拉長數(shù)學(xué)教研的歷程
——以“嘗試與猜測”教學(xué)為例

◇閆金艷

一 我的困惑

“嘗試與猜測”是北師大版教材五年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”的內(nèi)容，主要內(nèi)容是借助“雞兔同籠”這個載體，讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會解決問題的一般策略——列表。

課中我引導(dǎo)學(xué)生以假設(shè)法和列表法為主解決問題。課后有學(xué)生質(zhì)疑：“遇到這類問題用假設(shè)法就行了，為什么還要學(xué)習(xí)其他方法？都不如假設(shè)法好用?！贝藭r，我不知該如何回答，便一句話給掩飾了過去。

做課后練習(xí)時，學(xué)生的表現(xiàn)卻出乎意料，我以為學(xué)生能夠靈活運用幾種方法解決問題，學(xué)生卻出現(xiàn)很多問題。如有的學(xué)生只知套用假設(shè)法思路列式計算，卻不知道算出來的結(jié)果是雞的只數(shù)還是兔的只數(shù)；有的只知雞兔，不知其他，不能舉一反三。

這些實際情況使我產(chǎn)生了困惑：教材中讓我們運用嘗試與猜測的價值何在？數(shù)學(xué)老師該如何做才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，掌握分析問題的思想方法呢？

于是，我們幾位數(shù)學(xué)老師采用了“互助式觀課”的教研活動，圍繞課前準(zhǔn)備、教學(xué)實踐、課后交流等幾個方面展開討論。

二 初次教研——峰回路轉(zhuǎn)

1.課前準(zhǔn)備——絞盡腦汁。

課前，我們先進(jìn)行了教材分析與學(xué)情調(diào)研。首先，我們將北師大版教材各年級出現(xiàn)的列表法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)“嘗試與猜測”這一內(nèi)容，主要是借助“雞兔同籠”這個載體，鼓勵學(xué)生在嘗試和不斷調(diào)整的過程中，體會列表這一解決問題的策略。我們還與其他版本教材進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)北師大版教材注重讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、列舉、不斷調(diào)整數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間關(guān)系和變化規(guī)律的過程，在不斷深入研究列表的基礎(chǔ)上與其他解題方法進(jìn)行溝通和聯(lián)系。

其次，我們進(jìn)行了學(xué)生調(diào)研，前測題目為：“雞兔同籠，共有 30個頭，88 只腳，雞、兔各有多少只？ ”前測結(jié)果如下：在調(diào)查的35人中，能解決問題的共25人（約占71%），他們所用的方法如表1。

表1 能解決問題的學(xué)生所用的方法

在前測中，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了解決“雞兔同籠”問題的方法，可以看出抽象的假設(shè)法在多種方法中占據(jù)了很高的比例，但學(xué)生真正理解假設(shè)法了嗎？通過訪談得知，很多學(xué)生是通過課外學(xué)習(xí)知道假設(shè)法的，更多的是套公式。其實對學(xué)生而言，“列表嘗試法”更符合學(xué)生的認(rèn)知。學(xué)生受“雞兔同籠”情境束縛，無法回到“原始”狀態(tài)。為此，我們根據(jù)學(xué)生生活實際，大膽調(diào)整“雞兔同籠”情境，創(chuàng)設(shè)了一個類似問題，并以這個情境導(dǎo)入，以期激發(fā)學(xué)生原始的經(jīng)驗，嘗試解決新問題。

2.第一次實踐——迫不及待。

有了以上的思考后，我們進(jìn)行了教學(xué)實踐。由一位老師執(zhí)教這節(jié)課，其他老師進(jìn)行課堂觀察，并記錄發(fā)現(xiàn)的問題。

師：學(xué)校組織各年級進(jìn)行乒乓球比賽，可以有20 桌同時進(jìn)行比賽，有66人參加，你知道有幾桌進(jìn)行單打，幾桌進(jìn)行雙打嗎？在紙上記錄你的思考過程。

