一種改進(jìn)的高斯濾波方法

閆 冬，盧曉東

（1.中國電建集團(tuán)湖北工程有限公司，湖北 武漢 430040；2.華中科技大學(xué) 生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢430074）

點模型是實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)模型的最早表現(xiàn)形式，可表示任意平面曲線或三維曲面。由于原始的超聲數(shù)據(jù)信號存在噪音，因此濾波是三維數(shù)據(jù)建模的必要步驟。濾波的目的就是使數(shù)據(jù)更加光滑，空間曲線和曲面連續(xù)性更好，所以濾波要剔除夾雜在數(shù)據(jù)點云中的各種噪聲，在使模型變得光滑的同時保持模型固有的幾何特征，且要防止體積收縮和模型變形[1-3]。另外，還要兼顧修改后的曲線（面）同修改前的曲線（面）的“偏離”，以保證各項性能指標(biāo)不受影響。作為一個經(jīng)典問題，點模型濾波有大量算法。在地學(xué)測量領(lǐng)域，基于TIN和聚類的算法多用于LiDAR點云的濾波[4-5]；醫(yī)學(xué)圖像濾波采用非局部利用圖像中的相似區(qū)域抑制噪聲的方法[6]。這些方法的基本思想為若某個點的值是其鄰域內(nèi)點的平均值，則認(rèn)為點模型是光滑的，即不停地將某個點向其鄰域的均值移動，其原理就是Mean Shift[7]。其中，由Taubin G提出的高斯濾波算法是一種非常有效的方法。該算法不停地對模型進(jìn)行縮放，讓每個點向其鄰域重心移動，從而達(dá)到濾波的目的，但濾波后的結(jié)果可能會偏離原來的模型或發(fā)生變形，因此本文提出了一種改進(jìn)的算法，能在光滑數(shù)據(jù)的同時，有效控制偏移。

1 算法原理

高斯濾波算法原理為：設(shè)原始點集合為{xi}，i=1,2,…,n，對于其中的某個點xi，搜索到其鄰域點集表示為{xj}，j∈i；再根據(jù)這些鄰近點計算當(dāng)前點的估計值xi*，并比較xi和xi*的差距，將xi向xi*位置做一定移動；然后重復(fù)上述操作[8]。

1）計算當(dāng)前點的鄰域重心：式中，j為i鄰域內(nèi)點的編號。

2）計算當(dāng)前點濾波后的位置：

滿足λ>0、μ<0，它們的絕對值小于1，且μ的絕對值比λ的絕對值大的條件。因為當(dāng)?shù)螖?shù)為奇數(shù)時，各點向其鄰域重心移動，即光滑的同時，點云模型相對于實際模型是縮小了；于是當(dāng)?shù)螖?shù)為偶數(shù)時，相當(dāng)于在一個縮小的模型上放大，只有在大于原始縮小倍數(shù)的情況下，才有可能放大到原來模型的大小，所以μ的絕對值應(yīng)比λ的絕對值大。該算法思想簡單，容易理解，但在實際應(yīng)用中如何確定λ、μ值，往往存在一定難度，且迭代次數(shù)一般為偶數(shù)。

鑒于此，本文提出了一種改進(jìn)算法。改進(jìn)算法的前兩步與高斯濾波算法一致，僅將步驟2）進(jìn)行多次交替操作，即當(dāng)操作次數(shù)m為奇數(shù)時，按式（2）計算；當(dāng)m為偶數(shù)時，按式（3）計算，然后不斷迭代。

顯然，改進(jìn)算法與高斯濾波算法本質(zhì)上是一致的，都是通過不斷縮放模型，剔除噪聲點。其關(guān)鍵差異在于，通過縮放的交替操作，減小了縮放比例（光滑系數(shù)）差異引起的濾波后數(shù)據(jù)偏離原始模型的可能性，且結(jié)果對參數(shù)的進(jìn)一步依賴性減弱。濾波的結(jié)果。圖2a為利用高斯濾波方法處理的結(jié)果，頂部有一定的凹陷，濾波后數(shù)據(jù)存在一定變形；圖2b為改進(jìn)算法處理20次的結(jié)果，相對于傳統(tǒng)方法，其光

2 實驗驗證

圖1 為噪聲模型經(jīng)過高斯濾波方法與改進(jìn)算法濾波后的結(jié)果，可以看出，兩種算法的光滑效果相當(dāng)，但圖1b發(fā)生了明顯的位移（圓上半部分），而圖1c位置信息保存完整，基本沒有發(fā)生位移。因此，改進(jìn)算法較好地保持了原始位置和輪廓大小，且消除了噪聲。

圖1 兩種濾波方法的濾波結(jié)果

圖2 兩種算法三維球面濾波結(jié)果

圖2為對具有一定高斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)三維球面進(jìn)行滑性較差（可通過多次迭代解決），但數(shù)據(jù)沒有顯著形變，仍然是一個完整的球面。比較圖1、2可知，高斯濾波方法濾波后，圖1的形變較大而圖2則相對較小，主要原因為原始數(shù)據(jù)中加入的噪聲量不同，較大的噪聲將導(dǎo)致相對大的偏移。

圖3a中的藍(lán)色曲線是一個接近高斯分布的曲線，曲線上存在一定噪聲，利用改進(jìn)算法濾波后的結(jié)果為紅色曲線，顯然噪聲得到了剔除，且有效保持了原始數(shù)據(jù)的特征信息。圖3b中黑色曲線為傳統(tǒng)高斯濾波后的結(jié)果。比較而言，改進(jìn)算法對特征的保護(hù)（峰值）是非常好的，而高斯濾波后，峰值被丟棄了。

圖3 兩種算法的濾波結(jié)果比較

3 結(jié) 語

本文在傳統(tǒng)高斯濾波算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)算法，通過交替迭代縮放操作，克服了確定縮放系數(shù)的難點，從而較好地解決了傳統(tǒng)方法中在光滑數(shù)據(jù)的同時易造成數(shù)據(jù)偏離或偏移原始模型的問題。算法非常簡單，實現(xiàn)過程容易。

[1] 胡國飛.三維數(shù)字表面去噪光順技術(shù)研究[D].杭州:浙江大學(xué),2005:41-47

[2] 趙靜.三維激光掃描數(shù)據(jù)處理[D].揚州:揚州大學(xué),2009:20-29

[3] 徐波,唐杰,武港山.基于CUDA的點云去噪算法[J].計算機工程,2011,37(2):224-226

[4] 于雙,楊英寶,李成仁.基于模糊 C 均值聚類的機載 LiDAR點云濾波[J].測繪與空間地理信息,2015,38(2):141-143

[5] 邢旭東,王星晨,呂現(xiàn)福.基于高程突變 TIN 的改進(jìn)機載 LiDAR 點云濾波算法[J].測繪與空間地理信息,2015,38(12):105-107

[6] Buades A, Coll B, Morel J M. A Non-local Algorithm for Image Denoising[J]. IEEE Computer on Visual Pattern Recognition,2005(2):60-65

[7] CHENG Y Z. Mean Shift, Mode Seeking, and Clustering [J].IEEE Transactions on PAMI,1995,17(8):790-799

[8] Taubin G. A Signal Processing Approach to Fair Surface Design[C]. Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. ACM Press, New York,1999:351-358