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    非圓齒輪齒廓曲線設(shè)計的力臂函數(shù)法

    2018-06-19 02:31:44石,
    關(guān)鍵詞:等距齒廓力臂

    程 金 石, 孔 祥 沅

    ( 大連工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院, 遼寧 大連 116034 )

    0 引 言

    非圓齒輪是對滾節(jié)曲線不再為圓或圓弧形,而是按給定傳動比變化規(guī)律設(shè)計的一種實現(xiàn)非線性傳動的異形齒輪[1]。它主要在儀器儀表[2-3]和自動裝置[4]中實現(xiàn)特殊的運動和函數(shù)運算[5],如擺動[6]、分度[7]、變速[8]等。一對非圓齒輪節(jié)曲線的純滾動是靠主動輪齒廓推動與之共軛的從動輪齒廓進(jìn)行的,并且非圓齒輪每個齒的齒廓都不同,因此,針對不同的應(yīng)用場合如何準(zhǔn)確高效地找到更合適的共軛齒廓及其設(shè)計方法尤為重要。非圓齒輪齒廓求解方法主要有解析法、折算齒形法[1]、齒廓的漸屈線法[9]、包絡(luò)加工法和齒廓法線法[10]等。其中求解非圓齒輪共軛齒廓常用的已知條件為加工刀具和共軛齒廓,如可利用齒輪刀[11]或非圓齒輪主動輪做刀具[12],并結(jié)合凸包算法中的Jarvis步進(jìn)法來優(yōu)化刀具包絡(luò)生成非圓齒輪齒廓的方法[13]。此外,文獻(xiàn)[14-15]提出定嚙合角原理求解非圓齒輪共軛齒廓。Lozzi[16]通過推導(dǎo)橢圓齒輪漸開線齒廓的4種可能的基曲線類型求解橢圓齒輪共軛齒廓。而設(shè)計非圓齒輪共軛齒廓方法是設(shè)定和表達(dá)已知條件的方法。文獻(xiàn)[17-18]基于Roulette理論,通過建立瞬心線、旋輪線和接觸跡之間的數(shù)學(xué)模型來設(shè)計非圓齒輪共軛齒廓。林菁[19]提出構(gòu)造嚙合角函數(shù)直接設(shè)計非圓齒輪齒廓的嚙合角函數(shù)法。文獻(xiàn)[20-21]通過建立任意形式的齒條刀齒廓或嚙合軌跡模型,設(shè)計自由形式非圓齒輪共軛齒廓。

    上述方法均以幾何條件作為初始設(shè)計條件,傳動特性被動得到。本研究基于齒廓主動設(shè)計理念,提出一種直接將傳動特性作為設(shè)計條件,通過構(gòu)造傳動特性函數(shù)并幾何化,進(jìn)而求得齒廓曲線。這樣得到的非圓齒輪齒廓曲線既滿足Willis定理,又能實現(xiàn)預(yù)期的傳動特性。

    1 齒廓曲線的設(shè)計條件

    一對非圓齒輪的傳動過程可以看作是兩條節(jié)曲線相切地做純滾動。此間,至少有一對共軛齒廓處于嚙合狀態(tài)。節(jié)曲線上不同點成為瞬心時,齒廓曲線上有相應(yīng)的點成為嚙合點。因此,齒廓曲線可以看作是節(jié)曲線的伴隨曲線。根據(jù)Willis定理,齒廓曲線可以表示為

    (1)

    式中:θ為瞬心線上點的相位角,作為運動瞬時參數(shù);r(θ)和R(θ)分別為瞬心線上和齒廓曲線上對應(yīng)θ瞬時的點;n(θ)為R(θ)的法矢,始終指向R(θ) 外側(cè);l(θ)為沿n(θ)方向r(θ)到R(θ)的位移。

    由式(1)中R(θ)得

    R′(θ)=r′(θ)+l′(θ)·n(θ)+l(θ)·n′(θ)