（學(xué)生獨立思考，教師巡視并選擇學(xué)生作品進(jìn)行展示）

作品: 4+2＝6 66÷6＝11 20-11＝9

師：這樣做可以嗎？

生：不行，安排11 桌單打、9 桌雙打不能滿足人數(shù)共有66人。

師：那該怎樣有序地記錄呢？

生：一個一個地試。

師：請把你的方法有順序地記錄下來。

這一教學(xué)片段中，教師能及時捕捉錯例，但在呈現(xiàn)錯例后，倉促地讓學(xué)生解釋是怎么回事，教師沒有進(jìn)一步分析，而是轉(zhuǎn)入自己設(shè)定好的環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生將單打與雙打的桌數(shù)一個一個地試試去解決問題。

課后，大家進(jìn)行了討論，交流中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們專注于教學(xué)研究時，當(dāng)我們一心想要實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)時，總會遇到“教”與“學(xué)”難以銜接的問題，作為教學(xué)主體的學(xué)生，他們怎樣思考問題？他們遇到了什么困難呢？

3.教師交流——茅塞頓開。

這節(jié)課，學(xué)生在解決這個問題時是有很多困難的，如大部分學(xué)生沒有解決問題的思路。如何從此處入手，鼓勵學(xué)生尋找困難的原因，經(jīng)歷尋找方法的過程，理解選擇嘗試法的根本原因呢？

如，在給出問題后，可以詢問學(xué)生：哪些同學(xué)已經(jīng)解決了這個問題？沒有解決問題的遇到了什么困難？我們一起來交流，說不定能解決你的難題呢。交流后從錯例入手，期望學(xué)生有更多的思路去解決問題。

出示以下錯例：

與學(xué)生一起分析錯例，從以下幾個角度入手：錯例①說明不全是單打或雙打，錯例②說明單打與雙打的桌數(shù)不會同樣多。

從以上錯例我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維能給我們帶來很多有價值的信息。那么，該怎樣思考這個問題呢？啟發(fā)學(xué)生既要考慮一桌單打與一桌雙打各需要幾個人，還要考慮怎樣安排能滿足桌數(shù)是20，總?cè)藬?shù)是66。同時，讓學(xué)生思考：這個問題難在哪里？與以前學(xué)的有何不同？

在教研交流中，我們越來越強烈地感受到，分析學(xué)生出現(xiàn)困難的原因，改變學(xué)生原有的思維方式非常重要，因為學(xué)生是教育教學(xué)中最重要的資源，教師越了解學(xué)生真實的想法，越能深入探究知識的本質(zhì)，教學(xué)就越有針對性。

三 再次教研——走向深入

1.第二次教學(xué)實踐——找到方法。

修改教學(xué)設(shè)計后，我們再次走上講臺。特別提醒觀察的老師要及時捕捉學(xué)生的困難，并適時引導(dǎo)學(xué)生之間相互啟發(fā)，記錄學(xué)生的思考方法，逐一展示與交流。

生1：我先假設(shè)有1 桌單打，19 桌雙打，共有78人，比66人多，可以增加單打人數(shù)，減少相同數(shù)量的雙打的桌數(shù)，我發(fā)現(xiàn)增加1 桌單打，減少1 桌雙打，人數(shù)就會減少2，按照這樣的規(guī)律試下去，就會試到符合要求的人數(shù)。（如圖1）

師：他采用逐一列舉的方法，先滿足20 桌這個條件，在不斷的嘗試中去滿足66人，順利地解決了問題。

生2：我先假設(shè)單打與雙打的各有10 桌，然后根據(jù)總?cè)藬?shù)是否滿足66人進(jìn)行調(diào)整。（如圖2）

圖2

師：你是怎樣想到這種方法的？

生：這種方法可以縮小列舉的范圍。

生3：我是跳著列舉的，先假設(shè)有1 桌單打，19 桌雙打，共有78人，比 66人多，我再增加 1桌單打的，這時候總?cè)藬?shù)是76，比66人多了10人，我就直接減少5 桌雙打的，就找到答案了。（如圖 3）

