環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上的斜常循環(huán)碼

陳法龍， 宋賢梅

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

有限環(huán)上的循環(huán)碼理論,由于其有豐富的代數(shù)結(jié)構(gòu)以及容易譯碼的特點(diǎn),而受到眾多編碼工作者的青睞。但是其研究的環(huán)均是交換環(huán),在文[1]中,Boucher等人引入了非交換環(huán)Fq[x;θ]上的循環(huán)碼,舉例說(shuō)明在同樣參數(shù)下斜循環(huán)碼的漢明距離大于已知最好的線性碼。隨后,他們又研究了Galois環(huán)上的斜常循環(huán)碼[2]。在文[3]中,Jitman等人研究了有限鏈環(huán)上的斜常循環(huán)碼,得到了一些有意義的結(jié)果。

最近,有限非鏈環(huán)上的斜循環(huán)碼也有了一定的研究進(jìn)展。在文[4]中,Gursoy等人用不同的方法構(gòu)造出環(huán)Fq+vFq(v2=v)上的斜循環(huán)碼。隨后,施敏加等人從更廣的角度給出了有限非鏈環(huán)Fq+vFq+v2Fq(v3=v)[5]以及環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq(u2=u,v2=v,uv=vu)上的斜循環(huán)碼[6]。

本文受文獻(xiàn)[3]與[6]的啟發(fā),討論了非鏈環(huán)Fq+uFq+vFq+uvFq上的斜常循環(huán)碼,給出了該環(huán)上斜常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),討論了|〈θ〉|=2時(shí)其厄米特對(duì)偶碼生成多項(xiàng)式的形式。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)環(huán)R上的自同構(gòu)θ,形式多項(xiàng)式集合R[x;θ]={c0+c1x+…+cn-1xn-1|ci∈R,i=1,2,…,n-1,n≥1}構(gòu)成一個(gè)非交換環(huán),其加法運(yùn)算為多項(xiàng)式的一般加法,乘法運(yùn)算定義為(axi)(bxj)=aθi(b)xi+j,(a,b∈R)。

設(shè)Rn={(a0,…,an-1)|ai∈R,i=0,1,…,n-1}。若C是Rn的非空子集,稱C是長(zhǎng)為n的碼,若C是Rn的R-子模,稱C是長(zhǎng)為n的線性碼,它的多項(xiàng)式定義為{c0+c1x+…+cn-1xn-1|(c0,…,cn-1)∈C}。

設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的線性碼,我們定義

設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn,定義x與y的厄米特內(nèi)積為〈x,y〉H=x1θ(y1)+x2θ(y2)+…+xnθ(yn)。

碼C的厄米特對(duì)偶碼定義為C⊥H={x∈Rn|〈x,y〉H=0,?c∈C},若碼C滿足C=C⊥H,則稱C是厄米特自對(duì)偶。

2 環(huán)R上的斜常循環(huán)碼

定義2.1設(shè)θ是R上的自同構(gòu),λ是R的單位。ρθ,λ是Rn上的自同態(tài)且滿足

ρθ,λ((c0,c1,…,cn-1))=(θ(λcn-1),θ(c0),…,θ(cn-2)),

則稱ρθ,λ是θ-λ-常循環(huán)移位。設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的線性碼,若對(duì)任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈C,有ρθ,λ(c)∈C,稱碼C為斜常循環(huán)碼或θ-λ-常循環(huán)碼。

證明(?)設(shè)C是斜常循環(huán)碼，則對(duì)任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈C，有

(θ((1+λu)cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C,

即x·c(x)=θ(c0)x+…+θ(cn-2)xn-1+θ(cn-1)(1+λu)∈C，注意到C是線性的，則對(duì)任意的r(x)∈R[x;θ]/〈xn-(1+λu)〉,均有r(x)c(x)∈C成立,故C是R[x;θ]/〈xn-(1+λu)〉的左理想。