    (2)

    式(2)代入式(1)R′(θ)得

    (3)

    式中:θc為齒廓曲線與節(jié)曲線相交時對應(yīng)的運動瞬時參數(shù)??梢?,l(θ)不是獨立的參數(shù)。在給定節(jié)曲線r(θ)條件下,齒廓曲線R(θ)完全決定于n(θ),齒廓曲線的設(shè)計條件就是設(shè)計n(θ)函數(shù)。當(dāng)按與r′(θ)的夾角為常數(shù)設(shè)計n(θ)時,即為齒條法;當(dāng)按與r(θ)垂線的夾角α設(shè)計n(θ)時,即為嚙合角函數(shù)法。本文通過反映傳動特性的力臂函數(shù)設(shè)計n(θ)求解齒廓曲線。

    2 力臂函數(shù)

    如圖1所示,當(dāng)非圓齒輪節(jié)曲線上r(θ)為瞬心時,齒廓上R(θ)為嚙合點。若忽略摩擦,該嚙合點所受接觸力F必沿內(nèi)法線方向,即沿n(θ)的反方向。過回轉(zhuǎn)中心O作n(θ)的垂線,垂足為B,設(shè)O到B的距離為b??梢钥闯觯琤就是接觸力驅(qū)動齒輪繞O點回轉(zhuǎn)的力臂。顯然,b是θ的函數(shù),即b=b(θ)。對于具體機構(gòu),由機構(gòu)負(fù)載條件可以得出驅(qū)動力矩函數(shù)M(θ)。而M(θ)=F(θ)·b(θ),所以可以通過調(diào)整b(θ)的大小來控制F(θ),以滿足一定受力準(zhǔn)則。相反,在已知M(θ) 條件下,為獲得按受力準(zhǔn)則確定的F(θ),b(θ) 必須滿足一定條件,即b(θ)=M(θ)/F(θ),由此得到b(θ)函數(shù)稱為力臂函數(shù)。由力臂函數(shù)確定的B點的軌跡稱為力臂曲線,記為B(θ),見圖1。設(shè)B(θ)到r(θ)的轉(zhuǎn)角為α,則有

    (4)

    式中:|r(θ)|是r(θ)的模。故B(θ)的方程為

    B(θ)=b(θ)·e(θ+α)

    (5)

    式中:e(θ+α)為圓矢量函數(shù)。

    對于給定的非圓齒輪機構(gòu),運動規(guī)律決定了節(jié)曲線形狀,負(fù)載規(guī)律和受力條件決定了力臂曲線形狀。所以,節(jié)曲線可以看作是機構(gòu)運動信息的幾何表征,力臂曲線可以看作是機構(gòu)驅(qū)動信息的幾何表征。通過這兩條曲線設(shè)計的齒廓,既可以滿足運動條件,又可以滿足驅(qū)動條件。

    圖1 力臂曲線與齒廓法矢

    此外,圖1中的α角和文獻(xiàn)[19]中嚙合角在數(shù)值上完全相等,這給本文設(shè)計齒廓的幾何分析帶來便利。

    3 力臂函數(shù)法的原理

    齒廓曲線的設(shè)計在本質(zhì)上就是設(shè)計齒廓曲線的外法矢n(θ)。該法矢既要過瞬心r(θ),又要過力臂端點B(θ),以實現(xiàn)要求的力臂b(θ)。其方向應(yīng)與嚙合點受力方向相反,即由B(θ)指向r(θ)。所以齒廓外法矢n(θ)為

    (6)

    式中,B(θ)≠r(θ)。對于非圓齒輪來說,齒廓曲線有左右兩側(cè)之分,嚙合時分別驅(qū)動齒輪逆時針回轉(zhuǎn)(正齒廓)和順時針回轉(zhuǎn)(負(fù)齒廓)。針對具體齒輪的不同回轉(zhuǎn)方向,力臂函數(shù)可根據(jù)負(fù)載條件和力學(xué)準(zhǔn)則設(shè)計為相同函數(shù)或不同函數(shù)。力臂函數(shù)確定之后,對于正齒廓曲線,力臂曲線方程B(θ)可由公式(5)得出;而對于負(fù)齒廓曲線,力臂曲線方程則變?yōu)?/p>

