基于倒正態(tài)損失和滿意度函數(shù)的多響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)*

崔慶安，王方成

(鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

穩(wěn)健設(shè)計(jì)作為持續(xù)性質(zhì)量改進(jìn)的一種重要支撐技術(shù)，旨在通過(guò)調(diào)整可控因子的水平組合來(lái)減少噪聲因子對(duì)產(chǎn)品或質(zhì)量的影響，從而實(shí)現(xiàn)減小整個(gè)系統(tǒng)波動(dòng)的目的，生產(chǎn)出響應(yīng)達(dá)到目標(biāo)值且標(biāo)準(zhǔn)差較小的產(chǎn)品[1-2]。隨著產(chǎn)品復(fù)雜化程度的加劇，在實(shí)際的生產(chǎn)制造過(guò)程中，往往需要考慮多個(gè)質(zhì)量特性，因此多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)在持續(xù)性質(zhì)量改進(jìn)過(guò)程中具有越來(lái)越重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義[3]。

關(guān)于多響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者做了大量的研究，研究?jī)?nèi)容如下：楊方等[4]采用滿意度函數(shù)法將多響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單響應(yīng)問(wèn)題,由于該方法僅構(gòu)建了均值滿意度和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度,未考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間的相互作用,因此采用該方法算出的結(jié)果往往較不理想。多元損失函數(shù)[5]和主成分分析法，雖然可以很好地解決響應(yīng)之間的相關(guān)性，但卻不能解決自變量之間的相關(guān)性。何楨等[6]提出了改進(jìn)的主成分分析法來(lái)解決多響應(yīng)問(wèn)題，該方法同時(shí)考慮優(yōu)化均值和標(biāo)準(zhǔn)差，提高了過(guò)程的穩(wěn)健性。伍建軍等[7]將熵權(quán)理論和滿意度函數(shù)法引入雙響應(yīng)曲面法提出了改進(jìn)滿意度函數(shù)的雙響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，雖然該方法可以得到穩(wěn)健性的優(yōu)化值，但是該方法是分別建立均值模型和標(biāo)準(zhǔn)差模型，忽略了它們之間的相互作用。羅孟然等[8]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)曲面法相結(jié)合提出對(duì)響應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化的新方法，并通過(guò)數(shù)控機(jī)床床鞍尺寸實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，顯著提高了零件的質(zhì)量水平。伍建軍等[9]將田口方法和灰色關(guān)聯(lián)法相結(jié)合建立了多響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)柔順平行四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化得到了更具穩(wěn)健性的尺寸。

以上方法在解決多響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，分別對(duì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行優(yōu)化，但是較少考慮二者之間的交互作用和相互影響。Koksoy和Fan[10]提出的倒正態(tài)損失函數(shù)在解決單個(gè)響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，可同時(shí)兼顧均值和標(biāo)準(zhǔn)差，但較少考慮多響應(yīng)情況。傳統(tǒng)的滿意度函數(shù)在解決多響應(yīng)問(wèn)題時(shí)較多考慮均值之間的相互作用，很少考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差的交互作用和相互影響。因此若采用倒正態(tài)損失函數(shù)作為中間變量改進(jìn)傳統(tǒng)的滿意度函數(shù)，則可實(shí)現(xiàn)兼顧均值和標(biāo)準(zhǔn)差的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題?；诖?，本文將倒正態(tài)損失引入滿意度函數(shù)中，構(gòu)造同時(shí)考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差的新的穩(wěn)健性度量指標(biāo)，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建響應(yīng)曲面模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為滿意度函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)，以解決多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1 理論簡(jiǎn)介

1.1 倒正態(tài)損失函數(shù)

(1)

