立足基本圖形 追尋多題歸一
——從一道教材習(xí)題及其變式說開去

（江蘇省蘇州市高新區(qū)第五初級中學(xué)校）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材習(xí)題是一個巨大的教學(xué)資源，同時也是由許許多多的經(jīng)典習(xí)題組成的.如何更有效的使用這些習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生高認(rèn)知水平的保持，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)基本思想的理解，對基本活動經(jīng)驗的積累和遷移，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，便成為廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的問題.

本文從一道教材習(xí)題入手，對其進(jìn)行變式練習(xí)，給學(xué)生的思維和推理搭“腳手架”，為學(xué)生提供元認(rèn)知方法，引導(dǎo)他們體會相關(guān)、相近習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，在基本圖形的基本結(jié)論、基本思路和基本方法的內(nèi)在聯(lián)系中，體現(xiàn)立足基本圖形，追尋多題歸一的理念，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

一、教材習(xí)題及解答

題目（蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”第94頁復(fù)習(xí)鞏固第19題）在正方形ABCD中.

（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為點M，那么AE與BF相等嗎？試證明你的結(jié)論.

（2）如圖2，如果點E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為點M，那么GE與BF相等嗎？試證明你的結(jié)論.

（3）如圖3，如果點E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為點M，那么GE與HF相等嗎？試證明你的結(jié)論.

圖1

圖2

圖3

分析：此題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC.進(jìn)而得到∠BAE=∠CBF，則△ABE≌△BCF.進(jìn)一步根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明.

（2）過點A作AN∥GE，可證四邊形ANEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得AN=GE.由（1）的結(jié)論可知AN=BF.所以GE=BF.

（3）分別過點A，B作AP∥GE，BQ∥HF，可證四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得AP=GE，BQ=HF.由（1）的結(jié)論可知AP=BQ.所以GE=HF.

解：（1）證明：因為四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，

所以∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°.

所以∠BAE=∠CBF.

在△ABE和△BCF中，

所以△ABE≌△BCF（ASA）.

所以AE=BF.

（2）GE=BF.證明如下.

如圖4，過點A作AN∥GE，

因為AD∥BC，

所以四邊形ANEG是平行四邊形.

所以AN=GE.

因為GE⊥BF，

所以AN⊥BF.

由（1），可得△ABN≌△BCF.

所以AN=BF.

所以GE=BF.

圖4

圖5

（3）GE=HF.證明如下.

如圖5，分別過點A，B作AP∥GE，BQ∥HF，

因為AD∥BC，AB∥DC，

所以四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形.

所以AP=GE，BQ=HF.

因為GE⊥HF，

所以AP⊥BQ.

由（1），可得△ABP≌△BCQ.

所以AP=BQ.

所以GE=HF.

【評析】顯然，第（2）小題和第（3）小題就是第（1）小題的變式，都是通過平行移動來完成條件的轉(zhuǎn)化，最終化歸為第（1）小題來解決.解決問題的根本辦法都是通過證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)來證明.

這樣，我們就通過運用化歸的數(shù)學(xué)思想方法，對于問題解決中積累的經(jīng)驗進(jìn)行加工，得到一個有長久保存價值或基本重要的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，即“基本圖形的基本結(jié)論、基本思路和基本方法”.此時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生有意識地記憶下來，以此來解決類似的問題.

二、其他形式的變式

波利亞在《怎樣解題》中指出：題目一旦獲解，就立刻產(chǎn)生情感上的滿足，這恰好錯過了提高的機會，事實上沒有一道題可以解決得十全十美，總剩下一些工作要做，經(jīng)過充分的探討與總結(jié)，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個問題的解答水平.在這一理念的指導(dǎo)下，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下變式的探究.

1.在正方形內(nèi)進(jìn)行變式

變式1：在正方形ABCD中.

（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE=BF，那么AE與BF垂直嗎？證明你的結(jié)論.

（2）如圖2，如果點E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上，且GE=BF，那么GE與BF垂直嗎？證明你的結(jié)論.

（3）如圖3，如果點E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE=HF，那么GE與HF垂直嗎？證明你的結(jié)論.

解：略.

在原有圖形不變的情況下，交換題設(shè)和結(jié)論，得到新題.這樣處理可以使學(xué)生倍感新奇，有利于增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.同時，在解決這些問題的時候，用到了前面總結(jié)的“模式”中的通法，實則是“一法多用”，即對前面解法的歸納、總結(jié)，形成技巧，并用以解決其他問題.通過這種變式，可以達(dá)到“多題歸一”“萬變不離其宗”的目的，即有利于培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，有利于學(xué)生提煉通性、通法.

2.在正方形外進(jìn)行變式

變式2：（1）如圖6，如果點G，E分別在AD，BC的延長線上，點F在CD上，BF的延長線交GE于點M，且∠BME=90°，那么GE，BF相等嗎？證明你的結(jié)論.

（2）如圖7，如果直線a⊥b，垂足為點M，直線a與AB，DC的延長線分別交于點H，F(xiàn)，直線b與AD，BC的延長線分別相交于點G，E，那么GE，HF相等嗎？證明你的結(jié)論.

（3）如圖8，如果點E，F(xiàn)分別在BC，CD的反向延長線上，BF的反向延長線交AE于點M，且∠AMB=90°，那么AE，BF相等嗎？證明你的結(jié)論.

圖6

圖7

圖8

解：略.

