淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力的培養(yǎng)

上海市第五十四中學(xué) 苗 偉

數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展推理能力的作用，人們?cè)缇蜕钚挪灰伞５?，長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)學(xué)需要演繹推理，更需要合情推理?？茖W(xué)結(jié)論（包括數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類比即通過(guò)合情推理提出猜想，然后再通過(guò)演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤。

波利亞說(shuō)，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與任何其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣，在證明一個(gè)定理之前，先得猜想、發(fā)現(xiàn)出這個(gè)定理的內(nèi)容，在完全作出證明之前，先得不斷檢驗(yàn)、完善、修改所提出的猜想，還得推測(cè)證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。在這一系列的過(guò)程中，需要充分運(yùn)用的不是論證推理，而是合情推理。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教師在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)進(jìn)行合情推理，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，以及解決問(wèn)題的基本思路”。

下面，筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，從課內(nèi)課外兩個(gè)方面淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

一、在課內(nèi)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

【實(shí)例1】 分?jǐn)?shù)除法法則

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。

證明結(jié)論：

根據(jù)除法的商不變性質(zhì)，

【實(shí)例2】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

①填寫下列表格

觀察上表，你能得到什么啟發(fā)？

②猜想：關(guān)于X的一元二次方程， x1、x2是其兩個(gè)實(shí)根。，

證明結(jié)論：

對(duì)于一元二次方程， x1、x2是其兩個(gè)實(shí)根。

【實(shí)例3】切線長(zhǎng)定理

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

在透明紙上畫出圖（1）：設(shè)P是⊙O外任意一點(diǎn)，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)。

讓學(xué)生操作：沿直線OP將圖（1）對(duì)折，啟發(fā)學(xué)生思考，或者組織學(xué)生交流。

通過(guò)操作，追問(wèn)學(xué)生能得出什么結(jié)論？

學(xué)生應(yīng)該較容易發(fā)現(xiàn)：.這是通過(guò)實(shí)例發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過(guò)程，實(shí)際上，這也是證明的基本思路。啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般，通過(guò)合情推理得出切線長(zhǎng)定理的結(jié)論：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等。

證明結(jié)論：

如圖（2），聯(lián)結(jié)OA、OB，因?yàn)镻A、PB是 ⊙O的切線，所以,即△POA和△POB都是直角三角形。又因?yàn)镺A=OB且OP=OP，所以△POA和△POB全等。于是有 PA=PB，

?趙海樂(lè):《是國(guó)際造法還是國(guó)家間契約——“競(jìng)爭(zhēng)中立”國(guó)際規(guī)則形成之惑》，《安徽大學(xué)學(xué)報(bào)》(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)2015年第1期。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必須給學(xué)生提供探索交流的空間與時(shí)間，組織引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)?！卑淹评砟芰Φ呐囵B(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的各個(gè)過(guò)程中。

只要教師有了這樣的意識(shí)，不僅在課內(nèi)，在課外的習(xí)題中也經(jīng)常碰到這樣的例子。

如：

觀察：12+21=33

23+32=55

34+43=77

①你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)寫出你的觀點(diǎn)。

②你能證明你得到的結(jié)論嗎？

解：①一個(gè)兩位數(shù)將個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，得到新數(shù)與原數(shù)的和，一定能被11整除。

驗(yàn)證：51+15=66=6×11

②證明：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為（10x+y），則新數(shù)為(10y+x)。

其解答過(guò)程有計(jì)算、觀察、歸納、猜想、證明等過(guò)程，既培養(yǎng)了學(xué)生合情推理能力，也培養(yǎng)了學(xué)生演繹推理的能力。

二、在課外學(xué)習(xí)中設(shè)計(jì)分層作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

林崇德認(rèn)為推理能力分為四級(jí)水平：第一級(jí)，直接推理水平。具體表現(xiàn)為套公式、用單個(gè)概念直接推出結(jié)論。第二級(jí)，間接推理水平。需要對(duì)條件進(jìn)行變換、化歸，多步驟地進(jìn)行推理得出結(jié)論。第三級(jí)，迂回推理水平。分析前提，提出假設(shè)，并進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證后才導(dǎo)出結(jié)論。第四級(jí)，綜合推理水平。能根據(jù)需要選擇相應(yīng)的推理方式，推理過(guò)程簡(jiǎn)練、合理。既然學(xué)生的推理能力水平不同，就有必要通過(guò)作業(yè)分層，有針對(duì)性的發(fā)展學(xué)生的推理能力。

一般認(rèn)為，分層作業(yè)是指優(yōu)化的彈性作業(yè)結(jié)構(gòu)，它針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平層次進(jìn)行分類，目的是使不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)得到不同程度的提高。分層作業(yè)是與統(tǒng)一要求的作業(yè)相對(duì)立的一種作業(yè)類型。

分層作業(yè)的設(shè)計(jì)也就是要在合理地對(duì)學(xué)生分層的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)優(yōu)等生、中等生和學(xué)困生的學(xué)習(xí)差異，保護(hù)每一個(gè)學(xué)習(xí)群體的心智發(fā)育水準(zhǔn)，安排與其學(xué)習(xí)能力、掌握能力范圍內(nèi)相符合的適度作業(yè)。

總之，培養(yǎng)合情推理的基本途徑是：觀察為基礎(chǔ)；聯(lián)想為橋梁；想象為動(dòng)力；創(chuàng)新為目的。要設(shè)置現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與“過(guò)程”；要精心組織、設(shè)計(jì)形式多樣的分層作業(yè)，并真正鼓勵(lì)學(xué)生、尊重學(xué)生、學(xué)生合作。這樣，就能拓寬發(fā)展學(xué)生合情推理能力的空間，從而有效地發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。對(duì)于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，會(huì)解決問(wèn)題，而且能使學(xué)生掌握在新問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)該如何應(yīng)對(duì)的思想方法。對(duì)于老師，研究合情推理教學(xué)能提高自己的業(yè)務(wù)水平，增加課堂教學(xué)的趣味性，使教學(xué)更加有條理。