其中，y是質(zhì)量特征值(響應(yīng))，K是最大損失值(通常取1)，τ是過(guò)程的目標(biāo)值，σL是形狀參數(shù)。

倒正態(tài)損失函數(shù)是一個(gè)對(duì)稱、有界的損失函數(shù)，它是一條光滑的曲線，當(dāng)特征值等于目標(biāo)值時(shí)，其值為0，隨著特征值偏離目標(biāo)值其值逐漸增大至最大損失值1，而不像田口損失函數(shù)那樣增大到一個(gè)不切實(shí)際的值。形狀參數(shù)σL的大小可以調(diào)整系統(tǒng)允許的界限，也即是一個(gè)大的σL的值暗示系統(tǒng)可以接受更大的偏離目標(biāo)值的界限。如圖1所示，我們?nèi)=1，τ=0時(shí)不同的σL對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)。

圖1 不同的σL對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)

我們從圖中可以看到，σL的值越小，則系統(tǒng)所能接受的界限范圍越小。

為了考慮整個(gè)過(guò)程的平均損失，Spiring又引入了期望損失值E[LUDN(y)],其表達(dá)式如公式(2)所示：

(2)

從公式(2)中，我們可以知道損失值和兩個(gè)變量有關(guān)，一個(gè)是質(zhì)量特征值偏離目標(biāo)值的大?。涣硪粋€(gè)是標(biāo)準(zhǔn)差的大小，而且此公式給出了一個(gè)令人信服的事實(shí)，隨著方差的增大，損失值也增大。此公式很好地表達(dá)了穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)，即保證產(chǎn)品或響應(yīng)的均值盡可能地達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)值的基礎(chǔ)上最大限度地減少響應(yīng)圍繞設(shè)計(jì)目標(biāo)值的波動(dòng)(響應(yīng)方差)。假如令σL=1，τ=0，K=1，我們可以得到E[LUDN(y)]與μR,σR的圖像如圖2所示。

圖2 E[LUDN(y)]與μR,σR的關(guān)系圖

該損失函數(shù)還有一大優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)質(zhì)量特征值y不服從正態(tài)分布時(shí)，如均勻分布、指數(shù)分布、Γ分布等其損失函數(shù)仍可以求出。

盡管新的損失函數(shù)應(yīng)用很多領(lǐng)域，如Leung和Spiring[12]應(yīng)用于貨幣評(píng)估，Cudney和David Drain[13]應(yīng)用于微控制器產(chǎn)品的制造過(guò)程。但他們并沒(méi)有指出如何將新的損失函數(shù)運(yùn)用到多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)中，因此本文以此為突破口，將倒正態(tài)損失函數(shù)引入穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)中，以期望損失值作為新的穩(wěn)健性度量指標(biāo)建立新的響應(yīng)曲面。

1.2 滿意度函數(shù)法

滿意度函數(shù)法是最早由Harrington[14]提出后經(jīng)Derringer和Suich[15]發(fā)展起來(lái)的一種操作簡(jiǎn)單，運(yùn)用廣泛的多響應(yīng)優(yōu)化方法。該方法根據(jù)響應(yīng)變量望大、望小、望目的特性將每個(gè)估計(jì)的響應(yīng)變量yi轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的滿意度d(yi)(i=1,2,…,q)，0≤d(yi)≤1。令Ti為響應(yīng)變量yi目標(biāo)值，Li和Ui分別為響應(yīng)變量的上下規(guī)格限。

對(duì)于望小特性的響應(yīng)變量yi，其滿意度函數(shù)如公式(3)所示：

(3)

從公式(3)中可以看出：對(duì)于望小特性的響應(yīng)變量只有一個(gè)規(guī)格上線Ui，響應(yīng)變量的值越小越好，隨著響應(yīng)變量值的減小，其滿意度逐漸增大，當(dāng)響應(yīng)變量的值小于目標(biāo)值時(shí)，滿意度為1，大于規(guī)格上線時(shí)，滿意度為0。

需要說(shuō)明的是，公式(3)中的指數(shù)s或t代表了響應(yīng)變量yi對(duì)于目標(biāo)值得重要程度，s>1時(shí)，表明響應(yīng)變量的目標(biāo)值被賦予了更大的權(quán)重；相反s<1時(shí)，表明響應(yīng)變量的目標(biāo)值被賦予了更小的權(quán)重。

