模型

衛(wèi)星發(fā)射過程中，由于運載火箭點火和級間火工分離爆炸解鎖過程中產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊載荷影響將對星載高精度設備造成極大風險。如何對發(fā)射段較寬頻帶內(nèi)的沖擊載荷進行有效減緩或抑制成為衡量航天器性能的一項關鍵指標。本部分以安裝在衛(wèi)星結構板上有效載荷為對象，利用第1節(jié)構建的非線性能量阱對星載設備在瞬態(tài)沖擊載荷作用下的響應進行控制。

圖4給出衛(wèi)星結構板上安裝非線性能量阱的示意圖，相應的系統(tǒng)動力學模型也在圖上給出。實際中，設備安裝在鋁蜂窩夾層結構板上。為了便于分析計算，將鋁蜂窩夾層結構板簡化為等效剛度ks和集中質(zhì)量ms，相應結構板阻尼為cs；星載設備等效為集中質(zhì)量md，剛度kd和阻尼cd；非線性能量阱則包括集中質(zhì)量mNES，非線性剛度kNES和阻尼cNES。其中，非線性剛度kNES由線性剛度k1和立方剛度k3組成參見“1”節(jié)。

圖4 安裝非線性能量阱系統(tǒng)模型Fig.4 Schematic of a systematic model with a nonlinear energy sink

根據(jù)圖4模型建立系統(tǒng)動力學方程

(11)

因此，結構板-星載設備-非線性能量阱系統(tǒng)的初始輸入能量為

(12)

星載設備儲存的動能和勢能之和為

(13)

非線性能量阱儲存的總能量為

(14)

結構板儲存的總能量為

(15)

系統(tǒng)總能量為

E(t)=Es(t)+Ed(t)+ENES(t)

(16)

為了評估非線性能量阱是否發(fā)生靶能量傳遞，定義非線性能量阱瞬時能量比

(17)

為了評估非線性能量阱對初始輸入能量的耗散能力，定義非線性能量阱瞬時耗能比

(18)

3 仿真計算及分析

為了便于計算，選擇系統(tǒng)各部分設計參數(shù)如下。

結構板：質(zhì)量ms=10 kg，彈簧剛度ks=1×107N/m，阻尼系數(shù)cs=5 N·s/m；設備：質(zhì)量md=6 kg，彈簧剛度kd=5×106N/m，阻尼系數(shù)cd=1 N·s/m；非線性能量阱：質(zhì)量mNES=0.05 kg，阻尼系數(shù)cNES=1 N·s/m，未變形長度l0=100×10-3m，其他參數(shù)詳見“1”節(jié)。

圖5 非線性能量阱耗散能量與系統(tǒng)初始速度關系曲線；實心圓為四個仿真計算工況

Fig.5 Percentage of the dissipated energy as a function of the initial displacement; solid circles refer to four simulations

以下給出四種不同初始輸入能量的仿真分析結果。首先，輸入較小量級的初始能量(工況A)Eint=1.3 J，計算結果，如圖6所示。由圖6可知，各部分結構以主振系統(tǒng)的固有頻率振動，非線性能量阱對系統(tǒng)的振動抑制貢獻很小，大部分能量仍然局限在主結構上。

表1 不同初始輸入條件抑振效果Tab.1 The dissipated energy percentages forthe different simulations

第2個計算工況輸入能量增加到Eint=45 J，計算結果，如圖7所示。由圖7可知，在該輸入量級下，非線性能量阱發(fā)生靶能量傳遞。在0～0.5 s時段內(nèi)，非線性能量阱的吸振子響應幅值顯著，并使能量向非線性能量阱轉移；在0.5～2 s時段內(nèi)非線性能量阱經(jīng)歷了緩慢的衰減過程；并在約2 s附近時段能量局限于非線性能量阱；在>2 s時段，能量再次流回線性主振系。

(a) 位移響應

(b) 瞬時能量比圖6 工況A仿真結果，非線性能量阱━ ━，結構板┅┅，設備━·━

Fig.6 Simulation results for case A, nonlinear energy sink━ ━，structural plate┅┅，equipment━·━

