解一元一次不等式（組）的高頻錯(cuò)誤分析及應(yīng)對策略

◎吳玲芳

不等式和方程都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.利用不等式解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出不等關(guān)系，列出不等式.但在解一元一次不等式時(shí)，有的同學(xué)常因基礎(chǔ)不扎實(shí)、概念不清、粗心大意、方法未掌握、思維定式等原因，在解題過程中頻繁出錯(cuò).下面就一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析講解.

一、常見錯(cuò)誤

1.系數(shù)化為1時(shí)，兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向忘記改變.

【評析】“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變”沒有牢固掌握，沒有弄清楚等式性質(zhì)和不等式性質(zhì)的區(qū)別，導(dǎo)致解答出錯(cuò).正確的解應(yīng)是x＞-9.

2.分子是多項(xiàng)式，去分母時(shí)忽視分?jǐn)?shù)線的括號功能.

【錯(cuò)解】16+3（y+1）＜24-2y-2.

【評析】分?jǐn)?shù)線不僅代表除號，還有括號的功能.去分母時(shí)，當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，各分式的分子必須看成一個(gè)整體.題中去分母時(shí)，沒有將分子用括號括起來導(dǎo)致了錯(cuò)誤.本題的正確解法應(yīng)在去分母時(shí)將y-1用括號括起來，再去括號，不要跳步驟，正確解為y＜.

3.不等式（組）中含有字母，已知不等式（組）的解集，確定所含字母的取值范圍時(shí)，錯(cuò)誤頻出.

例3 若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 .

錯(cuò)誤一：當(dāng)兩個(gè)不等式一樣時(shí)，不等式的解集是x＞3，所以m=3.

錯(cuò)誤二：根據(jù)求不等式組解集的口訣“同大取大”可知3比m大，所以m＜3.

【評析】解決本題要借助數(shù)軸.依據(jù)不等式解集的定義：兩個(gè)不等式解集的公共部分是不等式組的解集.先將不含字母的不等式的解集x＞3在數(shù)軸上表示出來（圖1）.

圖1

然后由不等式組的解集是x＞3，可知x＞m和x＞3的公共部分是x＞3，所以m在數(shù)軸上的位置應(yīng)該在3的左邊（圖2）.此時(shí)先定下m的大致范圍是m＜3.

圖2

最后確定臨界值.當(dāng)m=3時(shí)，兩個(gè)解集的公共部分是x＞3（圖3），所以臨界值能取到，m≤3.

圖3

【解題策略】先根據(jù)已知信息在數(shù)軸上畫出不含字母的不等式的解集，然后根據(jù)解或解集的情況，畫出含字母的不等式的解集，確定字母的大致范圍，最后討論臨界值能否取到.

4.思維定式造成設(shè)未知數(shù)出錯(cuò).

例4 在“人與自然”的知識競賽中共有20道題，對于每一道題，答對了得10分，答錯(cuò)了或不答扣5分，至少要答對幾道題，其得分不少于80分？

【錯(cuò)解】設(shè)至少要答對x道題，由題意得：

10x-5（20-x）≥80.

解得x≥12.

答：至少要答對12道題.

【評析】在列不等式解應(yīng)用題中，同學(xué)們設(shè)未知數(shù)時(shí)，往往受列方程解決問題的遷移，沿用求什么設(shè)什么的做法，是錯(cuò)誤的.正確的解法是“設(shè)答對x道題”.

二、高頻錯(cuò)誤的應(yīng)對策略

1.記住表示不等關(guān)系的常用關(guān)鍵詞.

表示不等關(guān)系的常用詞語，有“大于、小于、不大于、不小于、超過、不超過、最”等.有些題目中無明顯表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，例如“打破記錄”“更劃算”等也都是表示不等關(guān)系的詞語，根據(jù)問題的實(shí)際情況理解.

2.區(qū)別方程的解與不等式的解、不等式的解集、不等式組的解集.

（1）一元一次方程通常只有唯一解，不等式若有解，一般它的解有無數(shù)個(gè).不等式的解集中包含不等式的所有解.

（2）不等式組的解集是不等式組中所有不等式的解集的公共部分.

3.區(qū)別等式和不等式的基本性質(zhì)的不同之處.

等式和不等式的性質(zhì)大部分都相同，只有一條不同：不等式的兩邊同乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.這是不等式特有的性質(zhì).

4.注意解不等式中容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié).

解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程相同：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）系數(shù)化為1.容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)是去分母和系數(shù)化為1.關(guān)注易錯(cuò)處，放慢解答速度，則能降低犯錯(cuò)的幾率.

5.確定字母的范圍應(yīng)借助數(shù)軸.

根據(jù)已知解或解集的情況，確定不等式或不等式組中字母的范圍時(shí)，要充分利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合，才能更好地解決，先確定大致范圍，再確定臨界值.

6.關(guān)注用不等式解決問題與用方程解決問題的區(qū)別和聯(lián)系.

同學(xué)們要注意用不等式和方程解決問題的不同之處：設(shè)未知數(shù)的方式不同，以及找不等關(guān)系時(shí)，有些不等關(guān)系比較隱蔽，需要根據(jù)我們的生活經(jīng)驗(yàn)加以確定.這就要求大家注重拓寬視野，增加生活經(jīng)驗(yàn).