依據(jù)公式(3)建立起單個(gè)滿意度函數(shù)之后，就需要一個(gè)綜合的滿意度函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)各個(gè)響應(yīng)變量的水平，這里我們采用對(duì)所有單個(gè)滿意度求幾何平均建立綜合滿意度函數(shù)，如公式(4)所示：

(4)

其中,D為綜合滿意度函數(shù)。之所以采用幾何平均來(lái)構(gòu)建總體滿意度，是因?yàn)閹缀纹骄斜燃臃ㄆ骄玫男宰樱寒?dāng)其中一個(gè)產(chǎn)品不能被接受時(shí)即d(yi)=0，則綜合滿意度D=0，整個(gè)過(guò)程或系統(tǒng)都不能被接受，避免了濫竽充數(shù)的可能：當(dāng)其中一個(gè)滿意度較低時(shí)，則綜合滿意度也較低，只有當(dāng)所有單個(gè)響應(yīng)的滿意度都較高時(shí)，綜合滿意度才較高。目前，有較少國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用倒正態(tài)損失函數(shù)解決多響應(yīng)問(wèn)題。本文將采用倒正態(tài)損失函數(shù)對(duì)滿意度函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出一種解決多響應(yīng)問(wèn)題的新方法。

1.3 采用倒正態(tài)損失函數(shù)改進(jìn)滿意度函數(shù)

傳統(tǒng)滿意度函數(shù)在解決多響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，一般是分別建立均值滿意度和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度，然后再把均值滿意度和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度作為新的響應(yīng)建立響應(yīng)曲面法，進(jìn)而進(jìn)行優(yōu)化求解。這種方法在一定程度上存在不足，當(dāng)分別建立均值滿意度和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度時(shí)并未考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間的相互作用，換句話說(shuō)就是把均值和標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)作獨(dú)立的變量建立滿意度。由標(biāo)準(zhǔn)差的公式可知，

(5)

標(biāo)準(zhǔn)差的獲得是基于均值的，因此均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間存在一定的相互作用。倒正態(tài)損失函數(shù)正是在考慮了均值和標(biāo)準(zhǔn)差的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，從公式(2)中可以看出期望損失值的大小不僅與均值有關(guān)還和標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。因此在建立均值滿意度和標(biāo)準(zhǔn)差滿意度時(shí)，可以引入倒正態(tài)損失，通過(guò)倒正態(tài)損失將均值和標(biāo)準(zhǔn)差建立在一起，考慮它們之間的相互作用，而后導(dǎo)入滿意度函數(shù)可得公式(6)：

(6)

根據(jù)單個(gè)滿意度函數(shù)，建立綜合滿意度，并對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)，即可實(shí)現(xiàn)多響應(yīng)優(yōu)化。

(7)

另外考慮引入倒正態(tài)損失還有一個(gè)原因是倒正態(tài)損失函數(shù)考慮了顧客的信息，傳統(tǒng)多響應(yīng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)很少考慮顧客的信息，只是從產(chǎn)品加工過(guò)程本身進(jìn)行優(yōu)化，把它當(dāng)成一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，而倒正態(tài)損失函數(shù)卻和傳統(tǒng)方法不同，它考慮了顧客的信息。顧客的信息可以決定產(chǎn)品偏離目標(biāo)值的損失，當(dāng)產(chǎn)品偏離規(guī)格域時(shí)，產(chǎn)品的制造過(guò)程將會(huì)出現(xiàn)很大的波動(dòng)，而這一波動(dòng)可以有顧客信息來(lái)減少。因此本文從顧客信息的角度，又提出了一種解決多響應(yīng)問(wèn)題的新思路。

