混合教與學(xué)算法在空間直線度評定中的應(yīng)用

楊 洋， 李 明, 顧京君, 王 宸, 韋慶玥

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 智能制造及機(jī)器人重點實驗室， 上海 200072)

1 引 言

根據(jù)相關(guān)幾何誤差評定標(biāo)準(zhǔn)[1,2]，空間直線度的評定方法主要有兩端點連線法，最小二乘法(least square method，LSM)和最小區(qū)域法，其中，前兩種方法主要多應(yīng)用于工程領(lǐng)域和三坐標(biāo)測量機(jī)中，雖然算法相對簡單易懂，但其評定結(jié)果并不精確，當(dāng)所需精度較高時需要由最小區(qū)域法進(jìn)行仲裁檢驗。而對于最小區(qū)域法，在相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中并沒有規(guī)定具體的判定方法，只是給出了幾何定義，因此，學(xué)者們對最小區(qū)域評定算法進(jìn)行了深入的研究。

在最小區(qū)域算法的研究過程中，最小六面體包絡(luò)法[3]、線性搜索算法[4]、線性規(guī)劃[5]、計算幾何[6]、凸殼理論[7]、半定規(guī)劃[8,9]、網(wǎng)格搜索算法[10]和數(shù)據(jù)包絡(luò)[11]等方法應(yīng)用到空間直線度評定中。以上方法雖然都在一定程度上提高了空間直線度的評定精度，但存在求解過程復(fù)雜且容易陷入局部最優(yōu)的問題，仍然難以滿足最小區(qū)域原則。智能優(yōu)化算法的不斷發(fā)展，為解決此類高維復(fù)雜非線性問題的求解提供了很好的方法。其中，遺傳算法(genetic algorithm，GA)[12]、粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)[13]、人工免疫算法[14]和改進(jìn)人工魚群算法(least squares and artificial fish swarm algorithm,LA-AFSA)[15]等被應(yīng)用到直線度誤差評定過程，但是這些算法的計算結(jié)果與算法參數(shù)選擇關(guān)系很大，算法的精度和魯棒性仍可以繼續(xù)提高。

本文將教與學(xué)優(yōu)化算法[16](teaching learning based optimization，TLBO)應(yīng)用到空間直線度誤差評定中，該算法是一種新型的不依賴于參數(shù)選擇的群體智能優(yōu)化算法，其算法流程相對簡單，控制參數(shù)少，而且收斂速度快，精度較高，已被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化領(lǐng)域[17,18]。同其他群智能優(yōu)化算法的缺點一樣，教與學(xué)算法在迭代后期收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)，因此為了進(jìn)一步提高TLBO的后期求解能力，提出將混合蛙跳算法(shuffled frog leaping algorithm，SFLA)與教與學(xué)算法進(jìn)行融合，設(shè)計了一種混合教與學(xué)算法(hybrid teaching-learning-based optimization，HTLBO)，用以進(jìn)一步提高空間直線度的求解精度。

2 HTLBO算法

TLBO算法是Rao R V在2012年提出的一種群體性智能優(yōu)化算法，該算法控制參數(shù)很少，僅需設(shè)置種群規(guī)模、迭代次數(shù)、變量維度和控制變量上下限，通過模擬教師的教學(xué)與學(xué)生間的相互學(xué)習(xí)兩個階段從而達(dá)到尋優(yōu)的目的，基本TLBO算法流程如文獻(xiàn)[16]所述。對于基本TLBO算法，在教學(xué)過程中，班級中的所有學(xué)生向教師學(xué)習(xí)，學(xué)生成績快速向教師靠攏，當(dāng)?shù)嬎氵M(jìn)行到后期時，導(dǎo)致種群多樣性較低，使算法陷入局部最優(yōu)[19]，因此，借鑒SFLA的洗牌分組策略和局部更新策略[20,21]，將其引入TLBO算法中，設(shè)計了一種HTLBO算法用以進(jìn)一步提高教與學(xué)算法全局和局部搜索能力。

