交錯(cuò)群A上的5度2-傳遞非正規(guī)Cayley圖*119

凌波

（云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南昆明650504）

對有限群結(jié)構(gòu)的刻畫研究一直都是代數(shù)領(lǐng)域的熱門話題[1-7]。本文將開展群的結(jié)構(gòu)對圖對稱性的影響及其應(yīng)用研究。

設(shè)Γ是一個(gè)圖。其頂點(diǎn)集，邊集，弧集，圖的全自同構(gòu)群分別記為V（Γ），E（Γ），Arc（Γ），Aut（Γ）。我們稱圖Γ為弧傳遞圖，如果Aut（Γ）在其弧集合上傳遞。

設(shè)G是一個(gè)有限群。取S?G-｛1｝，稱它為G的Cayley子集。設(shè)S滿足定義群G關(guān)于S的Cayley無向圖其中：

由定義可知，Γ的度為。Γ連通當(dāng)且僅當(dāng)G＝＜S＞。G的右正則表示R（G）≤Aut（Γ）且作用在V（Γ）上正則，即Cayley圖是點(diǎn)傳遞圖。為了方便，我們?nèi)杂涍@個(gè)正則子群為G。反之，點(diǎn)傳遞圖Γ＝（V，E）同構(gòu)于群G的 Cayley圖當(dāng)且僅當(dāng)Aut（Γ）包含一個(gè)同構(gòu)于G的正則子群（可參考文獻(xiàn)[8，性質(zhì) 16.3]）。我們稱 Cayley圖 Γ＝Cay（G，S）關(guān)于G是正規(guī)的，如果G?Aut（Γ），否則稱Γ為非正規(guī)的。

Cayley圖的正規(guī)性概念由我國著名代數(shù)學(xué)家徐明曜教授1998年在文獻(xiàn)[9]中提出。單群是構(gòu)成群的基本元素，具有群的內(nèi)在特點(diǎn)，單群上Cayely圖的正規(guī)性問題一直都受到國內(nèi)外學(xué)者們的極大關(guān)注。例如，李才恒教授在文獻(xiàn)[10]中證明：除了7個(gè)例外，所有的有限非交換單群上的3度弧傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。基于這個(gè)工作，徐尚進(jìn)教授等[11-13]證明：除交錯(cuò)群A47上的兩個(gè)例外，所有有限非交換單群的連通3度弧傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。方新貴教授等[14]證明：除單群M11上的兩個(gè)例外，所有有限非交換單群上的4度2—傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。對于5度圖，周進(jìn)鑫教授和馮衍全教授2010年在文獻(xiàn)[15]中證明：所有非交換單群上的5度1—傳遞Cayley圖都是正規(guī)的。作者和婁本功在文獻(xiàn)[16]構(gòu)造了交錯(cuò)群A39上5度2—傳遞非正規(guī)Cayley圖的例子。因此，一個(gè)十分自然且有意義的問題將是：

問題1構(gòu)造或完全分類有限非交換單群上5度2-傳遞非正規(guī)Cayley圖。

針對問題1，本文證明了如下定理：

定理1在交錯(cuò)群A119上存在連通5度2—傳遞非正規(guī)的Cayley圖，且其圖全自同構(gòu)群和點(diǎn)穩(wěn)定子分別為A120和S5。

1 預(yù)備知識

設(shè)G是有限群，H是G的子群，CG（H）是H在G中的中心化子，NG（H）是H在G中的正規(guī)化子。則有下面的引理，我們稱之為 ‘N/C’定理，參見文獻(xiàn)[17，第Ⅰ章，定理5.7]。

引理1設(shè)H≤G，則NG（H）/CG（H）同構(gòu)于Aut（H）的一個(gè)子群。

設(shè)X為有限群，H為X的無核子群。對于g∈X-H滿足g2∈H，定義陪集圖

為：

則由陪集圖的定義容易證明如下引理：

引理2令 Γ＝Cos（G，H，g）。則 Γ是G—弧傳遞圖且下列結(jié)論成立：

（ii）Γ是無向圖當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)2—元素g∈GH使得g2∈H；

（iii）Γ是連通圖當(dāng)且僅當(dāng)＜H，g＞＝G；

（iv）如果G包含一個(gè)子群R作用在圖Cos（G，H，g）的頂點(diǎn)集上正則，則 Cos（G，H，g）? Cay（R，S），其中S＝R∩HgH。

反之，每一個(gè)G—弧傳遞圖Σ都同構(gòu)于一個(gè)陪集圖 Cos（G，Gv，g），其中g(shù)∈ NG（Gvw）是一個(gè)2—元素使得g2∈Gv，v∈V（Σ），w∈ Σ（v）。