2 方法步驟

針對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文試圖采用倒正態(tài)損失函數(shù)求出新的穩(wěn)健性度量指標(biāo)，通過(guò)響應(yīng)曲面法建立新指標(biāo)與輸入變量的回歸模型，并將建立起來(lái)的回歸模型轉(zhuǎn)化為滿意度函數(shù)，對(duì)綜合滿意度函數(shù)進(jìn)行求解，求出最佳輸入因子的水平組合。具體計(jì)算過(guò)程可以分為以下幾部分：

步驟1：選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法

根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的特征，選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法(如中心復(fù)合設(shè)計(jì))，并收集相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，假設(shè)系統(tǒng)有q個(gè)不同的響應(yīng)變量yi(i=1,2,…,q)，p個(gè)可控因子xc(c=1,2,…,p)。該實(shí)驗(yàn)共包含n(j=1,2,…,n)個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)，且在每個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)上重復(fù)l(l=1,2,…,r)次實(shí)驗(yàn)，yijl表示第i個(gè)響應(yīng)在第j個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)重復(fù)l次實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)值。根據(jù)公式(8)、公式(9)求出樣本的響應(yīng)均值和方差。

(8)

(9)

步驟2：求出新的穩(wěn)健性度量指標(biāo)-期望損失值

在步驟1的基礎(chǔ)上，根據(jù)公式(10)求出每個(gè)樣本點(diǎn)的期望損失值。

(10)

式中，K=1，對(duì)于σL的取值在沒(méi)有任何信息的情況下，Drain和Group[16]建議σL通常取響應(yīng)變量可接受范圍的42.5%，即σL=0.425×(Ui-Li)。

步驟3：建立響應(yīng)曲面模型

根據(jù)步驟2求出來(lái)的每個(gè)樣本點(diǎn)的期望值，建立這些期望值與輸入變量的響應(yīng)曲面模型，如公式(11)所示：

(11)

步驟4：求出每個(gè)響應(yīng)的單個(gè)滿意度函數(shù)

由于步驟2求出的期望損失值屬于望小特性，因此根據(jù)公式(12)將新建立的響應(yīng)曲面模型轉(zhuǎn)化為望小滿意度。

(12)

步驟5：建立綜合滿意度函數(shù)

根據(jù)步驟4求出的每個(gè)響應(yīng)變量的個(gè)體滿意度，按公式(13)建立綜合滿意度函數(shù)，并對(duì)其求取最大值獲得一組最佳的輸入變量的水平組合。

(13)

3 案例分析

本文根據(jù)文獻(xiàn)[17]中提到的案例及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并與其它相關(guān)的研究方法進(jìn)行對(duì)比。該案例主要研究某種膠態(tài)氣體泡沫的性能問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)者共選取3個(gè)可控變量分別為：表面活性劑的濃度(x1)、鹽水的濃度(x2)和攪拌的時(shí)間(x3)，所選擇的三個(gè)變量分別為：膠質(zhì)氣泡的的穩(wěn)定度(y1)、體積比(y2)與溫度(y3)并分別為望大、望小、望目特性。該實(shí)驗(yàn)采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCD)收集數(shù)據(jù)，在中心點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行6次試驗(yàn)，其他點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行2次。具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)表

對(duì)于響應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的擬合，本文采用文獻(xiàn)[6]的擬合模型，具體模型如下：

各個(gè)響應(yīng)的質(zhì)量特性不同，其規(guī)格域也不同，三個(gè)響應(yīng)的規(guī)格域，如表2所示。根據(jù)響應(yīng)的規(guī)格域和公式σL=0.425×(Ui-Li)可以求出每個(gè)響應(yīng)對(duì)應(yīng)的形狀參數(shù)σ如表3所示。依據(jù)公式(10)和表3的數(shù)據(jù)求出每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的期望損失值yLUij如表4所示。利用響應(yīng)曲面法建立期望損失與三個(gè)輸入變量的響應(yīng)曲面模型如公式(14)～公式(16)所示：

yLU1= 0.6357-0.1886x1+0.1038x2-0.0143x3+

0.0124x1x3

R2=88.53%

(14)

yLU2= 0.5952+0.1881x1-0.0869x2+0.0744x3-

R2=88.53%

(15)

yLU3= 0.2239+0.01306x1+0.00857x2-0.02014x3+

0.00793x2x3

R2=97.70%

(16)