2.1 種群分組和洗牌策略

采用種群分組和洗牌策略的目的是增強(qiáng)學(xué)生間的信息交流能力，通過建立新的小組和各組的老師，從而增加算法的全局搜索能力，避免算法早熟。首先定義種群分組策略：確定班級里小組數(shù)目m，每組的學(xué)生人數(shù)n，從而確定產(chǎn)生初始學(xué)生數(shù)目為F(F=m×n),計算每個學(xué)生的適應(yīng)度，將學(xué)生根據(jù)適應(yīng)度按優(yōu)劣進(jìn)行排序，并記錄下整個種群的適應(yīng)度值最優(yōu)的學(xué)生xt。按小組數(shù)目m將學(xué)生進(jìn)行分組，劃分準(zhǔn)則是將排名第1的學(xué)生放入第1個小組，排名第2的學(xué)生放入第2個小組，第m的學(xué)生放入第m個小組，然后再將第m+1的學(xué)生放入第1個小組，以此類推，第2m的學(xué)生放入第m個小組，其中，第q個小組的學(xué)生Yq表達(dá)式為：Yq=x(q+m(p-1)),p=1,…,n;q=1,…,m)。同時記錄全局最優(yōu)學(xué)生xt和組內(nèi)最優(yōu)學(xué)生xt,m。

洗牌策略則是當(dāng)每次迭代之后，將所有學(xué)生個體進(jìn)行重新混合，按照上述方式進(jìn)行重新排序、分組，進(jìn)一步迭代計算，直到滿足最大迭代次數(shù)或者達(dá)到計算精度為止。

2.2 局部更新策略

(1)

(2)

(3)

2.3 HTLBO算法步驟

HTLBO流程如下：

(1)參數(shù)初始化。設(shè)置初始化班級小組數(shù)目為m，小組學(xué)生數(shù)目為n，因此得到學(xué)生數(shù)量為F(F=m×n)，問題的維度D，迭代次數(shù)W，變量上下限u、l，同時根據(jù)問題的不同建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，輸入實驗數(shù)據(jù)，進(jìn)入步驟(2)。

(2)教學(xué)階段。按照2.1節(jié)所述的分組規(guī)則進(jìn)行分組，通過教學(xué)公式進(jìn)行教學(xué)更新，其中，教師為各組成績最優(yōu)者xt，m，并同時記錄班級最優(yōu)學(xué)員xt，組內(nèi)成績最差學(xué)員xw，進(jìn)入步驟(3)。

(3)局部更新階段。按照2.2節(jié)所述局部更新策略將最差學(xué)員xw再次進(jìn)行更新，進(jìn)入步驟(4)。

(4)學(xué)習(xí)階段。按TLBO算法學(xué)習(xí)階段進(jìn)行計算，并更新每個學(xué)生的成績，從而更新班級最優(yōu)生xt的成績和位置，進(jìn)入步驟(5)。

(5)判斷迭代過程或者計算精度是否滿足要求，如果滿足要求，則完成計算，此時，老師成績的適應(yīng)度值為所測數(shù)據(jù)點的空間直線度誤差；如果沒有，則通過洗牌策略重新進(jìn)行分組，返回步驟(2)。

3 空間直線度的數(shù)學(xué)模型

圖1 空間直線度示意圖

空間直線度誤差本質(zhì)上是實際直線相對理想直線的偏差量，體現(xiàn)的是包容所有測點的最小理想圓柱,如圖1所示。因此，為了能夠準(zhǔn)確地計算出被測直線的空間直線度，首先通過空間直線的點向參數(shù)方程確立理想直線模型L，然后根據(jù)空間點到直線的距離公式，得到包容測點圓柱面里的最小圓柱半徑，該半徑的2倍(即圓柱直徑)就是所求空間直線度誤差，表達(dá)式如公式(4)所示[13]:

(4)

式中：(x0,y0,z0)為直線L上的某一定點；a，b，c分別為直線L在空間中X，Y，Z上的方向向量參數(shù)；i,j,k分別為三個坐標(biāo)軸方向的單位向量；(xi,yi,zi)為測點集合；d為被測直線的空間直線度誤差。

由直線度誤差定義結(jié)合優(yōu)化算法相關(guān)概念可知，實質(zhì)上是求解未知參數(shù)(x0,y0,z0,a,b,c) 的問題，并且要滿足最小區(qū)域條件(f最小)，因此目標(biāo)函數(shù)可以定義為公式(5)所示，即轉(zhuǎn)化為極大值極小化問題。

f=F(x0,y0,z0,a,b,c)=min(maxd)

(5)

4 實驗驗證

4.1 空間直線度算例1

為了驗證HTLBO算法的計算優(yōu)越性，本次實驗使用電腦操作系統(tǒng)為win7，處理器為I5- 4200ucpu@1.60 GHz 2.30 GHz，安裝內(nèi)存為4.00 GB，系統(tǒng)類型為64位，采用蔡司三坐標(biāo)測量機(jī)UMC550S進(jìn)行數(shù)據(jù)的獲取，每6 mm選擇一個截面，每個截面選取6個測點，采集試驗零件的空間點坐標(biāo)，進(jìn)行空間直線度的分析，表1為被測要素圓心擬合坐標(biāo)。