下面的引理給出了5度對稱圖的點(diǎn)穩(wěn)定子群的結(jié)構(gòu)[15，18]。

引理3設(shè)Γ是一個(gè)5度（G，s）—傳遞圖，其中G≤Aut（Γ）且s≥1。設(shè)α∈V（Γ）。則下列之一成立，其中F20是階為20的Frobenius群。

（a）如果Gα可解，則s≤3且｜Gα｜80。此外，（s，Gα）為下表之一。

（b）如果Gα非可解，則2≤s≤5且｜Gα｜29·32·5。此外，（s，Gα）為下表之一。

表1 可解情形的點(diǎn)穩(wěn)定子Table 1 Vertex stabilizer of the insoluble case

表2 非可解情形的點(diǎn)穩(wěn)定子Table 2 Vertex stabilizer of the insoluble case

2 定理1的證明

構(gòu)造1

定義圖 Γ＝Cos（X，H，x）。

定理1的證明設(shè) Ω＝｛1，2，…，120｝。下面考慮X在Ω上的自然的作用。首先由Magma[19]，＜H，x＞＝X，因此，由引理2（3），Γ是連通的。此外，由Magma[19]，H?S5在在Ω上作用正則。又因?yàn)镚是點(diǎn)1的點(diǎn)穩(wěn)定子群，所以X具有因子分解X＝GH＝HG使得G∩H＝1。因此，Γ同構(gòu)于G?A119上的一個(gè) Cayley圖。通過計(jì)算還可以驗(yàn)證｜H｜/｜H∩Hx｜＝5。由引理2（1），Γ是5度圖。因?yàn)閄是非交換單群，所以G在X中非正規(guī)，進(jìn)而G在Aut（Γ）中非正規(guī)。因此，Γ是G上的非正規(guī)Cayley圖。

下面證明Aut（Γ）＝X?Α120，從而證明定理1。設(shè)A＝Aut（Γ），V＝V（Γ），G和X為構(gòu)造1中所定義。首先我們假設(shè)A在頂點(diǎn)集V上作用是擬本原的。因?yàn)椋皇且粋€(gè)素?cái)?shù)的方冪，所以A不是HA型的。由引理3，得29·32·5。設(shè)S是A的基柱。則因?yàn)锳在V上是擬本原的，得S在V上作用傳遞。又因?yàn)锳＝GAv，所以29·32·5·｜G｜。因?yàn)镚A119，所以必存在一個(gè)素?cái)?shù)p，使得p恰好整除｜S｜。進(jìn)而得，S不同構(gòu)于Td，其中d≥2，T為一個(gè)非交換單群。這可以推出A不是HS，HC，CD，SD，TW或者PA型的。因此，A只能是AS型，即A是幾乎單的。因?yàn)镾∩X?X，X是非交換單群，所以S∩X＝1或者X。 如 果S∩X＝1， 則26·3。這得到S是可解的，這與A是幾乎單群矛盾。因此，S∩X＝X，進(jìn)而X≤S。這意味著因?yàn)锳是幾乎單群，所以S是一個(gè)非交換單群。由文[20，引理2.4]，可以推出S＝X。因此，如果A?S120，則這與引理3相矛盾。所以定理1成立。

若A在頂點(diǎn)集V上非擬本原，則存在N≠1是A的一個(gè)在V上非傳遞的極小正規(guī)子群。顯然N∩X?X。因?yàn)閄是非交換單群，所以N∩X＝1或者X。若N∩X＝X，則X≤N?A。這意味著N在V上作用傳遞，這與N的選取矛盾。若N∩X＝1，則｜整除注意到由引理3，得因?yàn)樗裕?6·3。因此或者Z3，其中1≤r≤6。令F＝NX。則F＝N：X。由引理1，得F/CF（N）≤Aut（N）?GL（r，2）或者Z2。注意到N≤CF（N）。如果N＝CF（N），那么或者Z2。而GL（r，2）中不包含同構(gòu)于A120的子群，其中1≤r≤6。所以，N＜CF（N），1≠CF（N）/N?F/N?X。進(jìn)而得，X＝CF（N）/N，即，X中心化N。所以F＝N×X。因而這意味著Fv＝Xv．N，由引理3，這與N≠1矛盾，證畢。