    B(θ)=b(θ)·e(θ-α)

    (7)

    在已知節(jié)曲線條件下,運用力臂函數(shù)及力臂曲線,確定齒廓曲線法矢n(θ),進(jìn)而得到齒廓曲線的方法稱為齒廓曲線設(shè)計的力臂函數(shù)法。

    力臂函數(shù)法設(shè)計齒廓曲線的優(yōu)點在于所有同側(cè)齒廓的設(shè)計基于一個力臂函數(shù),而這個力臂函數(shù)的得出是基于一定的接觸力條件和接觸強度準(zhǔn)則等傳動特性。故所得齒廓可使非圓齒輪副傳動時能實現(xiàn)預(yù)期的傳動特性,達(dá)到提高接觸強度、降低振動和噪音等目的。而基于單個齒廓的設(shè)計方法,由于節(jié)曲線的非圓特性及齒廓的離散特性,不同齒廓的力臂曲線可能不同。這將導(dǎo)致不同齒廓嚙合時驅(qū)動力臂跳躍式變化,進(jìn)而導(dǎo)致接觸力突變,由此帶來振動沖擊、噪音等不利影響。

    4 齒廓曲線的等距特性

    在公式(3)中,當(dāng)θ=θc時,l(θ)=0,此時R(θ)=r(θ),即齒廓曲線上的點R(θc)與節(jié)曲線上的對應(yīng)點r(θc)重合。在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下,θc取不同值時,由公式(3)及公式(1)將得到不同的齒廓曲線,這些齒廓曲線分別與節(jié)曲線交于不同的r(θc)點,這些交點稱為節(jié)曲線的分齒點。可見,過節(jié)曲線上不同的分齒點可以得到不同的齒廓曲線,可以用分齒點的位置參數(shù)θc表征齒廓曲線。

    設(shè)同一對節(jié)曲線和力臂曲線條件下,有兩條齒廓曲線R1(θ)和R2(θ),見圖2。由于在同一坐標(biāo)系下,不同齒廓曲線對應(yīng)同一θ的r(θ)和n(θ) 均相同,所以這兩條齒廓曲線的方程為

    (8)

    (9)

    由式(8)、式(9)得

    (10)

    (11)

    則對于給定的兩條齒廓曲線l21為常數(shù)。于是有

    R2(θ)=r(θ)+l2(θ)·n(θ)=

    r(θ)+[l21+l1(θ)]·n(θ)=

    R1(θ)+l21·n(θ)

    (12)

    由于n(θ)為R1(θ)的法矢且l21為常數(shù),所以公式(12)表明,R2(θ)為R1(θ)的等距曲線??紤]到θc1和θc2的一般性,可以得出結(jié)論:在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下,過節(jié)曲線上不同分齒點的齒廓曲線均為等距曲線。此結(jié)論的重要意義在于:利用一條整周期的齒廓曲線即可描述所有同側(cè)齒廓的幾何信息,這給非圓齒輪的齒廓設(shè)計和分析帶來極大便利,也是本文所述齒廓設(shè)計方法的另一個優(yōu)點。

    整周期齒廓曲線的起點應(yīng)位于力臂曲線,假設(shè)此時對應(yīng)的參數(shù)為θ0。對于正齒廓曲線,轉(zhuǎn)角以逆時針為正,θ0小于θc且滿足

    (13)

    此時,由公式(1)、(3)、(6)有:R(θ0)=B(θ0)。整周期齒廓曲線終點對應(yīng)的參數(shù)為

    θ1=θ0+2π

    (14)