表1 被測要素圓心擬合坐標(biāo) mm

在程序參數(shù)上，設(shè)置小組數(shù)目為5,每組學(xué)生為10個，種群數(shù)目為50,維度為6，算法迭代次數(shù)為500次，運(yùn)行次數(shù)為50次，求得平均誤差。表2為不同的評定方法對應(yīng)的直線度誤差計算結(jié)果，對比計算結(jié)果可知， LSM計算的直線度誤差為0.084 mm，其數(shù)值明顯偏大，評定結(jié)果精度最低。在智能優(yōu)化算法的評定結(jié)果中，HTLBO的計算結(jié)果與GA、PSO和TLBO算法相比，HTLBO算法求得的直線度誤差最小，僅為0.063 2 mm。式(5)中各個參數(shù)的計算結(jié)果從表3可以得到，HTLBO求得的最小包容圓柱參數(shù)的中心軸線參數(shù)方程為F(x0,y0,z0,a,b,c)=F(5.730 6，15.498 2，-19.216 4，0.310 4，0.017 6，30.001 0) ，能夠滿足最小區(qū)域法對空間直線度的誤差評定。圖2為HTLBO、TLBO、GA、PSO等算法對表1數(shù)據(jù)進(jìn)行直線度誤差計算的迭代曲線，由于數(shù)據(jù)跨度較大且分布不均，因此采用對數(shù)刻度進(jìn)行顯示。從圖2可以看到，在迭代計算過程中，HTLBO算法在迭代到96代時收斂，相對于其他3種智能優(yōu)化算法收斂更快，收斂精度更高，體現(xiàn)了HTLBO算法在空間直線度的計算性能上的優(yōu)勢。

表2 直線度誤差計算結(jié)果 mm

表3 4種算法參數(shù)的計算結(jié)果 mm

圖2 直線度誤差曲線

4.2 空間直線度算例2

為了進(jìn)一步驗證HTLBO算法對于評定空間直線度誤差的有效性，選取文獻(xiàn)[12]中算例的數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[13,15]計算結(jié)果對算法進(jìn)行實驗驗證。HTLBO程序參數(shù)設(shè)置與算例1相同，測點數(shù)據(jù)如表4所示，數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[12]。

表4數(shù)據(jù)的HTLBO算法和文獻(xiàn)[13,15]的PSO、LA-AFSA計算結(jié)果如表5所示。

表4 算例2測點數(shù)據(jù)[12] mm

表5 3種算法參數(shù)的計算結(jié)果 mm

文獻(xiàn)[15]中詳細(xì)列出了其他相關(guān)文獻(xiàn)的計算結(jié)果，結(jié)合起來可以看到，相對于傳統(tǒng)的非線性求解方法，智能優(yōu)化算法不僅能夠得到測點數(shù)據(jù)的空間直線度誤差值，還可以獲得測點最小包容圓柱的方程參數(shù)，計算結(jié)果更加全面。在智能優(yōu)化算法的計算結(jié)果中，HTLBO算法的計算精度更高，求得的空間直線度誤差為0.009 152 mm，最小包容圓柱參數(shù)的中心軸線參數(shù)方程為F(x0,y0,z0,a,b,c)=F(-12.565 0，0.110 0，12.404 6，28.322 1，18.694 5，9.534 2)。圖3為HTLBO算法的迭代曲線，當(dāng)?shù)?02次時，算法達(dá)到收斂狀態(tài)，相對于PSO的344次，收斂速度得到了提高。

圖3 HTLBO迭代曲線

5 結(jié) 論

應(yīng)用TLBO對空間直線度誤差進(jìn)行誤差評定，通過引入SFLA的算法優(yōu)點，設(shè)計了一種HTLBO算法，從而進(jìn)一步增強(qiáng)了算法的全局和局部搜索能力。通過兩組算例,得到以下結(jié)論：

(1)在滿足最小區(qū)域準(zhǔn)則的條件下，將空間直線度的數(shù)學(xué)模型和獲取的測量數(shù)據(jù)代入智能優(yōu)化算法求解，不僅可以得到比最小二乘法等傳統(tǒng)非線性求解方法精度更高的空間直線度誤差結(jié)果，而且同樣可以獲得包容所有測點的最小圓柱軸線的方程參數(shù)，計算結(jié)果全面、準(zhǔn)確。

(2)從智能優(yōu)化算法的計算結(jié)果可以看出，相對于GA、PSO、TLBO等算法，HTLBO算法搜索能力更強(qiáng)，收斂速度更快，計算精度較高，同樣適用于空間直線度的高精度評定領(lǐng)域。

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