[1]高百俊，張佳，繆龍.給定階子群的Ν-次正規(guī)性對群結(jié)構(gòu)的影響[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，55（5）：27-30.GAO B J，ZHANGJ，MIAO L.The influence of N-sub-normal subgroups with certain order on the structure of finite groups[J].Acta Scientiarum Naturalium Universi-tatis Sunyatseni，2016，55（5）：27-30.

[2]何宣麗，李樣明，王燕鳴.含有C*-正規(guī)子群的有限群[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，48（5）：12-15.HE X L，LI Y M，WANG Y M.Finite groups with some C*-normal subgroups[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2009，48（5）：12-15.

[3]李士恒，趙先鶴.非超可解極大子群指數(shù)為素?cái)?shù)冪的有限群[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，56（2）：57-61，91.LI SH，ZHAO X H.Finite groups whose every non-super-solvable maximal subgroups is of prime power index[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2017，56（2）：57-61，91.

[4]LI CH，QIAO SH.Finite groups of fourth-power free order[J].J Group Theory，2013，16（2）：275-298.

[5]QIAOSH，LICH.The finite groups of cube-free order[J].JAlgebra，2011，334（1）：101-108.

[6]WEI H Q，WANG Y M.On c*-normality and its properties[J].J Group Theory，2007，10（2）：211-223.

[7]WEI H Q，WANG Y M，LI Y M.On c-supplemented maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups[J].P Am Math Soc，2004，132（8）：2197-2204.

[8]BIGGSN.Algebraic graph theory[M].Second Edition.Cambridge：Cambridge University Press，1992.

[9]XU M Y.Automorphism groups and isomorphisms of Cayley digraphs[J].Discrete Math，1998，182（1/2/3）：309-319.

[10]LI C H.Isomorphisms of finite Cayley graphs[D].Perth：The University of Western Australia，1996.

[11]徐明曜，徐尚進(jìn).交錯(cuò)群A5的小度數(shù)Cayley圖的對稱性[J].中國科學(xué)（數(shù)學(xué)），2004，47（4）：594-604.XU M Y，XU S J.The Symmetry properties of Cayley graphs of small valencies on the alternating groupA5[J].Scientia Sinica（Mathematica），2004，47（4）：594-604.

[12]XU SJ，F(xiàn)ANG X G，WANGJ，et al.On cubics-arc transitive Cayley graphs of finite simple groups[J].European JCombin，2005，26（1）：133-143.

[13]XU SJ，F(xiàn)ANG X G，WANG J，et al.5-arc transitive cubic Cayley graphs on finite simple groups[J].European J Combin，2007，28（3）：1023-1036.

[14]FANG X G，WANG J，ZHOU S M.Tetravalent 2-transitive Cayley graphs of finite simple groups and their automorphism groups[J].arXiv：1611.06308v1，2016.

[15]ZHOU JX，F(xiàn)ENG Y Q.On symmetric graphs of valency five[J].Discrete Math，2010，310（12）：1725-1732.

[16]LING B，LOU B G.A 2-arc transitive pentavalent Cayley graph ofA39[J].Bull Aust Math Soc，2016，93（3）：441-446.

[17]徐明曜.有限群導(dǎo)引（上）[M].2版.北京：科學(xué)出版社，1999.

[18]GUO ST，F(xiàn)ENGY Q.A note on pentavalents-transitive graphs[J].Discrete Math，2012，312（15）：2214-2216.

[19]BOSMA W，CANNON C，PLAYOUST.The MAGMA algebra system I：The user language[J].J Symbolic Comput，1997，24（3/4）：235-265.

[20]FANG X G，LI C H，XU M Y.On edge-transitive Cayley graphs of valency four[J].European J Combin，2004，25（7）：1107-1116.