矩陣跡的性質(zhì)及其若干應(yīng)用

王振新，吳士林，李 群

（1.太和中學(xué)，安徽 阜陽 236600；2.宿松九成學(xué)校，安徽 安慶 246220；3.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

矩陣跡是人們研究矩陣特征的重要內(nèi)容，利用矩陣的跡可以發(fā)現(xiàn)矩陣主對(duì)角線元素和的特征[1]。而且通過對(duì)矩陣跡的研究，不難發(fā)現(xiàn)矩陣特征值和矩陣跡的聯(lián)系。但是，許多文獻(xiàn)只是介紹了關(guān)于矩陣跡的一部分，如文獻(xiàn)[2-4]只是介紹了矩陣跡的一般性質(zhì)。文獻(xiàn)[5]介紹了一些特殊矩陣跡的性質(zhì)，尤其對(duì)對(duì)稱矩陣和實(shí)對(duì)稱矩陣跡的性質(zhì)作了一定的研究；文獻(xiàn)[6]也只是闡述了矩陣跡的某些應(yīng)用等。本文首先介紹了矩陣跡的概念及其性質(zhì)，然后研究其在幾類不等式，及特征值計(jì)算等方面的應(yīng)用。

1　預(yù)備知識(shí)

文中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號(hào)作如下規(guī)定，AH代表矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，Cn×n代表n階復(fù)矩陣空間。

特征值作為矩陣的另一個(gè)重要的數(shù)量特征，兩者有著緊密的聯(lián)系。下面對(duì)于n階矩陣A=(aij)來說，把它的特征多項(xiàng)式的行列式形式展開，可得

如A有n個(gè)特征值λ1λ2…λn,則由上式可得,

定義2[8]所謂冪零矩陣就是對(duì)于一個(gè)n階方陣A，若存在一個(gè)正整數(shù)k，使得Ak=0，也可以等價(jià)的說A的所有特征值均為0的矩陣為冪零矩陣。

定義3[9]設(shè)A=(aij)m×n∈Cn×n，如果

即A=AH或者就稱A是Hermite矩陣。

顯然，當(dāng)A是一個(gè)實(shí)矩陣時(shí)，Hermite矩陣就是通常的實(shí)對(duì)稱矩陣。

定義4[7]設(shè)A=(aij)m×n∈Cn×n，如果滿足就稱A為酉矩陣，其中表示A的共軛矩陣，其元素為A中對(duì)應(yīng)元素的共軛復(fù)數(shù)。

引理1[10]如果A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且其特征值是λ1,λ2,…,λn,那么一定存在n階正交矩陣P,使得

2　矩陣跡的若干性質(zhì)

2.1　一般矩陣跡的性質(zhì)

本節(jié)主要考慮了一些關(guān)于跡的等式和不等式所具有的性質(zhì)。

性質(zhì)2若A,B均為n階方陣，則

性質(zhì)3若A為n階方陣，k為任意常數(shù)，則tr(kA)=ktr(A)。

由性質(zhì)2及性質(zhì)3，容易得出如下性質(zhì)：

性質(zhì)4設(shè)A,B均為n階方陣，則有

這里的α,β均為常數(shù)。

性質(zhì)5[10]設(shè)A，B分別為m×n,n×m矩陣，則tr(AB)=tr(BA)。

性質(zhì)6[3]若A為n階方陣，則

性質(zhì)7相似矩陣的跡是相同的，即若A～B，則tr(A)=tr(B)。特 別地，有

2.2　Hermite矩陣跡的性質(zhì)

性質(zhì)8[9]設(shè)矩陣A為n階正定Hermite矩陣，那么對(duì)全部滿足det(X)=1的正定Hermite矩陣X，有tr(AX)≥n(detA)1/n。

性質(zhì)9[11]如果A與B皆為實(shí)對(duì)稱矩陣或者是Hermite矩陣，那么

性質(zhì)10若A1,A2,…,An都是Hermite矩陣，且0＜r＜s則

證明由于矩陣A1,A2,…,An均是Hermite正定矩陣且 0＜r＜s故也 都 為

Hermite正定矩陣。于是

下面介紹關(guān)于矩陣跡的Schur不等式。

性質(zhì)11（Schur不等式）若A是n階方陣，則tr(A2)≤tr(ATA)。

證明因?yàn)?/p>

又(A-AT)是反對(duì)稱矩陣，所以(A-AT)的特征值是零或者是純虛數(shù)。又

于是，由矩陣跡性質(zhì)，得

3　矩陣跡的應(yīng)用

下面探討矩陣跡的性質(zhì)的若干應(yīng)用。

3.1　計(jì)算矩陣特征值

特征值的計(jì)算問題僅僅應(yīng)用傳統(tǒng)的解決方法，有的是很難求解的，且計(jì)算量特別大。引入矩陣跡這一重要的解決辦法后，問題的求解過程將變得十分清晰。以下給出幾個(gè)例子加以說明。

例1已知n階矩陣

求Jn的全部特征值。

例2計(jì)算n階矩陣

的特征值。

3.2　計(jì)算行列式

在求解行列式計(jì)算問題中，經(jīng)常會(huì)有一些特殊行列式不能用常規(guī)方法求解，但當(dāng)引入矩陣跡后，就更易求解。

例3已知矩陣

解易知

故矩陣A的特征值為

則行列式的值為

例4計(jì)算行列式

的值。

解設(shè)

易知矩陣A的特征值為

故行列式的值為(na+(x-a))(x-a)n-1。

3.3　判斷矩陣正定性

矩陣正定性的判定方法有很多種，其中利用矩陣跡的方法使判定更加容易。

例5設(shè)矩陣A,B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A-B是正定矩陣，則A和B不相似。

證明如果A,B相似，由性質(zhì)7得，（B）。再由性質(zhì)2得，

故A-B不是正定矩陣，與題意矛盾。因此，矩陣A和B不相似。

4　小結(jié)

矩陣跡是人們研究矩陣特征的重要內(nèi)容。本文詳細(xì)討論了矩陣跡的若干性質(zhì)，而后詳細(xì)論述了矩陣跡在求解矩陣特征值、矩陣行列式以及矩陣正定性判定等方面的應(yīng)用。