解題與做題的藝術

李迎立

摘 要 每一道數(shù)學題均有自己的特點，這個特點也決定了如何去解它，只要把握住特點，就能找到最簡單的解題方法。筆者通過一些例子具體和大家闡述分析如何找到適合的解題方法。

關鍵詞 特點 適合 條件

中圖分類號：G633.41 文獻標識碼：A

1解題的藝術

以下面的解題為例：已知x，y滿足如下約束條件，當目標函數(shù)Z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取得最小值2時，a2+b2最小值為_____

由約束條件和題中要求易得2a+b=2，此題最基本解法是二次函數(shù)方法：將b=2-2a代入a2+b2轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最小值，但太過麻煩，完全可由其特點找更簡單的解法。

注意要求a2+b2最小值，應想到有如下的處理方法：①均值比等式≤②柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥ （ac+bd）2 轉(zhuǎn)化為幾何問題 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題。

方法（1）：（柯西不等式法）由（a2+b2）（22+12）≥（2a+b）2得a2+b2≥=4，驗證等號成立條件即=時取等號，符合題意，則（a2+b2）min=4

方法（2）：（幾何法）令y=a2+b2，因2a+b=2則y為點O（0，0）到直線2a+b-2=0的距離的平方。

方法（3）：（三角函數(shù)法）令a=xsin ，b=xcos ，則x2=a2+b2，∵2xsin +xcos =2，∴2sin（ + ）=2（cos =，∴x=，則x2=a2+b2最小時即sin（ + ）最大，x最小==2，∴（a2+b2）min=4

由此可以看出，尋找題目的特點，根據(jù)特點尋找適當?shù)慕忸}方法是提高做題速度的不二法門。

2做題的藝術

對于某些選擇題，完全可以不用解題而選出正確答案，甚至比你解題得出的答案還準確，而且可以大幅加快你做題的速度，關鍵只有一個字——代。下面舉幾個例子來說明：

例1：若關于X的不等式x2-ax-6a<0有解，且解區(qū)間長度不超過5個單位長度，則a的取值范圍（ ）

A -25≤a<0 或1≤a<24 B -25≤a<-24或 0

C -25≤a≤0 D a≤-25或 a≥1

看到不等式有解，首先想到△≥0，只有“區(qū)間長度不超過5個單位長度”讓很多同學摸不著頭腦，沒關系，△≥0解出后排除A，D兩項，觀察B，C 特點，一個有0，一個無0，代入a=0不符合題意，則選項中包含均錯誤，所以選B。

正規(guī)解法：

由于△≥0可設x2-ax-6a=0的兩個解為x1，x2，則有

第二步不好想，而且難處理，用代入法可以明顯加快速度，提高準確率。

例2：若關于的不等式（ax-20）lg≤0對任意正實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（ ）

A [-10，10] B [-，] C （-∞，] D {}

這道題對于會做題的同學只要5秒鐘，一看題為正實數(shù)，則a>0結(jié)束，選D

正規(guī)解法；令y1=ax-20，y2=lg，則y1過定點（，0），y2過定點y1y2≤0，則y1y2一直異號。要滿足此條件，2a=，則a=，所以選D。

對于有些難思考，難解難算的題，我們要避其鋒芒，用代入法，最難的題可能是最簡單的題，但也要合理運用，正確解題才是正道。

（指導教師：常臘民）

參考文獻

[1] 李來榮.對于初中數(shù)學解題技巧的探究[J].數(shù)學學習與研究，2014（12）.

[2] 葉素紅.初中數(shù)學解題技巧指導與運用探究[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2014（12）.