(?)若碼C是R[x;θ]/〈xn-(1+λu)〉的左理想,則對(duì)任意的c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈C,有

x·c(x) =θ(c0)x+θ(c1)x2+…+θ(cn-2)xn-1+θ(cn-1)xn

=(1+λu)θ(cn-1)+θ(c0)x+θ(c1)x2+…+θ(cn-2)xn-1

=θ((1+λu)cn-1)+θ(c0)x+θ(c1)x2+…+θ(cn-2)xn-1∈C，

即對(duì)任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈C，有(θ((1+λu)cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))∈C，故C是θ-(1+λu)-常循環(huán)碼。

證明對(duì)任意c(x)∈C,存在q(x),r(x)∈R[x;θ]/〈xn-(1+λu)〉,滿足c(x)=q(x)·g(x)+r(x),其中r(x)=0或deg (r(x))

下證g(x)是xn-(1+λu)的右因子。對(duì)于多項(xiàng)式xn-(1+λu),存在q′(x),r′(x)∈R[x;θ]，滿足xn-(1+λu)=q′(x)g(x)+r′(x)，其中r′(x)=0或deg (r′(x))

證明對(duì)任意的r=(r0,r1,…,rn-1)∈C,記ri=η1ai+η2bi+η3c3+η4di,其中ai,bi,ci,di∈Fq,0in-1。令a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1),c=(c0,c1,…,cn-1),d=(d0,d1,…,dn-1),則a∈C1,b∈C2,c∈C3,d∈C4。從而有

ρθ,1+λu(r) =(θ((1+λu)rn-1),θ(r0),…,θ(rn-2))

=(η1θ(an-1)+η2θ((1+λ)bn-1)+η3θ((1+λ)cn-1)+η4θ(dn-1),η1θ(a0)+η2θ(b0)

+η3θ(c0)+η4θ(d0),…,η1θ(an-2)+η2θ(bn-2)+η3θ(cn-2)+η4θ(dn-2))

=η1(θ(an-1),θ(a0),…,θ(an-2))+η2(θ((1+λ)bn-1),θ(b0),…,θ(bn-2))+

η3(θ((1+λ)cn-1),θ(c0),…,θ(cn-2))+η4(θ(dn-1),θ(d0),…,θ(dn-2))

=η1ρθ,1(a)+η2ρθ,1+λ(b)+η3ρθ,1+λ(c)+η4ρθ,1(d)。

則C是R上長(zhǎng)為n的θ-(1+λu)-常循環(huán)碼?ρθ,1+λu(r)=η1ρθ,1(a)+η2ρθ,1+λ(b)+η3ρθ,1+λ(c)+η4ρθ,1(d)∈C?ρθ,1(a)∈C1,ρθ,1+λ(b)∈C2,ρθ,1+λ(c)∈C3,ρθ,1(d)∈C4?C1,C4是Fq上長(zhǎng)為n的斜循環(huán)碼,C2,C3是Fq上長(zhǎng)為n的θ-(1+λ)-常循環(huán)碼。

證明由定理2.4可知C1,C4是Fq上長(zhǎng)為n的斜循環(huán)碼,C2,C3是Fq上長(zhǎng)為n的θ-(1+λ)-常循環(huán)碼,從而有Ci=〈gi(x)〉,|Ci|=qn-deg (gi(x)),gi(x)|xn-1,i=1,4。gi(x)|xn-(1+λ),i=2,3。由于C=η1C1⊕η2C2⊕η3C3⊕η4C4,于是

證明由定理2.5知,可設(shè)C=〈η1g1(x),η2g2(x),η3g3(x),η4g4(x)〉,其中g(shù)i(x)是Ci的生成多項(xiàng)式。令g(x)=η1g1(x)+η2g2(x)+η3g3(x)+η4g4(x),易知〈g(x)〉?C。另一方面ηigi(x)=ηig(x),則C?〈g(x)〉,故C=〈g(x)〉。

由于gi(x)|xn-1,i=1,4。gi(x)|xn-(1+λ),i=2,3,則存在fi(x)∈Fq[x],i=1,2,3,4,使得

xn-1=f1(x)g1(x)，xn-(1+λ)=f2(x)g2(x)

xn-(1+λ)=f3(x)g3(x)，xn-1=f4(x)g4(x)