(a) 位移響應

(b) 瞬時能量比圖7 工況B仿真結果，非線性能量阱━ ━，結構板┅┅，設備━·━

Fig.7 Simulation results for case B, nonlinear energy sink━ ━，structural plate┅┅，equipment━·━

圖8給出初始輸入能量Eint=125 J時的計算結果。在開始階段各部分響應表現(xiàn)出一個非線性拍特征，非線性能量阱的響應在約0～1 s和4～4.5 s時段內(nèi)占優(yōu)。初始輸入能量繼續(xù)增加到Eint=320 J時雖然非線性能量阱位移響應幅值更大，但是非線性能量阱瞬時能量比降低。

(a) 位移響應

(b) 瞬時能量比圖8 工況C仿真結果，非線性能量阱━ ━，結構板┅┅，設備━·━Fig.8 Simulation results for case C, nonlinear energy sink━ ━，structural plate┅┅，equipment━·━

為了對以上各工況仿真計算結果的頻率特征進行研究，對相對位移(ys～yNES)采用Morlet小波基的小波變換得到時程響應數(shù)據(jù)中頻譜含量隨時間變化的特征，如圖10所示。由圖10可知，輸入能量較小時，振動局限于線性主振系統(tǒng)，并未發(fā)生能量向非線性能量阱流動的特征參見圖10(a)，主要頻譜集中在約100 Hz和180 Hz附近。隨著能量增加，越過了激發(fā)非線性能量阱靶能量傳遞的閾值，在高頻約100～200 Hz范圍內(nèi)并未見到工況A對應在180 Hz頻點的線譜，取而代之的是一個寬頻譜帶。輸入能量繼續(xù)增加，雖然激發(fā)了非線性系統(tǒng)較多高頻分量，但是能量仍然集中在約100 Hz和180 Hz線譜附近，如圖10(c)和圖10(d)所示。

為了驗證本文所建理論模型和分析結果的有效性，正在開展地面驗證試驗，相關結果將另文詳述。

(a) 位移響應

(b) 瞬時能量比圖9 工況D仿真結果，非線性能量阱━ ━，結構板┅┅，設備━·━Fig.9 Simulation results for case D, nonlinear energy sink━ ━，structural plate┅┅，equipment━·━

(a)工況A(b)工況B(c)工況C(d)工況D

圖10 相對位移響應(ya～yNES)小波變換

Fig.10 The wavelet transform of the relative response (ya—yNES)

4 結 論

以實現(xiàn)有效抑制星載設備在主動發(fā)射段瞬態(tài)沖擊載荷為目標，提出一種基于單根歐拉梁的非線性能量阱，通過對比研究表明：兩端固支單根歐拉梁輸出剛度由線性剛度和非線性立方剛度組成，且與純立方剛度相比其線性剛度的影響幾乎可以忽略。

根據(jù)實際星載設備安裝條件，建立結構板-設備-非線性能量阱系統(tǒng)動力學模型。通過數(shù)值計算對比研究不同初始輸入條件下非線性能量阱的振動抑制效果。研究表明：

(1) 非線性能量阱發(fā)生靶能量傳遞存在初始能量閾值；

(2) 當輸入能量跨過閾值時，振動能量發(fā)生從線性主振系向非線性能量阱發(fā)生靶能量傳遞；

(3) 即使初始輸入能量跨過閾值，如果輸入能量過大也不能有效激發(fā)非線性能量阱的靶能量傳遞特征。

綜合以上研究表明單根歐拉梁構建的非線性能量阱可以有效抑制星載設備在發(fā)射段瞬態(tài)沖擊載荷的影響，改善設備的力學環(huán)境。

參 考 文 獻

[1] FRAHM H. Device for damping vibrations of bodies: US Patent. 989.958[P].1909-10-30.

[2] ORMANDROYD J, DEN HARTOG J P. The theory of dynamic vibration absorber[J]. Transaction of American Soceity of Mechanial Engineering, 1928, 50: 9-22.