表2 響應(yīng)規(guī)格域

表3 形狀參數(shù)

表4 期望損失值表

求出每個(gè)響應(yīng)的期望損失的規(guī)格域，如表5所示。由于期望損失是望小特性，因此根據(jù)公式(9)和表5期望損失的規(guī)格域，將新建立的響應(yīng)曲面模型轉(zhuǎn)化為望小滿意度如公式(17)～公式(19)所示：

d(yLU1)= (1-(0.6357-0.1886x1+0.1038x2-

0.0124x1x3+0.0144x2x3))/(1-0.03)

(17)

d(yLU2)= (1-(0.5952+0.1881x1-0.0869x2+

0.0273x2x3))/(1-0.2)

(18)

d(yLU3)= (0.4-(0.02239+0.01306x1+0.00857x2-

0.00618x1x3-0.00793x2x3))/(0.4)

(19)

最后根據(jù)公式(13)轉(zhuǎn)化為綜合滿意度函數(shù)：

(20)

至此，將多響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單響應(yīng)問(wèn)題，利用Matlab軟件中的遺傳算法工具箱對(duì)公式(20)進(jìn)行尋優(yōu)，得到的結(jié)果見(jiàn)表6(DS法是文獻(xiàn)[15]中提出的滿意度函數(shù)法；KL法是文獻(xiàn)[17]中提出的最大最小滿意度函數(shù)法；PCA法是文獻(xiàn)[6]中提出的改進(jìn)主成分分析法)。

通過(guò)對(duì)比可以看出，本文提出的方法更具有普適性和靈活性，此方法不僅充分利用了原始數(shù)據(jù)信息，而且還融入了顧客信息。表2給出了由顧客決定的響應(yīng)規(guī)格域，顧客的信息決定了產(chǎn)品偏離目標(biāo)值所帶來(lái)的損失。在以往研究中，傳統(tǒng)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法大多都忽略了顧客的信息，把它當(dāng)成一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，脫離實(shí)際。另外當(dāng)響應(yīng)的分布超出規(guī)格域時(shí)，此時(shí)的過(guò)程具有較高的易變性，生產(chǎn)出的產(chǎn)品將不符合要求。通過(guò)實(shí)際的數(shù)學(xué)運(yùn)算可以看到，當(dāng)制造商選擇了嚴(yán)格的規(guī)格界限時(shí)，此時(shí)的產(chǎn)品穩(wěn)定性，可靠性都較好。從表6中可以看出，本文提出的方法與DS法相比，響應(yīng)y1的均值和響應(yīng)y3的均值比DS法好，且標(biāo)準(zhǔn)差較小，穩(wěn)健性更好；與KL法相比響應(yīng)y2的均值和響應(yīng)y3的均值比KL法算出的結(jié)果優(yōu)；與PCA法相比響應(yīng)y1的均值和響應(yīng)y2的均值以及響應(yīng)y3的均值都比PCA方法優(yōu)，最重要的是用本文提出的方法算出的響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差更小，穩(wěn)健性更好，符合穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)的要求。

表5 期望損失的規(guī)格域表

表6 各優(yōu)化方法結(jié)果的對(duì)比表

4 結(jié)論

本文在響應(yīng)曲面法建模的基礎(chǔ)上，提出了一種基于倒正態(tài)損失函數(shù)和滿意度函數(shù)的多響應(yīng)優(yōu)化方法。該方法通過(guò)引入倒正態(tài)損失函數(shù)建立了同時(shí)考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差的新的穩(wěn)健性度量指標(biāo)，克服了傳統(tǒng)方法在建模時(shí)分別建立均值和標(biāo)準(zhǔn)差模型的缺陷，避免了均值和標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系的割裂，做到了在使均值接近目標(biāo)值的同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差也較小，有效地控制了系統(tǒng)的波動(dòng)。

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