顯然，這幾道題的解法依然是通過平行移動，構(gòu)造出原題中的全等三角形來求解.再次強化“基本圖形法”，在學(xué)生頭腦中已有的知識、經(jīng)驗之間建立聯(lián)系，是一種“化生為熟”的原則，體現(xiàn)了思維定勢正遷移的積極作用.同時，給學(xué)生的思維和推理搭建“腳手架”，為學(xué)生提供元認(rèn)知方法，促進(jìn)學(xué)生高認(rèn)知水平的保持.

3.在正多邊形中進(jìn)行變式

教育學(xué)家夸美紐斯曾經(jīng)說過，提供一種既令人愉快又有用的東西，當(dāng)學(xué)生的思想經(jīng)過這樣的準(zhǔn)備之后，他們就會以極大的注意力去學(xué)習(xí).由于以上兩道題有著內(nèi)在的聯(lián)系，而解題方法和變式練習(xí)又是這樣的相似.因此，會激起學(xué)生的興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興奮點.在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生把由以上兩題的解答過程與變式練習(xí)中獲取的經(jīng)驗遷移到正五邊形乃至正n邊形中.

變式3：在正五邊形中的變式.

（1）如圖9，正五邊形A1A2A3A4A5中，點B，C分別是A3A4，A4A5上的點，且∠A2DC=108°，那么A2B和A3C相等嗎？證明你的結(jié)論.

圖9

圖10

（2）如圖10，正五邊形A1A2A3A4A5中，點B，C分別是A4A5，A3A4反向延長線上的點，延長BA3交A2C于點D，且A3B=A2C.那么∠A2DA3=108°嗎？證明你的結(jié)論.

解：略.

變式4：如圖11，在正n邊形A1A2A3…An中，點B，C分別是A3A4，A4A5上的點，且 ∠A2DC=那么A2B和A3C相等嗎？證明你的結(jié)論.

圖11

解：略.

變式4是在變式3的基礎(chǔ)上運用類比思想將問題遷移到正n邊形中，運用前面“模型”中的“基本圖形法”來解決問題.旨在讓學(xué)生體會從特殊到一般的變化過程.

三、幾點感悟

1.在變式中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

一系列的變式練習(xí)，基于習(xí)題自身的特征以及解題方法的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造出了一個CPFS結(jié)構(gòu)（概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)稱為CPFS結(jié)構(gòu)）不僅讓學(xué)生深刻理解了數(shù)學(xué)知識，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識，既訓(xùn)練了學(xué)生思維的深度和廣度，又提高了他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

多題一解的思維方式是一種收斂思維，遇到不同的問題向一個目標(biāo)思索，尋求統(tǒng)一的解決問題的工具.其實，多題一解的真正價值并不在于使用某種方法、模型或知識去解決一類問題，而在于如何將多個問題的共性抽取出來，形成“一解”.對于“基本圖形法”來說，通過基本圖形探究出解決此類問題的“通法”，并運用“通法”來解決類似的問題，其本身也是一種解題遷移（即先前的解題學(xué)習(xí)對后續(xù)的解題學(xué)習(xí)的積極影響）.所以，我們在學(xué)生的解題學(xué)習(xí)中，突出數(shù)學(xué)思想方法要充分展示典型范例的作用，并且在解題學(xué)習(xí)中注意歸納和概括解題模式，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)基本思想的理解，增強學(xué)生對基本活動經(jīng)驗的積累，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

2.在變式中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)欣賞水平

在變式練習(xí)中，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美.例如，正方形以及其他的正多邊形本身就具有軸對稱性的形狀之美，這是幾何圖形的外表之美；而對于原題中的全等三角形的證明這一“基本圖形法”的歸納與認(rèn)識以及應(yīng)用，直至推廣到正n邊形中去，這一從特殊到一般的過程，正是“道生一、一生二、二生三、三生萬物”，這又何嘗不是領(lǐng)略數(shù)學(xué)內(nèi)涵智慧的美妙呢；教材原題自身到變式4的一系列的變式中，形成了由正多邊形這一整體構(gòu)造出的一個CPFS結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)之美；而對于各種變式，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，觀察、發(fā)現(xiàn)、思考、歸納、應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，這一“悟”的過程，就是數(shù)學(xué)之美的欣賞過程.

張奠宙先生說過，數(shù)學(xué)欣賞正在從外部的美觀，不斷升入到數(shù)學(xué)概念和命題的內(nèi)涵深處.欣賞外表直觀之秀，內(nèi)涵深刻之慧，文化底蘊之濃，理性思考之精，也許這就是數(shù)學(xué)欣賞的普遍規(guī)律.

3.在變式中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

從教材習(xí)題出發(fā)，通過習(xí)題的自身變式，獲取基本的活動經(jīng)驗和思想方法，即形成“基本圖形的基本結(jié)論、基本思路和基本方法”，并將其遷移到后面的變式中.其本身就是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，也相當(dāng)于建立了一個數(shù)學(xué)模型——解題模式，并運用這一模式來解決相關(guān)的問題.既做到了培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的基本保障——抓基礎(chǔ)，即促使學(xué)生掌握基本知識和基本技能；又有做到了培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高層次目標(biāo)——發(fā)展能力，即積累基本活動經(jīng)驗，體驗基本思想方法.因而也做到了在變式中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2016.

［3］喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

［4］張奠宙.數(shù)學(xué)欣賞：一片等待開發(fā)的沃土［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（1/2）：3-6.