[3] 王現(xiàn)成, 郭蓬勃, 張益民, 等. 用吸振器消除框架梁橫向振動的可行性[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(14): 179-182.

WANG Xiancheng, GUO Pengbo, ZHANG Yimin, et al. Feasibility of absorbing the transverse vibration of a frame-beam induced by attached oscillating equipment by using a vibrational absorber[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(14): 179-182.

[4] 楊飛, 楊智春, 王巍. 吸振夾層壁板顫振抑制的吸振器頻率設計[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(7): 65-68.

YANG Fei, YANG Zhichun, WANG Wei. Frequency design of dynamic vibration absorber for flutter suppression of sandwich panel[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(7): 65-68.

[5] 徐振邦, 吳清文. 吸振器底座對減振效果的影響研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(13): 72-76.

XU Zhenbang, WU Qingwen. Influence of the base of vibration absorber on vibration attenuation effect[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(13): 72-76.

[6] PIPES L. Analysis of a nonlinear dynamic vibration absorber[J]. Journal of Applied Mechanics, 1953, 20: 515-518.

[7] ARNOLD F R. Steady state behaviour of systems provided with nonlinear dynamic vibration absorbers[J]. Journal of Applied Mechanics, 1955, 22: 487-492.

[8] 劉海平, 楊建中, 羅文波, 等. 新型歐拉屈曲梁非線性動力吸振器的實現(xiàn)及抑振特性研究[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(11): 155-160.

LIU Haiping, YANG Jianzhong, LUO Wenbo, et al. Realization and vibration suppression ability of a new novel Euler buckled beam nonlinear vibration absorber[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(11): 155-160.

[9] 樓京俊, 唐斯密, 朱石堅, 等. 改進的本質(zhì)非線性吸振器寬頻吸振系數(shù)域研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(6): 218-222.

LOU Jingjun, TANG Simi, ZHU Shijian, et al. Parametric range of improved essentially nonlinear absorber on broad frequency band[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(6): 218-222.

[10] 唐斯密, 朱石堅, 樓京俊. 非線性吸振器剛度調(diào)整策略研究[J]. 武漢理工大學學報, 2011, 35(1): 163-166.

TANG Simi, ZHU Shijian, LOU Jingjun. Study on the tactic of adjusting stiffness of the nonlinear dynamic vibration absorber[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2011, 35(1): 163-166.

[11] 羅堯, 王慧. 非線性彈簧阻尼減振裝置的探究[J]. 物理與工程, 2011, 21(5): 13-16.

LUO Yao, WANG Hui. Study of the nonlinear damping spring shock absorbers[J]. Physics and Engineering, 2011, 21(5): 13-16.

[12] VAKAKIS A F, GENDELMAN O. Energy pumping in nonlinear mechanical oscillators: part Ⅱ—resonance capture[J]. Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, 2011, 68: 42-48.

[13] GENDELMAN O, MANEVITCH L, VAKAKIS A F, et al. Energy pumping in nonlinear mechanical oscillators: part Ⅰ—dynamics of underlying Hamiltonian systems[J]. Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, 2001, 68: 34-41.

[14] KREMER D, LIU K F. A nonlinear energy sink with an energy harvester: transient responses[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333: 4859-4880.

[15] 馬興瑞，韓增堯. 衛(wèi)星與運載火箭力學環(huán)境分析方法及試驗技術[M]. 北京：科學出版社, 2014.

[16] JOHNSON C D, WILKE P S, PENDLETON S C.Recent launches using the soft ride whole-spacecraft vibration isolation system[C]//AIAA Space 2001 Conference and Exposition. Albuquerque, NM, 2001: 1-10.

[17] MALY J R, FOWLER E C, BISKNER A C. Structural models and dynamic measurements of satellite launch adapter structures[C]//Proceedings of 50th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. Palm Springs, CA, 2009: 1-12.

[18] VANGBO M. An analytical analysis of a compressed bistable buckled beam[J]. Sens Actuators A, 1998, 69(3): 212-216.