從而有

故g(x)是xn-(1+λu)的右因子,而g(x)的唯一性可由gi(x)的唯一性得到。

由引理2.2和定理2.6容易得到以下推論。

3 斜常循環(huán)碼的厄米特對(duì)偶碼

由于限制在厄米特內(nèi)積下,我們考慮當(dāng)|〈θ〉|=2時(shí)的斜常循環(huán)碼的厄米特對(duì)偶碼。注意到|〈θ〉||n,因此本部分中的n均為偶數(shù)。

即

于是(1+λu)〈ρθ,(1+λu)-1(v),u〉H=0,因此ρθ,(1+λu)-1(v)∈C⊥H,即C⊥H是θ-(1+λu)-1-常循環(huán)碼。反過(guò)來(lái)注意到(C⊥H)⊥H=C,因此得證。

特別地,若λ=-2,則1-2u=(1-2u)-1,則可以直接得出結(jié)論。

引理3.2假設(shè)θ2=1,a(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1,b(x)=b0+b1x+…+bn-1xn-1∈R[x;θ],則下面的幾條性質(zhì)等價(jià)：

(1)對(duì)任意的i∈{0,1,…,n-1},a(x)系數(shù)向量厄米特正交于xiφ(xn-1φ(b(x)))的系數(shù)向量。

(2)(a0,a1,…,an-1)與(θn-1(bn-1),bn-2,…,θn-2(b0))以及它的θ-(1-2u)-常循環(huán)移位厄米特正交。

(3)在R[x;θ]/〈xn-(1-2u)〉中,a(x)b(x)=0。

則(1)斜多項(xiàng)式φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))是xn-(1-2u)的右因子。

(2)C⊥H是由φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))生成的θ-(1-2u)-常循環(huán)碼。

證明(1)由|〈θ〉||n且θ(1-2u)=1-2u,則

φ(g(x))(2u-1)(xn-deg (h(x)))(xdeg (h(x)))φ(h(x))

=φ(g(x)(2u-1))xn(φ(h(x)))

=(2u-1)φ(g(x))φ(h(x))xn

=(2u-1)φ(h(x)g(x))xn

=(2u-1)φ(xn-(1-2u))xn

=(2u-1)(x-n-(1-2u))xn

=xn-(1-2u)。

則有φ(φ(g(x))((2u-1)xn-deg (h(x)))φ(xdeg (h(x))φ(h(x))))=φ(xn-(1-2u))=xn-(1-2u),從而φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))是xn-(1-2u)的右因子。

(2)由于g(x)h(x)=0∈R[x;θ]/〈xn-(1-2u)〉,根據(jù)引理3.2得

〈φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))〉?C⊥H,

注意到φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))是xn-(1-2u)的右因子,則有

|〈φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))〉|=|R|n-deg (h(x))=|C⊥H|,

因此〈φ(xdeg (h(x))φ(h(x)))〉=C⊥H。

參考文獻(xiàn)：

[1] BOUCHER D,GEISELMANN W,ULMER F.Skew cyclic codes [J].Appl Algebra Eng Comm Comput，2007,18(4):379-389.

[2] BOUCHER D,SOLE P,ULMER F.Skew constacyclic codes over Galois rings [J].Adv Math Commun,2008,2(3):273-292.

[3] JITMAN S,LING S,UDOMKAVANICH P.Skew constacyclic codes over finite chain ring [J].Adv Math Commun,2010,6(1):39-63.

[4] GURSOY F，SIAP I,YILDIZ B.Construction of skew cyclic codes overFq+vFq[J].Adv Math Commun,2014,8(3):313-322.

[5] SHI M,YAO T,ALAHMADI A,et al.Skew cyclic codes overFq+vFq+v2Fq[J].IEICE Trans Fund Electr，2015,E98A(8):1845-1848.

[7] SIAP I,ABUALURB I,AYDIN N,et al.Skew cyclic codes of arbitrary length [J].Int J Inf Coding Theory，2011,2(1):10-20.

[8] BOUCHER D,ULMER F.Coding with skew polynomial ring [J].J Symb Comput，2009,44(12):1644-1656.

[9] DINH H,LOPEZ-PERMOUTH S R.Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings [J].IEEE Trans Inform Theory,2004,50(8):1728-1744.