    對于負(fù)齒廓曲線,轉(zhuǎn)角以順時針為正,公式(13)及(14)仍然成立。

    圖2 齒廓曲線的等距性

    5 設(shè)計步驟及實例

    5.1 設(shè)計步驟

    基于力臂函數(shù)法原理及齒廓曲線的等距特性,非圓齒輪齒廓設(shè)計步驟如下:

    (1)由機構(gòu)運動規(guī)律求出節(jié)曲線r(θ);

    (2)確定節(jié)曲線上各分齒點位置θci;

    (3)由負(fù)載條件和受力準(zhǔn)則求出力臂函數(shù)b(θ) 及力臂曲線B(θ);

    (4)由式(6)確定齒廓法矢n(θ);

    (5)由式(3)及式(1)求出過分齒點θc1的整周期齒廓曲線R1(θ);

    (6)利用等距特性由公式(11)、(12)求出過其他分齒點的齒廓曲線R2(θ);

    (7)以齒頂曲線和齒根曲線截取各齒廓曲線,并作出過渡曲線。

    至此,非圓齒輪的一側(cè)齒廓設(shè)計完成,另一側(cè)齒廓設(shè)計亦按同樣步驟。與之嚙合的另一個非圓齒輪的齒廓則可按齒廓法線法直接求得,無須單獨設(shè)計。

    5.2 計算實例

    以橢圓節(jié)曲線齒輪為例,取其幾何中心為齒輪回轉(zhuǎn)中心,橢圓參數(shù):半長軸a=28,偏心率e=0.6。力臂曲線為圓心與橢圓中心重合的圓,圓半徑為20,即力臂函數(shù)b(θ)=20。利用Matlab編程得到的完整齒廓曲線,如圖3所示。圖中V1為正轉(zhuǎn)齒廓曲線,V2為反轉(zhuǎn)齒廓曲線。

    圖3 正轉(zhuǎn)及反轉(zhuǎn)完整齒廓曲線

    設(shè)齒輪齒數(shù)z=17,按等極角方式分齒(即各相鄰分齒點弧段對齒輪中心的張角相等),齒頂高為1.4,齒根高為1.5,得到的各齒廓曲線如圖4所示。圖中所有正轉(zhuǎn)齒廓均為圖3中V1的等距曲線,可在該曲線上截取并作等距線得到。同樣,所有反轉(zhuǎn)齒廓均可由圖3中V2上截取并作等距線得到。

    圖4 同側(cè)齒廓曲線的等距性

    需要說明的是,本算例只是表明利用力臂函數(shù)法生成齒廓曲線的可行性,具體參數(shù)的合理性及優(yōu)化求解有待后續(xù)研究。

    6 結(jié) 論

    在給定運動規(guī)律(或節(jié)曲線)條件下,齒廓曲線完全決定于其法矢n(θ),設(shè)計齒廓曲線就是設(shè)計其法矢n(θ)。反映負(fù)載條件和受力準(zhǔn)則的力臂函數(shù)可以作為齒廓曲線法矢設(shè)計的有效工具,它建立了齒廓幾何特征和運動副傳動特性的聯(lián)系。選取合適的力臂函數(shù)后,基于本文方法得到的同側(cè)齒廓互為等距曲線,一條整周期的齒廓曲線可反映所有同側(cè)齒廓的幾何信息,給非圓齒輪的齒廓設(shè)計和分析帶來很大便利。

    按力臂函數(shù)法所設(shè)計的非圓齒輪齒廓不是以齒條齒廓為必要幾何條件,故齒條類刀具的滾齒或插齒不是其通用加工方法。對于直齒非圓齒輪,線切割是其有效加工手段。若需進(jìn)一步精加工,可在工作臺具有兩個移動坐標(biāo)和一個回轉(zhuǎn)坐標(biāo)的數(shù)控機床上采用蝶形砂輪端面磨削完成。而對于斜齒非圓齒輪的加工則需進(jìn)行后續(xù)研究和探討。

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