一類具有階段結(jié)構(gòu)和因病死亡的SIRS傳染病模型的穩(wěn)定性

摘要：利用微分方程的穩(wěn)定性理論、種群動(dòng)力學(xué)理論及傳因病死亡染病模型的研究方法，根據(jù)不同程度的感染者有不同的傳染率，建立一個(gè)具有階段結(jié)構(gòu)和的傳染病模型，得到了模型的閾值參數(shù) ，根據(jù)赫爾維茨判別方法，證明了模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，證明了模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：階段結(jié)構(gòu)；閾值參數(shù)；流行病模型；局部性態(tài)；全局性態(tài)

0引言

傳染病已經(jīng)是當(dāng)今世界人類面臨的一個(gè)共同問(wèn)題之一，隨著科技的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)的繁榮，除了引發(fā)環(huán)境問(wèn)題，由之引起的還有傳染病問(wèn)題. 傳染病是危及人類身體健康的重要因素之一，長(zhǎng)期以來(lái)一直受到世界各國(guó)的關(guān)注.全球經(jīng)濟(jì)的一體化促進(jìn)了人員的頻繁交流和接觸、全球環(huán)境污染日趨惡化等因素加劇了傳染病的傳播.因此研究傳染病的傳播過(guò)程、內(nèi)在規(guī)律及其如何采取控制措施具有十分重要的意義.

數(shù)學(xué)建模就是利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]第三章介紹了通過(guò)微分方程建模研究實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，研究傳染病問(wèn)題的一種重要方法就是微分方程理論，文獻(xiàn)[2]介紹了解微分方程的一些方法。前人的傳染病模型很少在考慮不同傳染程度的不同傳染率的同時(shí)考慮因病死亡率，文獻(xiàn)[2]研究階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及模型的全局穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[3]研究了SIS模型的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]是運(yùn)用特征方程及輔助系統(tǒng)證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[5-7]研究了階段結(jié)構(gòu)的模型，但文獻(xiàn)[5-9]都沒(méi)有將不同感染程度的問(wèn)題考慮進(jìn)去。本文中，分為輕度傳染病患者與重度傳染病者兩個(gè)不同階段，并以雙線性傳染率為前提，建立了有階段結(jié)構(gòu)和因病死亡的SIRS傳染病模型，具體模型如下：

表示易感患者數(shù)量； 表示輕度感染患者數(shù)量； 表示重度感染患者數(shù)量； 表示免疫人數(shù)的數(shù)量； 是單位時(shí)間內(nèi)種群輸入率并假設(shè)均為易感者； 表示因病的死亡率； 表示自然死亡率； 表示自然死亡率和因病死亡率之和； 表示輕度感染者傳染率； 表示重度感染者傳染率； 表示最終治愈率； 表示由輕度到重度的轉(zhuǎn)化率； 表示輕度感染者的恢復(fù)率； 表示重度感染者的恢復(fù)率；其中，各項(xiàng)系數(shù)均為正常數(shù)。

1 模型平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性分析

令 ，由方程組

得：無(wú)病平衡點(diǎn) ；地方病平衡點(diǎn) 其中：

， ，

，

定理1 如果 ，則系統(tǒng)（1）存在無(wú)病平衡點(diǎn) ，是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)（1）的雅克比行列式為

由（3）得：無(wú)病平衡點(diǎn) 處的特征方程為：

的特征根

設(shè) 的解 ， 則有

解之， 的實(shí)部為負(fù)。

所以，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn) 是局部漸近且穩(wěn)定的。

定理2 如果 時(shí)，則系統(tǒng)（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 在 處系統(tǒng)（1）的線性近似系統(tǒng)為：

則，系統(tǒng)（4）的雅克比行列式為可得，平衡點(diǎn) 處系統(tǒng)的特征方程為：

根據(jù) 的值得

由于 ，由赫爾維茨判別方法，本方程特征方程的根實(shí)部均為負(fù)，我們可以得到，在平衡點(diǎn) 處是局部穩(wěn)定的。因此，當(dāng) ，時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸進(jìn)且穩(wěn)定的。

2 模型平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性分析

定理3 如果 ，系統(tǒng)（1）在無(wú)病平衡點(diǎn) 處是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明：構(gòu)造函數(shù)：

因此， 時(shí)，則系統(tǒng)（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 是局部漸近穩(wěn)定的.

定理4 如果 ，且 時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 且全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明 構(gòu)造函數(shù)

則由此，無(wú)病平衡點(diǎn) 是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)和因病死亡的SIRS傳染病模型，具有因病死亡率、自然死亡率，以及因病死亡率和自然死亡率之和，證明了 時(shí)，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn) 是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的； 時(shí)，則地方病平衡點(diǎn) 是局部穩(wěn)定的，疾病消亡.在此基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造 函數(shù)，進(jìn)一步得到系統(tǒng)（1）的全局穩(wěn)定性，如果 ，且 時(shí)，系統(tǒng)（1）無(wú)病平衡點(diǎn) 不是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；如果 ，且 時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一的地方病平衡點(diǎn) 且全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

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基金項(xiàng)目：陜西省教育廳專項(xiàng)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目：“一帶一路”背景下地方高校中外合作辦學(xué)新模式探索——以渭南師范學(xué)院為例（17JK0259）； 渭南師范學(xué)院教育科學(xué)國(guó)際合作項(xiàng)目：基于數(shù)學(xué)模型的中外合作辦學(xué)評(píng)價(jià)體系研究（17GJHZ17）；渭南師范學(xué)院人文社科項(xiàng)目：地方高校中外合作辦學(xué)模式研究——以渭南師范學(xué)院為例（16SYB15）。

作者簡(jiǎn)介：張菊梅（1982—），女，陜西寶雞，渭南師范學(xué)院，講師，理學(xué)碩士，主要從事科學(xué)計(jì)算與研究。研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)（科學(xué)計(jì)算與信息處理）。