圖3

師：跳著列舉，靠計算指揮“跳”，很快就能找到答案。

生4：我是用假設(shè)法計算的。假設(shè)20 桌全是單打，那么比實際少了26人，然后每把一桌單打換成雙打，人數(shù)就增加2，因此26 除以2 等于13，有 13 桌雙打，7 桌單打。

師：這么多方法都能解決問題，你喜歡哪種方法？

課上老師一個個地出示學(xué)生作品，讓學(xué)生說說自己的想法。那么，有沒有更好的設(shè)計，既能讓學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)各種方法的特點，又能深入溝通方法之間的聯(lián)系呢？

2.再次交流——深度思考。

本節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)目標(biāo)定位于幫助學(xué)生經(jīng)歷嘗試、分析和不斷調(diào)整的過程。課堂上，教師在實現(xiàn)這一目標(biāo)時不能急于尋求到最終結(jié)果，而是在尋求的過程中，放慢前進(jìn)的腳步，鼓勵學(xué)生通過觀察、對比，發(fā)現(xiàn)各種列舉方法中蘊含的規(guī)律，通過分析找到調(diào)整的方向，不斷完善列表方法。

首先，建議教師將幾個作品放在一起，請學(xué)生解讀，發(fā)現(xiàn)這些作品的相同處和不同處，讓他們體會到列表的方法具有思考有序、系統(tǒng)完整、一一對應(yīng)、符號簡潔、準(zhǔn)確率高等諸多優(yōu)點。

其次，我們要幫助學(xué)生體驗解決問題方法的多樣性，列表法、假設(shè)法、列方程等并不是孤立存在的，相互之間有著必然的聯(lián)系，在展現(xiàn)方法時要抓住各種方法之間的聯(lián)系，將多種方法有機結(jié)合，使整個教學(xué)過程銜接緊密。

其實，列表法蘊含著假設(shè)法思維的雛形，通過按順序列表就可以讓學(xué)生初步感知：隨著雙打或單打桌數(shù)的調(diào)整，人數(shù)會發(fā)生有規(guī)律的變化。會用跳躍列表嘗試解決問題的學(xué)生就已經(jīng)基本抓住了假設(shè)法的思考方式，取中列表實際上就是一種取中假設(shè)。在教學(xué)中，我們不僅要注重學(xué)生間分享解決策略，還要注重溝通策略之間的聯(lián)系。

四 教研帶給我們的啟示

在教研中，我們越來越清楚地認(rèn)識到，學(xué)生對知識的深刻體驗，基于教師對教材和學(xué)生的分析及獨具匠心的教學(xué)設(shè)計。

首先，我們要仔細(xì)研讀教材，了解教材編寫的意圖。建議梳理一個教學(xué)主題在各年級所涉及的教學(xué)內(nèi)容和要求，做到心中有數(shù)，這樣教學(xué)時才能有目的、有重點地教學(xué)。從知識框架、呈現(xiàn)形式、數(shù)學(xué)思想、表達(dá)方式等方面，用全局觀指導(dǎo)教學(xué)。

其次，我們要分析學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。要不斷思考學(xué)生可能會遇到哪些困難，產(chǎn)生哪些錯誤。在仔細(xì)分析學(xué)生學(xué)習(xí)困難的基礎(chǔ)上，有針對性地制定學(xué)習(xí)目標(biāo)，使“教”真正為“學(xué)”服務(wù)。

最后，聯(lián)系整合，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)系統(tǒng)化。數(shù)學(xué)知識間是有聯(lián)系的，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律，幫助學(xué)生建構(gòu)知識之間的聯(lián)系。如“嘗試與猜測”這節(jié)課中，注重列表法與假設(shè)法之間的聯(lián)系，在動態(tài)演示中幫助學(xué)生體會解決問題的思維方法。

總之，教研讓我們更加清楚，教師要善于在日常的教學(xué)中積累經(jīng)驗，及時審慎思考自己的教育行為，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)慢下來，真正實現(xiàn)教學(xué)相長。