高中數(shù)學常用不等式求解分析

河南省鄭州龍湖一中 潘其淵

不等式屬于高中試卷中的常見題型，考題形式多樣，充滿靈活性，從基本填空題到綜合型大題各類題型均可能考察到。高中生在日常的學習當中，若無法準確的掌握高中數(shù)學不等式解題技巧，不僅不能掌握數(shù)學知識，提高數(shù)學成績，而且還會在數(shù)學習題解答中遇到困難，降低解題速度。因此幫助學生加強對這部分知識的掌握和了解迫在眉睫。

一、不等式的類型

高中數(shù)學中常見不等式主要有：

1.一元一次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的不等式。

2.一元二次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式。

3.一元高次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的不等式。

4.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數(shù)的不等式。

5.絕對值不等式：含有絕對值符號的不等式。

6.無理不等式：含有根號且根號中含有未知數(shù)的不等式。

二、不同類型不等式的解法

1.一元一次不等式解法

解這種不等式最終歸結為解最基本不等式

ax ＞ b(或ax＜b，ax ≥ b，ax ≤ b)。 以ax ＞ b(a, b ∈ R)為例，若a＞0則解為若a＜0，則解為；若a=0，則，若，則解為；x ∈ R（2）若b≥0，解為x∈φ。

一元一次不等式簡單易懂，不易出錯，一般不會直接出考題，但是一元一次不等式是解其他類型不等式的基礎，需要熟練掌握。

2.一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式為（或≥0）和。一元二次不等式可用因式分解或配方法求解，也可根據(jù)一元二次方程的根及二次函數(shù)的圖像的關系求解。若能因式分解，則可以直接求解，若不能，則可用判別法，先求方程的根，根據(jù)方程的根求不等

式的解。具體解法為：令x1, x2為方程

的兩個根，且則

（1）ax2+b x+c ＞ 0(a ＞0)，則：①若 ?＞0，則不等式的解為(?∞, x1)∪(x2,+∞)；②若 ?=0，則不等式的解為③若?＜0，則不等式的解為R。

（2）ax2+b x+c＜0(a ＞0)，則①若 ? ＞0，則不等式的解為(x1, x2)；②若?≤0，則不等式的解為φ。

一元二次不等式和一元一次不等式的解法是解不等式的基礎，無論是解高次不等式、絕對值不等式還是無理不等式，最終是通過代數(shù)變形后，轉化為一元一次不等式、一元二次不等式組來求解。

3.一元高次不等式的解法

最簡單常用的解高次不等式f(x)＞ 0（或＜0）的方法是標根法。具體為：把方程f(x)= 0的根標在數(shù)軸上，形成若干個區(qū)間，最右端的區(qū)間f(x)的值必為正值，從右往左通常為正值、負值依次相間，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根，穿過最后一個點后不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法”。如果不等號為“＞”，則取數(shù)軸上方穿根線以內的范圍；如果不等號為“＜”則取數(shù)軸下方穿根線以內的范圍。

例1：求(x?2)(x?1)(x+1)＞ 0的解

在數(shù)軸上標根得：x1=?1 ,x2= 1 ,x3=2，畫穿根線：由右上方開始穿根，如圖1所示。

因為不等號為“”則取數(shù)軸上方，穿根線以內的范圍，即：?1＜x＜1或x＞2。

圖1 (x?2)(x?1)(x+1)＞ 0的解

當不等式中含有重根時，若重根為偶數(shù)冪項時，穿根線不穿過偶數(shù)冪項的根。但是若重根為奇數(shù)冪項，穿過奇數(shù)冪項的根，也就是說是奇過偶不過。

例2：求(x+4)(x+5)2(x?2)3＜0

在數(shù)軸上標根得：x1=?5 ,x2=?4 ,x3=2，畫穿根線：由右上方開始穿根，如圖2所示。

因為不等號為“”則取數(shù)軸下方穿根線以內的范圍。即：?4＜x＜2。

圖2 (x+4)(x+5)2(x?2)3＜0的解

注意事項：一定要保證最高次數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，前的符號要為正。

4.分式不等式的解法

對于高次或分式不等式，都可轉化為整式不等式

將分式不等式化為整式不等式后，就可以用整式不等式的方法求解。

注意事項：（1）對于分式不等式，要注意是否含有分母的根的解，分母不能為零；（2）去掉分母因式時，要考慮分母的正負取值。

5.絕對值不等式的解法

解含有絕對值的不等式關鍵就是要去絕對值符號，普遍解法是利用絕對值定義，分區(qū)間進行符號判斷，弄成分段函數(shù)，或采用平方、幾何意義、零點區(qū)域法，談論絕對值里面的正負號，去掉絕對值，然后再進行求解。去掉絕對值符號，把它轉化為一般的不等式求解。

例3：解不等式

（1）定義法

（2）平方法

若x＜0，原不等式恒成立；

若x≥0，兩邊平方得

用穿針引線法求得0＜x＜1 或 x ＞3，則不等式的解集為

6.無理不等式的解法

無理不等式最終都是可以化為如下形式：

無論是哪種無理不等式，都是要去掉根號，轉化成有理不等式，然后按照有理不等式的解法求解。

注意事項：（1）根號下部分必須有意義，即必須為非負值；（2）若用乘方法去掉根號，必須考慮不等式兩邊必須非負的條件。

三、結語

綜上所述，學好不等式，基礎是關鍵，要熟練掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法。在此基礎上，求解其他類型的不等式。在求解復雜的不等式時，一定要注意不能遺漏不等式里包含的各種隱形條件，才能求得正確的解。另外尤其要注意的是，無論何種解法，在不等式的變形過程中，都必須保證每步變形是同解變形。

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